第3章-流體力學(xué)連續(xù)性方程微分形式

第三章流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第三節(jié)流體動(dòng)力學(xué)基本方程式一、連續(xù)性微分方程二、理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程三、粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程第四節(jié)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程的積分一、在勢流條件下的積分二、沿流線的積分∴單位時(shí)間內(nèi)x方向流出流進(jìn)的質(zhì)量流量差：ABCDA'

B'C'D'dzdydxzyxoMNuxuzuyo’第三節(jié)流體動(dòng)力學(xué)基本方程式在流場內(nèi)取一微元六面體（如圖），邊長為dx,dy,dz，中心點(diǎn)O流速為（ux,uy,uz）以x軸方向?yàn)槔河冶砻媪魉僖?、連續(xù)性微分方程第三節(jié)流體動(dòng)力學(xué)基本方程式左表面流速流體的連續(xù)性微分方程的一般形式：

質(zhì)量守恒定律：單位時(shí)間內(nèi)流出與流入六面體的流體質(zhì)量差之總和應(yīng)等于六面體內(nèi)因密度變化而減少的質(zhì)量，即：X方向y方向：z方向：第三節(jié)流體動(dòng)力學(xué)基本方程式同理可得：在dt時(shí)間內(nèi)因密度變化而減少的質(zhì)量為：

適用范圍：理想流體或?qū)嶋H流體；恒定流或非恒定流；可壓縮流體。（不可壓縮流體）（1）可壓縮流體恒定流動(dòng)的連續(xù)性微分方程

適用范圍：理想、實(shí)際、可壓縮、不可壓縮的恒定流。（2）不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程

物理意義：不可壓縮流體單位時(shí)間內(nèi)流入單位空間的流體體積（質(zhì)量），與流出的流體體積（質(zhì)量）之差等于零。適用范圍：理想、實(shí)際、恒定流或非恒定流的不可壓縮流體流動(dòng)。第三節(jié)流體動(dòng)力學(xué)基本方程式當(dāng)為恒定流時(shí)當(dāng)為不可壓縮流時(shí)例：有兩種二元流體，其流速可表示為：（1）ux=-2y,uy=3x；（2）ux=0,uy=3xy。試問這兩種流體是不可壓縮流體嗎？解：（1）符合不可壓縮流體的連續(xù)性方程?！嗍遣豢蓧嚎s流體。（2）不符合不可壓縮流體的連續(xù)性方程?！嗖皇遣豢蓧嚎s流體。

理想流體的動(dòng)水壓強(qiáng)特性與靜水壓強(qiáng)的特性相同：ABCDA'B'C'D'dzdxdyp(x,y,z)

o’zxyMNO第三節(jié)流體動(dòng)力學(xué)基本方程式從理想流體中任取一(x,y,z)為中心的微元六面體為控制體，邊長為dx,dy,dz，中心點(diǎn)壓強(qiáng)為p(x,y,z)。受力分析(x方向?yàn)槔?：1.表面力∵理想流體，∴=0左表面右表面二、理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程流體平衡微分方程回顧

一、流體平衡微分方程——?dú)W拉平衡方程p(x,y,z)M根據(jù)平衡條件，在y方向有Fy=0，即：整理得：ABCDA'B'C'D'dzdxdyxyzo在平衡流體中取一微元六面體，邊長分別為dx，dy，dz，設(shè)中心點(diǎn)的壓強(qiáng)為p(x,y,z)=p，對其進(jìn)行受力分析：y向受力表面力：質(zhì)量力：

流體平衡微分方程（即歐拉平衡方程）：

物理意義：處于平衡狀態(tài)的流體，單位質(zhì)量流體所受的表面力分量與質(zhì)量力分量彼此相等。壓強(qiáng)沿軸向的變化率（）等于該軸向單位體積上的質(zhì)量力的分量（X,Y,Z）。（1）流體平衡微分方程回顧x方向（牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律）：2.質(zhì)量力單位質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸上分量為X,Y,Z，∴質(zhì)量力為Xdxdydz適用范圍：恒定流或非恒定流，可壓縮流或不可壓縮流體。理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程（歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程）第三節(jié)流體動(dòng)力學(xué)基本方程式若加速度等于0，則上式就可轉(zhuǎn)化為歐拉平衡微分方程三、粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程1、粘性流體的特點(diǎn)（2）實(shí)際的流動(dòng)流體任一點(diǎn)的動(dòng)壓強(qiáng)，由于粘性切應(yīng)力的存在，各向大小不等，即pxxpyypzz。任一點(diǎn)動(dòng)壓強(qiáng)為：（1）實(shí)際流體的面積力包括：壓應(yīng)力和粘性引起的切應(yīng)力。該切應(yīng)力由廣義牛頓內(nèi)摩擦定律確定：第三節(jié)流體動(dòng)力學(xué)基本方程式2、實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式

同樣取一微元六面體作為控制體。x方向（牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律）：第三節(jié)流體動(dòng)力學(xué)基本方程式'yz'yx

p'yyxzxypxxzxzypzz'xy'xz

p'xxyzyxpyy'zy’zx

p'zzdzdxdyxyz左右向壓力x向受力質(zhì)量力前后面切力上下向切力1）不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程：2）切應(yīng)力與主應(yīng)力的關(guān)系表達(dá)式不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程：納維埃-斯托克斯方程（Navier-Stokes，N-S)方程：考慮條件：第三節(jié)流體動(dòng)力學(xué)基本方程式拉普拉斯算符，例：第四節(jié)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程的積分一、在勢流條件下的積分由于歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程是一個(gè)一階非線性偏微分方程組（遷移加速度的三項(xiàng)中包含了未知數(shù)與其偏導(dǎo)數(shù)的乘積），因而至今還無法在一般情況下積分，只能在一定條件下積分。歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程組各式分別乘以dx，dy，dz（流場任意相鄰兩點(diǎn)間距ds的坐標(biāo)分量），然而相加得：<I><II><III>考慮條件第四節(jié)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程的積分1、恒定流<II>=3、質(zhì)量力只有重力，即X=Y=0，Z=-g4、有勢流動(dòng)：2、均勻不可壓縮流體，即=Const；

<II>=<I><II><III>積分得：第四節(jié)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程的積分由以上得：由歐拉加速度由理想勢流伯努里方程符號說明單位重流體的位能（比位能）位置水頭單位重流體的壓能（比壓能）壓強(qiáng)水頭單位重流體的動(dòng)能（比動(dòng)能）流速水頭單位重流體總勢能（比勢能）測壓管水頭總比能總水頭物理意義幾何意義

物理意義：在同一恒定不可壓縮流體重力勢流中，理想流體各點(diǎn)的總比能相等即在整個(gè)勢流場中，伯努里常數(shù)C均相等。（應(yīng)用條件：“——”所示）或第四節(jié)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程的積分二、沿流線的積分2、恒定流中流線與跡線重合：

注意：積分常數(shù)C，在不可壓縮恒定流流動(dòng)中，沿同一流線保持不變。一般不同流線各不相同（有旋流）。（應(yīng)用條件：“——”所示，可以是有旋流）沿流線（或元流）的能量方程：1、只有重力作用的不可壓縮恒定流：第四節(jié)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程的積分1、實(shí)際流體區(qū)別于理想流體有何特點(diǎn)？理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程與實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程有何聯(lián)系？2、連續(xù)性微分方程有哪幾種形式？不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程說明了什么問題？一般形式，恒定流，不可壓縮流；質(zhì)量守恒實(shí)際流體具有粘性，存在切應(yīng)力；實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程中等式的左邊比理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程增加了由于粘性而產(chǎn)生的切應(yīng)力這一項(xiàng)。3、歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程組在勢流條件下的積分形式的應(yīng)用與沿流線的積分有何不同？End形式完全相同，但含義不一樣。勢流條件下積分形式是針對理想流體的恒定有勢流動(dòng)中的任何質(zhì)點(diǎn)，而不局限于同一流線。它不適用于有旋流。沿流線積分形式是針對理想流體恒定流流動(dòng)中同一條流線的質(zhì)點(diǎn)。它適用于有旋流。本課完