等差數列前項和公式推導

關于等差數列前項和公式推導第一頁，共十四頁，2022年，8月28日一、復習：１、等差數列：ａｎ－ａｎ－１＝ｄ（ｎ≧２，ｎ∈Ｎ＋）２、等差數列通項式：ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ第二頁，共十四頁，2022年，8月28日小故事：高斯是偉大的數學家，天文學家。１０歲時一次老師說：現在給大家出道題：１＋２＋…＋１００＝？過了兩分鐘，正當大家在：１＋２＝３；３＋３＝６…算的不亦樂乎時，高斯站起來回答說：１＋２＋…＋１００＝５０５０．老師問他怎樣計算的，他回答說：1+100=101；2+99=101；…５０＋５１＝１０１，所以１０１×５０＝５０５０．第三頁，共十四頁，2022年，8月28日這個故事告訴我們求等差數列前ｎ項和的一種很重要的思想方法，就是我們要介紹的“倒序相加”法。第四頁，共十四頁，2022年，8月28日二、等差數列前ｎ項和公式１：對等差數列ａ１，ａ２，…，ａｎ前ｎ項求和，得Ｓｎ＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａｎ，Ｓｎ＝ａｎ＋ａｎ－１＋ａｎ－２＋．．．＋ａ２＋ａ１，第五頁，共十四頁，2022年，8月28日上面兩式相加得：２Ｓｎ＝（ａ１＋ａｎ）＋（ａ２＋ａｎ－１）＋（ａ３＋ａｎ－２）＋．．．＋（ａｎ＋ａｎ）

因為a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…，所以2Sn=n(a1+an)

Sn=（1）第六頁，共十四頁，2022年，8月28日2、等差數列前n項和公式2

Sn=用上述公式（1）要求Sn必備三個條件：n,a1,an,但an=a1+(n-1)d，帶入公式（1）即得（2）第七頁，共十四頁，2022年，8月28日公式（2）又可化為Sn=當d≠0時，這是一個常數項為零的關于n的二項式.第八頁，共十四頁，2022年，8月28日三、講解例題：例1、一堆放鉛筆的V型架的最下層放一支鉛筆，往上每一層都比它下一層多放一支，最上層放120支，問：這個V型架上共放多少支鉛筆？解：由題意知，這個V型架上共放120層鉛筆且自下而上各層的鉛筆成等差數列，記為{an}其中a1=1,a120=120,根據等差數列前n項和公式得:S120=

=7260（支）答：V型架上共有7260支鉛筆。第九頁，共十四頁，2022年，8月28日例2、等差數列-10，-6，-2，2，…前多少項的和是54？解：設題中的等差數列為{an}，前n項和為Sn，則：a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54,有公式（2）可得：第十頁，共十四頁，2022年，8月28日

解之得：n1=9,n2=-3（舍）所以等差數列-10，-6，-2，2，…前9項和是54.第十一頁，共十四頁，2022年，8月28日四、鞏固練習1、求集合M={m/m=7n,n∈N＋且m＜100}的元素個數，并求這些元素的和。2、已知一個等差數列的前100項和是310，前20項的和是1220，求其前n項和公式.第十二頁，共十四頁，2022年，8月28日五、課后作業(yè)