華科線性代數(shù)課件第四章

求解線性方程組的問題被認為是數(shù)學中最重要的問題之一，統(tǒng)計表明，在科學及其工程應用中，有超過75%的問題會涉及線性方程組。

第四章線性方程組線性方程組主要研究以下三個問題3.如果線性方程組有多個解，如何將其解用通解表示出來？1.線性方程組有解的充分必要條件是什么？

2.如果線性方程組有解，到底有多少解？如何求得其解？§4.1線性方程組的基本概念4.1.1線性方程組的一般形式1.含m個方程，n個未知數(shù)的線性方程組的一般形式為：其中為未知量，和為常數(shù)。稱為型線性方程組。令則線性方程組可簡記為2.非齊次線性方程組若線性方程組中右邊的系數(shù)不全為零，即存在，稱為非齊次線性方程組3.齊次線性方程組若線性方程組中右邊的系數(shù)全為零，即稱為齊次線性方程組.4.線性方程組的解線性方程組（4.1）的解是由n元向量構成，它滿足線性方程組（4.1）中的每個方程。例1

下列方程組都是線性方程組。

（1）

（2）

（3）

其中，（1）和（3）是非齊次線性方程組，（2）是3×3型的齊次線性方程組。

5.等價方程組若方程組Ax=a的解為方程組Bx=b的解，而方程組Bx=b的解也為方程組Ax=a的解，則稱Ax=a與Bx=b為等價方程組.4.1.2矩陣的初等變換對線性方程組的影響3.增廣矩陣1.線性方程2.系數(shù)矩陣4.增廣矩陣的行初等變換不改變方程組的解定理4.1

證

設向量X是方程組AX=b的任何一個解，有。兩邊左乘矩陣P，則有即X也是的一個解。反之，任取的一個解，兩邊左乘，則有，即，所以X是的一

個解。因此，和同解，故為等價的線性方程組。□4.1.3線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示（4.3）揭示線性方程組（4.1）的解是組合系數(shù)。方程組有解則等價于b是A的列向量的線性組合，即向量組和向量組等價。更重要的，它在理論上可以得到如下結果：定理4.2設型線性方程組為AX=b,則有：（1）AX=b有解的充要條件是增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩，即有r(A)=r（[A|b]）(2)AX=b有惟一解充要條件是r(A)=r([A|b])=n證

（1）必要性：已知有解，則由（4.3）式，

b是A的列向量的線性組合，

從而A的列向量組

等價于向量組

故二者秩相等，即充分性：已知即又

所以的極大線性無關組是

的極大線性無關組。故b是

的線性組合，即有解。（2）必要性：已知有惟一解，則由（1），

且有惟一解向量，使則反設，則向量組線性相關，

存在不全為0的數(shù)，使從而

故向量

也是的解，

與的解惟一矛盾。故充分性：方程組有解，故時，線性相關，而線性無關，由定理3.2，b可由惟一地線性表示，從而有惟一解?！醵x4.2對線性方程組施行下列三種變換：（1）互換兩個方程的位置；（2）用一個非零數(shù)乘某個方程；（3）把某個方程的若干倍加到另一個方程，稱為線性方程組的初等變換1.線性方程組的初等變換2.Gauss消元法用上面三種初等變換把一個線性方程組化成增廣矩陣為階梯形的線性方程組的過程叫Gauss消元法.§4.2Gauss消元法用矩陣表示Gauss消元法，則為：對線性方程組的增廣矩陣施行行初等變換化為行階梯形或行標準形，即（行階梯形或行標準形），則由定理4.1，方程組等價于方程組，而作為增廣矩陣的行階梯形，特別是行標準形，它對應的線性方程組是很容易求解的。

例題4用Gauss消元法求解下列非齊次線性方程組故方程組無解。故方程組有解。行標準形對應的方程組（與原方程組等價）為：故方程組有解。行標準形對應的方程組（與原方程組等價）為：從例4中，可注意到如下幾點：（1）如果增廣矩陣的行標準形矩陣中含有如下行：

（2）當時，

則線性方程組無解。

因為任何實數(shù)都不能滿足該行給出的方程線性方程組的解不惟一，而且有無窮多個解。

這時方程組的解中有個自由未知量.（3）從方程組解的向量表示中，可以看到，非齊次線性方程組的一般解（通解）是個確定的常向量的線性組合，再加上一個常向量解?！?.3齊次線性方程組的解的結構2.型齊次線性方程組的矩陣形式和向量形式分別為：1.討論下面型齊次線性方程組的解例題5求解齊次線性方程組解對方程組系數(shù)矩陣A作行初等變換，將A化為行標準形

從A的行標準形，取作為自由變元，對應解為即為任意常數(shù)。

這就是方程組的通解，通解為下列線性無關向量組（基礎解系）的線性組合（解的結構）：3.齊次線性方程組總是有解的，就是它的一個解。4.設表示齊次線性方程組所有解組成的集合，即（4.3）5.解的結構討論解與解之間的關系及通解的構造。齊次線性方程組的解與解之間的關系有下面結果。定理4.3設是齊次線性方程組的兩個解，則的線性組合也是的解。證

已知對的任意線性組合

有

定理4.3說明：任取，則，從而齊次方程組的解集合是一個向量空間，稱為的解空間。這使得我們可用空間的結構來研究的解集合的結構。6.基礎解系

：齊次線性方程組的解空間的基，稱為該方程組的基礎解系，

故若為的基礎解系，則有：（1），即是的解；（2）線性無關；（3）方程組的任何一個解X，都可表示為的線性組合即（4.4）稱（4.4）為方程組的通解公式。7.下面我們確定解空間的維數(shù)。

定理4.4設型齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則的解空間的維數(shù)：推論1型齊次線性方程組的任意個線性無關的解都是的基礎解系。當時，，即，這時齊次線性方程組的惟一解為，即零解，等價地，我們有：推論2型齊次線性方程組有非零解的充要條件是.即B的列向量

因此AB=0當且僅當

證

設矩陣B的k個列向量為，則由矩陣乘法：

所以

是齊次方程組

即

的解向量。從而

解

的列向量是上面齊次方程組的解，意味著該齊次方程組有非零解，由定理4.4的推論2，得該齊次方程組的系數(shù)矩陣A的秩，故

又當時，故方程組的基礎解系只有一個解向量，從而B的三個列線性相關，得證

A為矩陣，則為n階矩陣，

取齊次線性方程組：型：

先證和為等價的線性方程組。

任取即，則有，

兩邊左乘，得即又取即

即內積，

從而m維向量AX為零向量，即

綜上所述，二者的解空間相等，即由定理4.4，

從而

從而有這就證得了，

讀者可類似地證明：

§4.4非齊次線性方程組解的結構1.非齊次線性方程組3.非齊次線性方程組解的性質定理4.5非齊次線性方程組的任意兩個解的差是它的導出方程組的解。2.導出方程組證由題意，，故從而是導出組的解?！踔档弥赋龅氖?非齊次線性方程組的兩個解之和，由于從而不再是方程組的解，即非齊次線性方程組的解集合已不再是向量空間，這里我們將利用其導出方程組解的結構給出非齊次線性方程組解的結構。4.非齊次線性方程組的通解證得到是的通解，從而有

定理4.6非齊次線性方程組的通解為：非齊次線性方程組的特解+導出方程組的通解,即由X的任意性，當X取遍的一切解時，

若設的一個解為為導出方程組的基礎解系，則非齊次線性方程組的解為即的通解為：例題10

求下列線性方程組的通解和導出方程組的的基礎

解系。解

（1）對增廣矩陣做行初等變換：

，方程組有解；又，

解惟一。的行標準形給出惟一解：

這題的導出方程組只有零解沒有基礎解系。（2）對增廣矩陣做行初等變換：

即通解為

，取作為自由未知量

為任意常數(shù)，導出組的基礎解系為

例題11解由題意，已知型的線性方程組，導出組的基礎解系含個線性無關的解.由解的結構，的通解X為從而得到導出組的基礎解系可以取為等價于

又從得

所以