理學(xué)時變電磁場電磁場與電磁波謝處方

會計學(xué)1理學(xué)時變電磁場電磁場與電磁波謝處方24.1波動方程

在無源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線形、各向同性且無損耗的均勻媒質(zhì)，則有

無源區(qū)的波動方程

波動方程——二階矢量微分方程，揭示電磁場的波動性

麥克斯韋方程——一階矢量微分方程組，描述電場與磁場間的相互作用關(guān)系

麥克斯韋方程組波動方程

問題的提出電磁波動方程第1頁/共72頁3同理可得

推證第2頁/共72頁4第3頁/共72頁54.2電磁場的位函數(shù)

討論內(nèi)容

位函數(shù)的性質(zhì)

位函數(shù)的定義

位函數(shù)的規(guī)范條件

位函數(shù)的微分方程第4頁/共72頁6引入位函數(shù)來描述時變電磁場，使一些問題的分析得到簡化。

引入位函數(shù)的意義

位函數(shù)的定義第5頁/共72頁7

位函數(shù)的不確定性

滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù)和能描述同一個電磁場問題。為任意可微函數(shù)

原因：未規(guī)定的散度第6頁/共72頁8第7頁/共72頁9庫侖條件

洛倫茲條件

位函數(shù)的規(guī)范條件

造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒有規(guī)定的散度。利用位函數(shù)的不確定性，可通過規(guī)定的散度使位函數(shù)滿足的方程得以簡化。第8頁/共72頁10

位函數(shù)的微分方程第9頁/共72頁11同樣第10頁/共72頁12

說明

若應(yīng)用庫侖條件，位函數(shù)滿足什么樣的方程?具有什么特點?

問題

應(yīng)用洛侖茲條件的特點：①位函數(shù)滿足的方程在形式上是對稱的，且比較簡單，易求解；②解的物理意義非常清楚，明確地反映出電磁場具有有限的傳遞速度；③矢量位只決定于J，標量位只決定于ρ，這對求解方程特別有利。只需解出A，無需解出就可得到待求的電場和磁場。

電磁位函數(shù)只是簡化時變電磁場分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng)用不同的規(guī)范條件，矢量位A和標量位的解也不相同，但最終得到的電磁場矢量是相同的。第11頁/共72頁134.3電磁能量守恒定律

討論內(nèi)容

坡印廷定理

電磁能量及守恒關(guān)系

坡印廷矢量第12頁/共72頁14電場能量密度：磁場能量密度：電磁能量密度：空間區(qū)域V中的電磁能量：

電磁能量及守恒關(guān)系第13頁/共72頁15

進入體積V的能量＝體積V內(nèi)增加的能量＋體積V內(nèi)損耗的能量

特點：當場隨時間變化時，空間各點的電磁場能量密度也要隨時間改變，從而引起電磁能量流動

電磁能量守恒關(guān)系：第14頁/共72頁16

其中：——單位時間內(nèi)體積V中所增加的電磁能量——單位時間內(nèi)電場對體積V中的電流所作的功；

在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率——通過曲面S進入體積V的電磁功率

表征電磁能量守恒關(guān)系的定理積分形式：

坡印廷定理微分形式：第15頁/共72頁17

將以上兩式相減，得到

推證第16頁/共72頁18在線性和各向同性的媒質(zhì)，當參數(shù)都不隨時間變化時，則有第17頁/共72頁19即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式：第18頁/共72頁20在任意閉曲面S所包圍的體積V上，對上式兩端積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式

物理意義：單位時間內(nèi)，通過曲面S進入體積V的電磁能量等于體積V中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。第19頁/共72頁21

定義：

(W/m2

)

物理意義：

的方向——電磁能量傳輸?shù)姆较?/p>

的大小——通過垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁功率

描述時變電磁場中電磁能量傳輸?shù)囊粋€重要物理量

坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）第20頁/共72頁22

例4.3.1

同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U，導(dǎo)體中流過的電流為I。（1）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計算同軸線中傳輸?shù)墓β?；?）當導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ為有限值時，計算通過內(nèi)導(dǎo)體表面進入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率。同軸線第21頁/共72頁23

解：（1）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場和磁場只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場無切向分量，只有電場的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場和磁場分別為內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量第22頁/共72頁24電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動，即由電源向負載，如圖所示。穿過任意橫截面的功率為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況）第23頁/共72頁25

（2）當導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ為有限值時，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場內(nèi)在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場的切向分量連續(xù)，即因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場為內(nèi)同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）第24頁/共72頁26磁場則仍為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為第25頁/共72頁27式中是單位長度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見，進入內(nèi)導(dǎo)體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。進入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率為由此可見，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如圖所示。

以上分析表明電磁能量是由電磁場傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起著定向引導(dǎo)電磁能流的作用。當導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，進入導(dǎo)體中的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。第26頁/共72頁284.4惟一性定理

在以閉曲面S為邊界的有界區(qū)域內(nèi)V，如果給定t＝0時刻的電場強度和磁場強度的初始值，并且在t

0時，給定邊界面S上的電場強度的切向分量或磁場強度的切向分量，那么，在t>0時，區(qū)域V內(nèi)的電磁場由麥克斯韋方程惟一地確定。

惟一性定理的表述

在分析有界區(qū)域的時變電磁場問題時，常常需要在給定的初始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥克斯韋方程的解的惟一問題。

惟一性問題第27頁/共72頁29

惟一性定理的證明

利用反證法對惟一性定理給予證明。假設(shè)區(qū)域內(nèi)的解不是惟一的，那么至少存在兩組解、和、滿足同樣的麥克斯韋方程，且具有相同的初始條件和邊界條件。令則在區(qū)域V內(nèi)和的初始值為零；在邊界面S上電場強度的切向分量為零或磁場強度的切向分量為零，且和滿足麥克斯韋方程第28頁/共72頁30根據(jù)坡印廷定理，應(yīng)有所以，得由于的初始值為零，將上式兩邊對t積分，可得根據(jù)和的邊界條件，上式左端的被積函數(shù)為第29頁/共72頁31上式中兩項積分的被積函數(shù)均為非負的，要使得積分為零，必有（證畢）即

惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，為電磁場問題的求解提供了理論依據(jù)，具有非常重要的意義和廣泛的應(yīng)用。

第30頁/共72頁324.5時諧電磁場

復(fù)矢量的麥克斯韋方程

時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示

復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率

時諧場的位函數(shù)

亥姆霍茲方程

平均能流密度矢量第31頁/共72頁33

時諧電磁場的概念

如果場源以一定的角頻率隨時間呈時諧（正弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場也以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。這種以一定角頻率作時諧變化的電磁場，稱為時諧電磁場或正弦電磁場。第32頁/共72頁34

研究時諧電磁場具有重要意義

在工程上，應(yīng)用最多的就是時諧電磁場。廣播、電視和通信的載波等都是時諧電磁場。

任意的時變場在一定的條件下可通過傅立葉分析方法展開為不同頻率的時諧場的疊加。第33頁/共72頁354.5.1時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示

時諧電磁場可用復(fù)數(shù)方法來表示，使得大多數(shù)時諧電磁場問題得分析得以簡化。

設(shè)是一個以角頻率隨時間t作正弦變化的場量，它可以是電場和磁場的任意一個分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時間的關(guān)系可以表示成第34頁/共72頁36其中時間因子空間相位因子

利用三角公式式中的um為振幅、為與坐標有關(guān)的相位因子。實數(shù)表示法或瞬時表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅第35頁/共72頁37照此法，矢量場的各分量Ei（i表示x、y或z）可表示成各分量合成以后，電場強度為

復(fù)矢量第36頁/共72頁38

復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實的場真實場是復(fù)數(shù)式的實部，即瞬時表達式由于時間因子是默認的，有時它不用寫出來，只用與坐標有關(guān)的部份就可表示復(fù)矢量

有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進一步說明第37頁/共72頁39

例4.5.1

將下列場矢量的瞬時值形式寫為復(fù)數(shù)形式（2）（1）第38頁/共72頁40解：（1）由于所以第39頁/共72頁41（2）因為故所以第40頁/共72頁42

例4.5.2

已知電場強度復(fù)矢量解其中kz和Exm為實常數(shù)。寫出電場強度的瞬時矢量第41頁/共72頁43以電場旋度方程為例，代入相應(yīng)場量的矢量，可得4.5.2復(fù)矢量的麥克斯韋方程第42頁/共72頁44

～略去“.”和下標m第43頁/共72頁45

例題：已知正弦電磁場的電場瞬時值為式中試求：（1）電場的復(fù)矢量;（2）磁場的復(fù)矢量和瞬時值。第44頁/共72頁46

解：（1）因為故電場的復(fù)矢量為第45頁/共72頁47（2）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場的復(fù)矢量磁場強度瞬時值第46頁/共72頁48

實際的介質(zhì)都存在損耗：

導(dǎo)電媒質(zhì)——當電導(dǎo)率有限時，存在歐姆損耗

電介質(zhì)——受到極化時，存在電極化損耗

磁介質(zhì)——受到磁化時，存在磁化損耗損耗的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時間變化的頻率有關(guān)。一些媒質(zhì)的損耗在低頻時可以忽略，但在高頻時就不能忽略。4.5.3復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率

第47頁/共72頁49

導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)

對于介電常數(shù)為、電導(dǎo)率為的導(dǎo)電媒質(zhì)，有其中c=

-jσ/ω、稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)。第48頁/共72頁50

電介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù)

對于存在電極化損耗的電介質(zhì)，有，稱為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率。其虛部為大于零的數(shù)，表示電介質(zhì)的電極化損耗。在高頻情況下，實部和虛部都是頻率的函數(shù)。

同時存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì)對于同時存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復(fù)介電常數(shù)為

磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率

對于磁性介質(zhì)，復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為，其虛部為大于零的數(shù)，表示磁介質(zhì)的磁化損耗。第49頁/共72頁51

損耗角正切工程上通常用損耗角正切來表示介質(zhì)的損耗特性，其定義為復(fù)介常數(shù)或復(fù)磁導(dǎo)率的虛部與實部之比，即有

導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電性能的相對性導(dǎo)電媒質(zhì)的導(dǎo)電性能具有相對性，在不同頻率情況下，導(dǎo)電媒質(zhì)具有不同的導(dǎo)電性能。電介質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)磁介質(zhì)——

弱導(dǎo)電媒質(zhì)和良絕緣體——

一般導(dǎo)電媒質(zhì)——

良導(dǎo)體第50頁/共72頁524.5.4亥姆霍茲方程

理想介質(zhì)

在時諧時情況下，將、，即可得到復(fù)矢量的波動方程，稱為亥姆霍茲方程。瞬時矢量復(fù)矢量第51頁/共72頁53導(dǎo)電媒質(zhì)第52頁/共72頁544.5.5時諧場的位函數(shù)洛侖茲條件瞬時矢量復(fù)矢量第53頁/共72頁55達朗貝爾方程第54頁/共72頁564.5.6平均能量密度和平均能流密度矢量

時諧場中二次式的表示方法

二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示，其中的場量必須是實數(shù)形式，不能將復(fù)數(shù)形式的場量直接代入。

設(shè)某正弦電磁場的電場強度和磁場強度分別為

電磁場能量密度和能流密度的表達式中都包含了場量的平方關(guān)系，這種關(guān)系式稱為二次式。第55頁/共72頁57則能流密度為如把電場強度和磁場強度用復(fù)數(shù)表示，即有先取實部，再代入第56頁/共72頁58使用二次式時需要注意的問題

二次式只有實數(shù)的形式，沒有復(fù)數(shù)形式場量是實數(shù)式時，直接代入二次式即可場量是復(fù)數(shù)式時，應(yīng)先取實部再代入，即“先取實后相乘”如復(fù)數(shù)形式的場量中沒有時間因子，取實前先補充時間因子第57頁/共72頁59

二次式的時間平均值

在時諧電磁場中，常常要關(guān)心二次式在一個時間周期T中的平均值，即平均能流密度矢量平均電場能量密度平均磁場能量密度第58頁/共72頁60

在時諧電磁場中，二次式的時間平均值可以直接由復(fù)矢量計算，有第59頁/共72頁61則平均能流密度矢量為例如某正弦電磁場的電場強度和磁場強度都用實數(shù)形式給出第60頁/共72頁62如果電場和磁場都用復(fù)數(shù)形式給出，即有

時間平均值與時間無關(guān)第61頁/共72頁63

具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場，也適用于其它時變電磁場；而只適用于時諧電磁場。

利用，可由計算，但不能直接由計算，也就是說

幾點說明第62頁/共72頁64

在中，和都是實數(shù)形式且是時間的函數(shù)，所以也是時間的函數(shù)，反映的是能流密度在某一個瞬時的取值