電路定理疊加定理戴維南定理戴維寧定理

第4章電路定理本章重點疊加定理4.1替代定理4.2戴維寧定理和諾頓定理4.3最大功率傳輸定理4.4特勒根定理4.5*互易定理4.6*對偶原理4.7*熟練掌握各定理的內容、適用范圍及如何應用。建筑電氣系1.疊加定理在線性電路中，任一支路的電流(或電壓)可以看成是電路中每一個獨立電源單獨作用于電路時，在該支路產(chǎn)生的電流(或電壓)的代數(shù)和。4.1疊加定理2.定理的證明應用結點法：(G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1G1is1G2us2G3us3i2i3+–+–1建筑電氣系或表示為：支路電流為：G1is1G2us2G3us3i2i3+–+–1建筑電氣系結點電壓和支路電流均為各電源的一次函數(shù)，均可看成各獨立電源單獨作用時，產(chǎn)生的響應之疊加。3.幾點說明疊加定理只適用于線性電路。一個電源作用，其余電源為零電壓源為零—短路。電流源為零—開路。結論建筑電氣系三個電源共同作用is1單獨作用=+us2單獨作用us3單獨作用+G1G3us3+–G1is1G2us2G3us3i2i3+–+–G1is1G2G3G1G3us2+–建筑電氣系功率不能疊加(功率為電壓和電流的乘積，為電源的二次函數(shù))。

u,i疊加時要注意各分量的參考方向。含受控源(線性)電路亦可用疊加，但受控源應始終保留。4.疊加定理的應用求電壓源的電流及功率例142A70V1052+－I解畫出分電路圖建筑電氣系＋2A電流源作用，電橋平衡：70V電壓源作用：I(1)42A1052470V1052+－I(2）兩個簡單電路應用疊加定理使計算簡化建筑電氣系例2計算電壓u3A電流源作用：解u＋－12V2A＋－13A366V＋－畫出分電路圖＋u(2)i(2)＋－12V2A＋－1366V＋－13A36＋－u(1)其余電源作用：建筑電氣系疊加方式是任意的，可以一次一個獨立源單獨作用，也可以一次幾個獨立源同時作用，取決于使分析計算簡便。注意例3計算電壓u、電流i。解畫出分電路圖u（1）＋－10V2i(1)＋－12＋－i（1）＋受控源始終保留u＋－10V2i＋－1i2＋－5Au(2)2i(2)i(2)＋－12＋－5A建筑電氣系10V電源作用：＋5A電源作用：u（1）＋－10V2i(1)＋－12＋－i（1）u(2)2i(2)i(2)＋－12＋－5A建筑電氣系【練習】試用疊加定理求i、u。解應用KVL應用KVL應用疊加定理，得建筑電氣系【練習】試用疊加定理求i、u。解由上例的結果知在電流源單獨作用的分電路中，應用KVL，得建筑電氣系例4封裝好的電路如圖，已知下列實驗數(shù)據(jù)：研究激勵和響應關系的實驗方法解根據(jù)疊加定理代入實驗數(shù)據(jù)：uS無源線性網(wǎng)絡i－＋iS建筑電氣系5.齊性原理線性電路中，所有激勵(獨立源)都增大(或減小)同樣的倍數(shù)，則電路中響應(電壓或電流)也增大(或減小)同樣的倍數(shù)。當激勵只有一個時，則響應與激勵成正比。具有可加性。注意N網(wǎng)絡N只含電阻和受控源。當只有一個激勵時，響應必與激勵成正比。即輸入電阻建筑電氣系【例5】已知U=68V,求各支路電流。解設I8＝1A，則建筑電氣系各支路實際電流為倒退法建筑電氣系4.2替代定理

對于給定的任意一個電路，若某一支路電壓為uk、電流為ik，那么這條支路就可以用一個電壓等于uk的獨立電壓源，或者用一個電流等于ik的獨立電流源，或用R=uk/ik的電阻來替代，替代后電路中全部電壓和電流均保持原有值(解答唯一)。

1.替代定理支路

k

ik+–uk+–ukik+–ukR=uk/ikik建筑電氣系Aik+–uk支路

k

A+–uk證畢!

2.定理的證明ukuk－＋＋－Aik+–uk支路k

+–uk建筑電氣系例求圖示電路的支路電壓和電流解替代替代以后有：替代后各支路電壓和電流完全不變。＋－i31055110V10i2i1＋－u注意＋－i31055110Vi2i1＋－建筑電氣系替代前后KCL,KVL關系相同，其余支路的u、i關系不變。用uk替代后，其余支路電壓不變(KVL)，其余支路電流也不變，故第k條支路ik也不變(KCL)。用ik替代后，其余支路電流不變(KCL)，其余支路電壓不變，故第k條支路uk也不變(KVL)。原因替代定理既適用于線性電路，也適用于非線性電路。注意建筑電氣系替代后其余支路及參數(shù)不能改變。替代后電路必須有唯一解。無電壓源回路；無電流源結點(含廣義結點)。1.5A2.5A1A注意10V5V25＋－－＋10V5V2＋－－＋2.5A5V+－？？建筑電氣系例1若使試求Rx3.替代定理的應用解用替代：=+–+U'0.50.51I0.50.50.50.51U''–+0.50.510V31RxIx–+UI0.5＋－0.50.51I0.5建筑電氣系U=U'+U"=(0.1-0.075)I=0.025IRx=U/0.125I=0.025I/0.125I=0.2–+U'0.50.51I0.50.50.50.51U''–+建筑電氣系例2求電流I1解用替代：657V36I1–+1＋－2+－6V3V4A4244A＋－7VI1建筑電氣系例3已知:uab=0,

求電阻R解用替代：用結點法：R83V4b＋－2+－a20V3IR84b2+－a20V1AcI1IR建筑電氣系例4用多大電阻替代2V電壓源而不影響電路的工作解0.5AI應求電流I，先化簡電路。應用結點法得：10V＋－2+-2V25144V103A＋－2+－2V210I1建筑電氣系例5已知:uab=0,

求電阻R解用開路替代，得：短路替代1A442V30＋－6025102040baR0.5Adc建筑電氣系4.3戴維寧定理和諾頓定理工程實際中，常常碰到只需研究某一支路的電壓、電流或功率的問題。對所研究的支路來說，電路的其余部分就成為一個有源二端網(wǎng)絡，可等效變換為較簡單的含源支路(電壓源與電阻串聯(lián)或電流源與電阻并聯(lián)支路),使分析和計算簡化。戴維寧定理和諾頓定理正是給出了等效含源支路及其計算方法。建筑電氣系1.戴維寧定理任何一個線性含源一端口網(wǎng)絡，對外電路來說，總可以用一個電壓源和電阻的串聯(lián)組合來等效置換；此電壓源的電壓等于外電路斷開時端口處的開路電壓uoc，而電阻等于一端口的輸入電阻（或等效電阻Req）。abiu+-AiabReqUoc+-u+-4.3戴維寧定理和諾頓定理建筑電氣系例1010+–20V+–Uocab+–10V1A52A+–Uocab515VabReqUoc+-應用電源等效變換建筑電氣系I例(1)求開路電壓Uoc(2)求輸入電阻Req1010+–20V+–Uocab+–10V515VabReqUoc+-應用電戴維寧定理兩種解法結果一致，戴維寧定理更具普遍性。注意建筑電氣系2.定理的證明+替代疊加A中獨立源置零abi+–uNAu'ab+–Aabi+–uNu''abi+–AReq建筑電氣系i+–uNabReqUoc+-建筑電氣系3.定理的應用（1）開路電壓Uoc

的計算等效電阻為將一端口網(wǎng)絡內部獨立電源全部置零(電壓源短路，電流源開路)后，所得無源一端口網(wǎng)絡的輸入電阻。常用下列方法計算：（2）等效電阻的計算

戴維寧等效電路中電壓源電壓等于將外電路斷開時的開路電壓Uoc，電壓源方向與所求開路電壓方向有關。計算Uoc的方法視電路形式選擇前面學過的任意方法，使易于計算。建筑電氣系23方法更有一般性。當網(wǎng)絡內部不含有受控源時可采用電阻串并聯(lián)和△－Y互換的方法計算等效電阻；開路電壓、短路電流法。外加電源法（加電壓求電流或加電流求電壓）；uabi+–NReqiabReqUoc+-u+-abui+–NReq建筑電氣系外電路可以是任意的線性或非線性電路，外電路發(fā)生改變時，含源一端口網(wǎng)絡的等效電路不變(伏-安特性等效)。當一端口內部含有受控源時，控制電路與受控源必須包含在被化簡的同一部分電路中。注意例1

計算Rx分別為1.2、5.2時的電流I。IRxab+–10V4664解斷開Rx支路，將剩余一端口網(wǎng)絡化為戴維寧等效電路：建筑電氣系求等效電阻ReqReq=4//6+6//4=4.8

Rx

=1.2時，I=Uoc/(Req+Rx)=0.333ARx=5.2時，I=Uoc/(Req+Rx)=0.2AUoc=U1

-

U2

=-104/(4+6)+106/(4+6)=6-4=2V求開路電壓b+–10V4664+-UocIabUoc+–RxReq+U1-+U2-b4664+-Uoc建筑電氣系求電壓Uo例2解求開路電壓UocUoc=6I+3II=9/9=1AUoc=9V求等效電阻Req方法1：加壓求流336I+–9V+–U0+–6I36I+–9V+–U0C+–6I36I+–U+–6IIo獨立源置零U=6I+3I=9II=Io6/(6+3)=(2/3)IoU=9(2/3)I0=6IoReq=U/Io=6分流關系建筑電氣系方法2：開路電壓、短路電流(Uoc=9V)6I1+3I=96I+3I=0I=0Isc=I1=9/6=1.5AReq=Uoc/Isc=9/1.5=6獨立源保留36I+–9V+–6IIscI1U0+-+-69V3等效電路KVL

建筑電氣系計算含受控源電路的等效電阻是用外加電源法還是開路、短路法，要具體問題具體分析，以計算簡便為好。求負載RL消耗的功率。例3解求開路電壓Uoc注意10050+–40VRL+–50VI14I150510050+–40VI14I150建筑電氣系求等效電阻Req用開路電壓、短路電流法10050+–40VI150200I1+–Uoc–+Isc10050+–40VI150200I1–+Isc50+–40V50建筑電氣系已知開關S例41

A＝2A2

V＝4V求開關S打向3，電壓U等于多少。解UocReq5＋－50VIL+–10V25AV5U+－S1321A線性含源網(wǎng)絡+-5U+－1A24V+－建筑電氣系任何一個含源線性一端口電路，對外電路來說，可以用一個電流源和電阻的并聯(lián)組合來等效置換；電流源的電流等于該一端口的短路電流，電阻等于該一端口的輸入電阻。4.諾頓定理一般情況，諾頓等效電路可由戴維寧等效電路經(jīng)電源等效變換得到。諾頓等效電路可采用與戴維寧定理類似的方法證明。abiu+-AabReqIsc注意建筑電氣系例1求電流I求短路電流IscI1=12/2=6A

I2=(24+12)/10=3.6AIsc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A解求等效電阻ReqReq=10//2=1.67諾頓等效電路:應用分流公式I=2.83A12V210+–24V4I+–Isc12V210+–24V+–Req210I1

I24I-9.6A1.67建筑電氣系例2求電壓U求短路電流Isc解本題用諾頓定理求比較方便。因a、b處的短路電流比開路電壓容易求。ab36+–24V1A3+–U666Iscab36+–24V3666建筑電氣系求等效電阻Reqab363666Req諾頓等效電路:Iscab1A4＋－U3A建筑電氣系若一端口網(wǎng)絡的等效電阻Req=0，該一端口網(wǎng)絡只有戴維寧等效電路，無諾頓等效電路。注意若一端口網(wǎng)絡的等效電阻Req=，該一端口網(wǎng)絡只有諾頓等效電路，無戴維寧等效電路。abAReq=0＋－UocabAReq=Isc建筑電氣系4.4最大功率傳輸定理一個含源線性一端口電路，當所接負載不同時，一端口電路傳輸給負載的功率就不同，討論負載為何值時能從電路獲取最大功率，及最大功率的值是多少的問題是有工程意義的。i+–uA負載應用戴維寧定理iUoc+–ReqRL建筑電氣系RL

P0Pmax最大功率匹配條件對P求導：建筑電氣系例RL為何值時能獲得最大功率，并求最大功率求開路電壓Uoc解20+–20Vab2A+–URRL1020+–20Vab2A+–UR10＋－UocI1I2建筑電氣系求等效電阻Req由最大功率傳輸定理得:20+–IabUR10UI2I1+_時其上可獲得最大功率加電流求電壓建筑電氣系最大功率傳輸定理用于一端口電路給定,負載電阻可調的情況;一端口等效電阻消耗的功率一般并不等于端口內部消耗的功率,因此當負載獲取最大功率時,電路的傳輸效率并不一定是50%;計算最大功率問題結合應用戴維寧定理或諾頓定理最方便.注意建筑電氣系

4.5*

特勒根定理1.特勒根定理1任何時刻，一個具有n個結點和b條支路的集總電路，在支路電流和電壓取關聯(lián)參考方向下，滿足:功率守恒任何一個電路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。表明建筑電氣系4651234231應用KCL:支路電壓用結點電壓表示定理證明：123建筑電氣系46512342312.特勒根定理2任何時刻，對于兩個具有n個結點和b條支路的集總電路，當它們具有相同的圖，但由內容不同的支路構成，在支路電流和電壓取關聯(lián)參考方向下，滿足:建筑電氣系46512342314651234231擬功率定理建筑電氣系定理證明：對電路2應用KCL:123建筑電氣系例1

R1=R2=2,Us=8V時,I1=2A,U2=2V

R1=1.4,R2=0.8,Us=9V時,I1=3A,求此時的U2解把兩種情況看成是結構相同，參數(shù)不同的兩個電路，利用特勒根定理2由(1)得：U1=4V,

I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A–+U1+–UsR1I1I2–+U2R2無源電阻網(wǎng)絡

建筑電氣系–+4V+–1A–+2V無源電阻網(wǎng)絡

2A–+4.8V+––+無源電阻網(wǎng)絡

3A建筑電氣系

例2解已知：

U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A,–+U1–+U2I2I1P2–+–+P建筑電氣系應用特勒根定理：電路中的支路電壓必須滿足KVL;電路中的支路電流必須滿足KCL;電路中的支路電壓和支路電流必須滿足關聯(lián)參考方向；（否則公式中加負號）定理的正確性與元件的特征全然無關。注意建筑電氣系4.6*

互易定理

互易性是一類特殊的線性網(wǎng)絡的重要性質。一個具有互易性的網(wǎng)絡在輸入端（激勵）與輸出端（響應）互換位置后，同一激勵所產(chǎn)生的響應并不改變。具有互易性的網(wǎng)絡叫互易網(wǎng)絡，互易定理是對電路的這種性質所進行的概括，它廣泛的應用于網(wǎng)絡的靈敏度分析和測量技術等方面。建筑電氣系1.互易定理對一個僅含電阻的二端口電路NR，其中一個端口加激勵源，一個端口作響應端口，在只有一個激勵源的情況下，當激勵與響應互換位置時，同一激勵所產(chǎn)生的響應相同。建筑電氣系情況1

激勵電壓源電流響應當

uS1=

uS2

時，i2=

i1

則端口電壓電流滿足關系：i2線性電阻網(wǎng)絡NR+–uS1abcd(a)線性電阻網(wǎng)絡NR+–abcdi1uS2(b)注意建筑電氣系證明:由特勒根定理：即：兩式相減，得：建筑電氣系將圖(a)與圖(b)中端口條件代入，即:即：證畢！i2線性電阻網(wǎng)絡NR+–uS1abcd(a)線性電阻網(wǎng)絡NR+–abcdi1uS2(b)建筑電氣系情況2激勵電流源電壓響應則端口電壓電流滿足關系：當iS1=

iS2

時，u2=

u1

注意+–u2線性電阻網(wǎng)絡NRiS1abcd(a)+–u1線性電阻網(wǎng)絡NRabcd(b)iS2建筑電氣系情況3則端口電壓電流在數(shù)值上滿足關系：當iS1=

uS2

時，i2=

u1

激勵電流源電壓源圖b圖a電流響應電壓圖b圖a注意+–uS2+–u1線性電阻網(wǎng)絡NRabcd(b)i2線性電阻網(wǎng)絡NRiS1abcd(a)建筑電氣系互易定理只適用于線性電阻網(wǎng)絡在單一電源激勵下，端口兩個支路電壓電流關系?；ヒ浊昂髴３志W(wǎng)絡的拓撲結構不變，僅理想電源搬移；互易前后端口處的激勵和響應的極性保持一致（要么都關聯(lián)，要么都非關聯(lián))；含有受控源的網(wǎng)絡，互易定理一般不成立。應用互易定理分析電路時應注意：建筑電氣系例1求(a)圖電流I

，(b)圖電壓U解利用互易定理16I+–12V2(a)416I+–12V2(a)4(b)124+–U66A(b)124+–U66A建筑電氣系例2求電流I解利用互易定理I1=I'2/(4+2)=2/3AI2=I'2/(1+2)=4/3AI=I1-I2=-2/3A2124+–8V2Iabcd8VI1I2I'2124+–2Iabcd建筑電氣系例3測得a圖中U1＝10V，U2＝5V，求b圖中的電流I解1利用互易定理知c圖的U1+–+–U2線性電阻網(wǎng)絡NR2Aabcd(a)52A+–I線性電阻網(wǎng)絡NRabcd(b)(c)+–2A+–線性電阻網(wǎng)絡NRabcd建筑電氣系結合a圖，知c圖的等效電阻：戴維寧等效電路Req(c)線性電阻網(wǎng)絡NRabcd55+–5VabI建筑電氣系解2應用特勒根定理：U1+–+–U2線性電阻網(wǎng)絡NR2Aabcd(a)52A+–I線性電阻網(wǎng)絡NRabcd(b)建筑電氣系例4問圖示電路與取何關系時電路具有互易性解在a-b端加電流源，解得：在c-d端加電流源，解得：131+–UIabcdI+–UIS131+–UIabcdI+–UIS建筑電氣系如要電路具有互易性，則：一般有受