第二章學(xué)案4-用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布

開始學(xué)案4用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布學(xué)點(diǎn)一學(xué)點(diǎn)二學(xué)點(diǎn)三

1.頻數(shù)、頻率將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個組，各組內(nèi)數(shù)據(jù)的

，叫做該組的

，每組頻數(shù)除以

的個數(shù)即得該組的

.2.頻率分布表當(dāng)總體很大或不便于獲得時,可以用

.估計(jì)總體的頻率分布,反映總體頻率分布的表格稱為頻率分布表.3.頻率分布直方圖以橫軸表示

,縱軸表示

,以每個組距為底,以各頻率除以組距的商為高,分別畫成矩形,這樣就得到了頻率分布直方圖.返回目錄個數(shù)頻數(shù)頻率全體數(shù)據(jù)樣本的頻率分布總分返回目錄4.頻率分布折線圖把頻率分布直方圖各個長方形上底邊的

用線段連接起來,就得到頻率分布折線圖.5.總體密度曲線頻率分布直方圖的優(yōu)點(diǎn)是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢,如果樣本容量不斷增大,分組的組距不斷縮小,則頻率分布直方圖實(shí)際上越來越接近于總體的分布，它可以用一條

來描繪,這條光滑曲線就叫做總體密度曲線.6.當(dāng)樣本的數(shù)據(jù)較少,且最大數(shù)是兩位有效數(shù)字時,用中間的數(shù)字表示

,即第一個有效數(shù)字,兩邊的數(shù)字表示

,即第二個有效數(shù)字,它的中間部分像植物的莖,兩邊部分像植物莖上長出的葉子,因此,通常把這種圖叫做莖葉圖.中點(diǎn)光滑曲線y=f(x)十位數(shù)個位數(shù)返回目錄學(xué)點(diǎn)一列頻率分布表,畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖

【分析】考查頻率分布表、頻率分布直方圖及折線圖.對某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查,情況如下:壽命(h)100～200200～300300～400400～500500～600個數(shù)2030804030(1)列出頻率分布表;(2)畫出頻率分布直方圖及折線圖;(3)估計(jì)電子元件壽命在400h以上的概率.返回目錄

【解析】(1)頻率分布表如下:壽命(h)頻數(shù)頻率100～200200.10200～300300.15300～400400.40400～500500.20500～600600.15合計(jì)2001.00(2)頻率分布直方圖及折線圖如圖2-4-1.圖2-4-1返回目錄

【評析】用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布時,要使樣本能夠很好地反映總體的特性,必須隨機(jī)抽取樣本.由于樣本的隨機(jī)性,可以想到,如果隨機(jī)抽取另外一個樣本,所形成的樣本頻率分布一般會與前一個樣本頻率分布有所不同.但是,它們都可以近似地看作總體的分布.

(3)由頻率分布表可知,壽命在400h以上的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.20+0.15=0.35.

故我們估計(jì)電子元件壽命在400h以上的概率為0.35.返回目錄對某班50人進(jìn)行智力測驗(yàn),其得分如下:48,64,52,86,81,48,64,41,86,79,71,68,82,84,68,64,62,68,81,57,90,52,74,73,56,78,47,66,55,64,56,88,69,40,73,97,68,56,67,59,70,52,79,44,55,69,62,58,32,58(1)這次測試成績的最大值和最小值是多少?(2)將［30,100］平分成7個小區(qū)間,試畫出該班學(xué)生智力

測驗(yàn)成績的頻率分布直方圖;(3)分析這個頻率分布圖，你能得出什么結(jié)論？解：(1)這次測驗(yàn)成績中的最小值為32,最大值為97.

(2)7個區(qū)間分別為［30,40）,［40,50）,［50,60）,［60,70）,［70,80）,［80,90）,［90,100］.每一小區(qū)返回目錄間的長度是10,統(tǒng)計(jì)出各小區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)頻數(shù),列表如下:

頻率分布直方圖如下：

(3)可以看出，該班智力測驗(yàn)成績大體上呈兩頭小、中間大、左右基本對稱的鐘形狀態(tài),說明該班學(xué)生智力特別好或特別差的是極少數(shù),而智力一般的是多數(shù),這是一種最常見的分布.區(qū)間[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)頻數(shù)161214962返回目錄學(xué)點(diǎn)二頻率分布直方圖的應(yīng)用為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖(如圖2-4-2所示),圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小組頻數(shù)為12.圖2-4-2返回目錄

【分析】考查頻率分布直方圖的應(yīng)用.(1)第二小組的頻率是多少?樣本容量是多少?(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo),試估計(jì)該校全體高

一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少?

【解析】(1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小,因此第二小組的頻率為

又因?yàn)轭l率=

,所以樣本容量=

=150.返回目錄

(2)由圖可估計(jì)該校高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為

故第二小組的頻率是0.08,樣本容量是150，高一學(xué)生達(dá)標(biāo)率是88%.

【評析】（1）頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到題意中看不清楚的信息和數(shù)據(jù)模式.

(2)頻率分布直方圖反映了樣本在各個范圍內(nèi)取值的可能性,由抽樣的代表性,利用樣本在某一范圍內(nèi)的頻率,可近似地估計(jì)總體在這一范圍內(nèi)的可能性.返回目錄在學(xué)校開展的綜合實(shí)踐活動中,某班進(jìn)行了小制作評比,作品上交時間為5月1日至30日,評委會把同學(xué)們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計(jì),繪制了頻率分布直方圖(如圖2-4-3所示).已知從左到右各長方形的高的比為2∶3∶4∶6∶4∶1,第三組的頻數(shù)為12,請解答下列問題:圖2-4-3返回目錄(1)本次活動共有多少件作品參加評比?(2)哪組上交的作品數(shù)最多?有多少件?(3)經(jīng)過評比,第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎,

問這兩組哪組獲獎率較高?

解:(1)依題意知第三組的頻率為

又因?yàn)榈谌M的頻數(shù)為12,所以本次活動的參評作品數(shù)為=60(件).返回目錄

(2)根據(jù)頻率分布直方圖,可以看出第四組上交的作品數(shù)量最多,共有

60×

=18(件).

(3)第四組的獲獎率是,第六組上交的作品數(shù)量為

60×=3(件).∴第六組的獲獎率為,顯然第六組的獲獎率較高.返回目錄學(xué)點(diǎn)三用莖葉圖表示數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析在某電腦雜志的一篇文章中,每個句子的字?jǐn)?shù)如下:10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17.在某報紙的一篇文章中,每個句子中所含的字的個數(shù)如下:27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22(1)將這兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示;(2)將這兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析,得到什么結(jié)論?

【分析】（1）將十位數(shù)字作為莖，個位數(shù)字作為葉,逐一統(tǒng)計(jì)；（2）根據(jù)莖葉圖分析兩組數(shù)據(jù)，得到結(jié)論.返回目錄

【解析】（1）如圖2-4-4：（2）電腦雜志上每個句子的字?jǐn)?shù)集中在10～

30之間，中位數(shù)為22.5；而報紙上每個句子的字?jǐn)?shù)集中在10～40之間，中位數(shù)為27.5.還可以看出電腦雜志上每個句子的平均字?jǐn)?shù)比報紙上每個句子的平均字?jǐn)?shù)要少，說明電腦雜志作為讀物須通俗易懂、簡明.圖2-4-4返回目錄

【評析】莖葉圖在數(shù)據(jù)較少,較為集中且值數(shù)不多時比較適用,由于較好地保留了原始數(shù)據(jù),所以可以幫助分析樣本數(shù)據(jù)的大致頻率分布,還可以用來分析樣本數(shù)據(jù)的一些數(shù)字特征.返回目錄某市對上、下班交通情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，上、下班時間各抽取了12輛機(jī)動車行駛時速如下：（單位：km/h）上班時間：30

33

18

27

32

40

26

28

21

28

35

20下班時間：27

19

32

29

36

29

30

22

25

16

17

30用莖葉圖表示上面的樣本數(shù)據(jù)，并求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù).

解：根據(jù)題意繪出該市上、下班交通情況的莖葉圖，如圖所示.返回目錄由圖可見，上班時間行駛時速的中位數(shù)是28，下班時間行駛時速的中位數(shù)是28.

1.如何理解用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布?

總體分布是指總體取值的分布規(guī)律,這種分布我們一般是不知道的.用樣本去估計(jì)總體,是研究統(tǒng)計(jì)問題的一個基本思想,對于不易知道的總體分布,常常用樣本的頻率分布對它進(jìn)行估計(jì).樣本的容量越大,這種估計(jì)就越精確.用樣本估計(jì)的思想就是用部分考察全體、用離散考察連續(xù)、用有限考察無限的思想,是用觀察測量值來探究客觀規(guī)律的一種重要的基本思想.

用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布時,要使樣本能夠很好的反映總體的特征,必須隨機(jī)抽取樣本.由于抽樣的隨機(jī)性,當(dāng)抽取的樣本變化時,所形成的樣本頻率分布一般會與前一個樣本頻率分布有所不同.但是,它們都可以近似地看作總體的分布.返回目錄返回目錄

2.如何理解頻率分布折線圖與總體密度曲線?

(1)為了方便看圖,一般習(xí)慣于把頻率分布折線圖畫成與橫軸相連,所以橫軸上的左右兩端點(diǎn)沒有實(shí)際的意義.

(2)總體密度曲線呈中間高、兩邊低的“鐘”形分布,總體的數(shù)據(jù)大致呈對稱分布,并且大部分?jǐn)?shù)據(jù)都集中在靠近中間的區(qū)間內(nèi).

用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布時,要使樣本能夠很好的反映總體的特征,必須隨機(jī)抽取樣本.由于抽樣的隨機(jī)性,當(dāng)抽取的樣本變化時,所形成的樣本頻率分布一般會與前一個樣本頻率分布有所不同.但是,它們都可以近似地看作總體的分布.返回目錄

3.莖葉圖有哪些優(yōu)點(diǎn)?

用莖葉圖表示有兩個突出的優(yōu)點(diǎn):其一,在統(tǒng)計(jì)圖上沒有原始信息的損失,所有的信息都可以從這個莖葉圖中得到;其二,莖葉圖可以在比賽時隨時記錄,方便記錄與表示.但莖葉圖便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù),雖然可以表示兩個人以上的比賽結(jié)果(或兩個以上的記錄),但沒有分別表示兩個記錄那么直觀、清晰.

1.做頻率分布直方圖,一般按以下步驟:

(1)求極差(極差=最大值-最小值);

(2)決定組距與組數(shù);

(3)決定分點(diǎn);

(4)列頻率分布表(頻率=頻數(shù)/樣本容量);

(5)繪制頻率分布直方圖.

2.畫頻率分布直方圖時應(yīng)注意以下原則:

(1)決定組距與組數(shù),將數(shù)據(jù)分組時,組數(shù)應(yīng)為求合適,以使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來.