第二章 分離變量法

第二章分離變量法一、疊加原理二階線性偏微分方程中的算符:線性偏微分方程是一個(gè)線性算符作用在函數(shù)上的結(jié)果，Lu=f(x,y,z,t)（非齊次）Lu=0（齊次）1、若u1,u2都是齊次方程Lu=0的解，即Lu1=0，Lu2=0，則它們的線性組合c1u1+c2u2仍然是齊次方程Lu=0的解，即L(c1u1+c2u2)=0。2、若u1是非齊次方程Lu=f的解，即Lu1=f，而u2是齊次方程Lu=0的解，即Lu2=0，則u1+u2依然是非齊次方程Lu=f的解。3、若Lu1=f1，Lu2=f2，則L(u1+u2)=f1+f2二、分離變量的方法（以兩端固定的有界弦為例說明）定解問題為：

utt-a2uxx=0(0<x<l,t>0)

u(0,t)=u(l,t)=0

u(x,0)=φ(x)

ut(x,0)=ψ(x)設(shè)方程的解可以寫成u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)只是x的函數(shù)，T(t)只是t的函數(shù)，將其代入振動(dòng)方程由邊界條件u(0,t)=u(l,t)=0=>X(0)T(t)=X(l)T(t)=0=>X(0)=X(l)=01、求解本征值λn①λ<0由X(0)=X(l)=0得=>A=B=0②λ=0

X″=0=>X(x)=Ax+B由X(0)=X(l)=0，A=B=0③λ>0由X(0)=X(l)=0，得(n=1,2,3,…)2、確定系數(shù)Cn、Dn3、解的物理意義(n=1,2,3,…)（1）u(x,t)=X(x)T(t)形式的解是一種駐波，所以這種分離變量法也可以叫做駐波法。（2）節(jié)點(diǎn)總數(shù)為n+1（3）相鄰節(jié)點(diǎn)間的距離為λ/2，所以λ/2=l/n=>λ=2l/n。（4）本征頻率：ωn=nπa/l，ν=ωn/2π=na/2l三、分離變量法求解齊次方程舉例（一）齊次邊界條件1、第一類齊次邊界條件上題就是這樣的例子，這里不再重復(fù)。2、第二類齊次邊界條件兩端自由的均勻桿，作縱振動(dòng)，研究自由桿的自由縱振動(dòng)。解：定解問題：令u(x,t)=X(x)T(t)①λ<0X(x)無非零解②λ=0X′(l)=0對X(x)=B沒有約束，所以，X(x)=B③λ>0X′(x)=0=>B=0（2）求解T″+a2λT=0：（3）由初始條件3、一類和二類齊次邊界條件單簧管是直徑均勻的細(xì)管，一端封閉，而另一端開放。求管內(nèi)空氣柱的本征振動(dòng)。解：定解問題：①λ<0X(x)無非零解。②λ=0X″=0=>X(x)=Ax+BX(0)=0=>X(x)=AxX′(l)=0=>A=0X(x)無非零解。③λ>0X(0)=0=>A=0（2）求解T″+a2λT=0：（二）非齊次邊界條件舉例1、細(xì)桿導(dǎo)熱問題桿初始溫度均勻，為u0，保持一端溫度恒定，另一端有強(qiáng)度為q0的熱流進(jìn)入。解：定解問題：將邊界條件化為齊次，令v(x,t)=u0+q0/k·x

可令u(x,t)是v和w的疊加：u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)則w(x,t)滿足的定解問題為：令w(x,t)=X(x)T(t)（1）求解X″+λX=0：①λ≤0時(shí)，為平庸解（前面已經(jīng)敘過）。②λ>0時(shí)，（2）求解T'+a2λT=0：2、矩形域的Laplace方程散熱片橫截面為矩形，y=b處于較高溫度U，y=0,x=0,x=a處于冷卻介質(zhì)中保持較低溫度u0，求橫截面上的穩(wěn)定溫度分布u(x,y)。解:定解問題：Δu(x,y)＝0即uxx+uyy=0u(0,y)=u(a,y)=u0,0<y<b

u(x,0)=u0,u(x,b)=U,0<x<a邊界條齊次化令u(x,y)=u0+v(x,y)則v(x,y)的定解問題為：vxx+vyy=0v(0,y)=v(a,y)=0v(x,0)=0,v(x,b)=U-u0

令v(x,y)=X(x)Y(y)X″Y+XY″=0X″/X=-Y″/Y=-λX″+λX=0,Y″-λY=0①X″+λX=0

λ=0時(shí)，X″=0=>X=px+qv(0,y)=v(a,y)=0=>X(0)=X(a)=0