第4講-直線、平面與平面的相對位置

平行問題第一節(jié)相交問題第二節(jié)垂直問題第三節(jié)第4講直線、平面與平面相對位置1/15/20231

一、平行問題1.直線與平面平行幾何條件若平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題的依據。有關線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。2.平面與平面平行幾何條件若一個平面內的相交二直線與另一個平面內的相交二直線對應平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據。兩面平行的作圖問題有：判別兩已知平面是否相互平行；過一點作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的所缺投影。1/15/20232例題1

試判斷直線AB是否平行于定平面

fgfg結論：直線AB不平行于定平面1/15/20233例題2試過點K作水平線AB平行于ΔCDE平面

baaffb1/15/20234例題3

試判斷兩平面是否平行mnmnrrss結論：兩平面平行1/15/20235二、相交問題

直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面相交有交點，交點既在直線上又在平面上，因而交點是直線與平面的共有點。兩平面的交線是直線，它是兩平面的共有線。

求線面交點、面面交線的實質是求共有點、共有線的投影1/15/20236直線與平面相交直線與平面相交只有一個交點，它是直線與平面的共有點。BKA1/15/20237M平面與平面相交兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有FKNL1/15/20238bbaaccmmnn（1）直線與特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交點可直接求出。kk1/15/20239判斷直線的可見性bbaaccmmnkkn

特殊位置線面相交，根據平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。

1/15/202310()

例題4求鉛垂線EF與一般位置平面△ABC的交點并判別其可見性。

k21k'2'1'1/15/202311（2）一般位置平面與特殊位置平面相交nlmmlnbaccabfkfkMmnlPBCacbPHAFKNLkf1/15/202312判斷平面的可見性1/15/202313

兩一般位置平面相交，求交線步驟：1．用求直線與平面交點的方法，作出兩平面的兩個共有點K、E。（4）兩一般位置平面相交llnmmnPVQV1221kkee2．連接兩個共有點，畫出交線KE。1/15/202314兩一般位置平面相交求交線的方法示意圖

利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。MBCAFKNL1/15/202315利用重影點判別可見性兩平面相交，判別可見性3

4

()3421()121/15/202316例題5試過K點作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線EF相交。1/15/202317分析

過已知點K作平面P平行于

ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。FPEKH1/15/202318作圖mnhhnmPV11221．過點K作平面KMN//

ABC平面。2．求直線EF與平面KMN的交點H。3．連接KH，KH即為所求。1/15/202319直線與平面垂直的幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。

三、垂直問題1/15/202320定理2（逆）若一直線的水平投影垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影，則直線必垂直于該平面。1/15/202321h例題6試過定點K作特殊位置平面的法線。hhhhh（a）（c）（b）1/15/202322

兩平面垂直的幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。AD1/15/202323g

例題7平面由

BDF給定，試過定點K作已知平面的垂面。hacachg1/15/202324例題8

試判斷

ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面是否垂直。ffdd結論：因為AD直線不在

ABC平面上，所以兩平面不垂直。1/15/202325例題9

試過定點A作直線與已知直線EF正交。1/15/202326EQ分析

過已知點A作平面垂直于已知直線EF，并交于點K，連接AK，AK即為所求。