第7講第六章樣本及其抽樣分布

第六章樣本及其抽樣分布第一節(jié) 隨機(jī)樣本第二節(jié) 樣本及抽樣分布第一節(jié)隨機(jī)樣本總體和樣本小結(jié)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門(mén)應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科.它是研究怎樣以有效的方式收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以便對(duì)所考察的問(wèn)題作出推斷和預(yù)測(cè).由于大量隨機(jī)現(xiàn)象必然呈現(xiàn)它規(guī)律性，只要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次觀察，被研究的規(guī)律性一定能清楚地呈現(xiàn)出來(lái).客觀上，只允許我們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行次數(shù)不多的觀察試驗(yàn)

，我們只能獲得局部觀察資料.數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是研究有效地收集、整理、分析所獲得的有限的資料，對(duì)所研究的問(wèn)題,盡可能地作出精確而可靠的結(jié)論.在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，不是對(duì)所研究的對(duì)象全體(稱(chēng)為總體)進(jìn)行觀察，而是抽取其中的部分(稱(chēng)為樣本)進(jìn)行觀察獲得數(shù)據(jù)（抽樣），并通過(guò)這些數(shù)據(jù)對(duì)總體進(jìn)行推斷.數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法具有“部分推斷整體”的特征.在數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究中，人們往往研究有關(guān)對(duì)象的某一項(xiàng)(或幾項(xiàng))數(shù)量指標(biāo)和為此，對(duì)這一指標(biāo)進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)，觀察試驗(yàn)結(jié)果全部觀察值，從而考察該數(shù)量指標(biāo)的分布情況.這時(shí)，每個(gè)具有的數(shù)量指標(biāo)的全體就是總體.每個(gè)數(shù)量指標(biāo)就是個(gè)體.某批燈泡的壽命該批燈泡壽命的全體就是總體國(guó)產(chǎn)轎車(chē)每公里的耗油量國(guó)產(chǎn)轎車(chē)每公里耗油量的全體就是總體

一個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題總有它明確的研究對(duì)象.1.總體…研究某批燈泡的質(zhì)量

研究對(duì)象的全體稱(chēng)為總體，總體一、總體和樣本總體中所包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)稱(chēng)為總體的容量.總體中每個(gè)成員稱(chēng)為個(gè)體，總體有限總體無(wú)限總體因此在理論上可以把總體與概率分布等同起來(lái).我們關(guān)心的是總體中的個(gè)體的某項(xiàng)指標(biāo)(如人的身高、燈泡的壽命,汽車(chē)的耗油量…).由于每個(gè)個(gè)體的出現(xiàn)是隨機(jī)的，所以相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)的出現(xiàn)也帶有隨機(jī)性.從而可以把這種數(shù)量指標(biāo)看作一個(gè)隨機(jī)變量X，因此隨機(jī)變量X的分布就是該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布.

總體就可以用一個(gè)隨機(jī)變量及其分布來(lái)描述.例如:研究某批燈泡的壽命時(shí)，關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)就是壽命，那么，此總體就可以用隨機(jī)變量X表示，或用其分布函數(shù)F(x)表示.某批燈泡的壽命總體

壽命X可用一概率（指數(shù)）分布來(lái)刻劃鑒于此，常用隨機(jī)變量的記號(hào)或用其分布函數(shù)表示總體.如說(shuō)總體X或總體F(x).

類(lèi)似地，在研究某地區(qū)中學(xué)生的營(yíng)養(yǎng)狀況時(shí)，若關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)是身高和體重，我們用X和Y分別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨機(jī)變量(X,Y)或其聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)來(lái)表示.

統(tǒng)計(jì)中，總體這個(gè)概念的要旨是：總體就是一個(gè)概率分布.參數(shù)的分布，為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總體中抽取若干個(gè)體進(jìn)行觀察試驗(yàn)，以獲得有關(guān)總體的信息，這一抽取過(guò)程稱(chēng)為“抽樣”，所抽取的部分個(gè)體稱(chēng)為樣本.樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目稱(chēng)為樣本容量.2.樣本從國(guó)產(chǎn)轎車(chē)中抽5輛進(jìn)行耗油量試驗(yàn)樣本容量為5抽到哪5輛是隨機(jī)的總體分布一般是未知，或只知道是包含未知

一旦取定一組樣本X1，…,Xn

,得到n個(gè)具體的數(shù)(x1,x2,…,xn)，稱(chēng)為樣本的一次觀察值，簡(jiǎn)稱(chēng)樣本值.n稱(chēng)為這個(gè)樣本的容量.最常用的一種抽樣叫作“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”，其特點(diǎn)：1.代表性：X1,X2,…,Xn中每一個(gè)與所考察的總體有相同的分布.2.獨(dú)立性：X1,X2,…,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.定義：

由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，它可以用與總體獨(dú)立同分布的n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn表示.

簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見(jiàn)的情形，今后，當(dāng)說(shuō)到“X1,X2,…,Xn是取自某總體的樣本”時(shí)，若不特別說(shuō)明，就指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.=F(x1)F(x2)…

F(xn)

若總體的分布函數(shù)為F(x)、概率密度函數(shù)為f(x),則其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)為=f(x1)f(x2)…

f(xn)

事實(shí)上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值.如我們從某班大學(xué)生中抽取10人測(cè)量身高,得到10個(gè)數(shù)，它們是樣本取到的值而不是樣本.我們只能觀察到隨機(jī)變量取的值而見(jiàn)不到隨機(jī)變量.3.總體、樣本、樣本值的關(guān)系總體（理論分布）？樣本樣本值統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料--樣本值，去推斷總體的情況---總體分布F(x)的性質(zhì).總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷總體.樣本是聯(lián)系二者的橋梁二、小結(jié)研究對(duì)象的全體稱(chēng)為總體總體中每個(gè)成員稱(chēng)為個(gè)體第二節(jié)樣本及抽樣分布統(tǒng)計(jì)量與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)統(tǒng)計(jì)三大抽樣分布幾個(gè)重要的抽樣分布定理課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)由樣本值去推斷總體情況，需要對(duì)樣本值進(jìn)行“加工”，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來(lái).1.統(tǒng)計(jì)量這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)量.它是完全由樣本決定的量.一、統(tǒng)計(jì)量與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)定義請(qǐng)注意:幾個(gè)常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量樣本平均值它反映了總體均值的信息樣本方差它反映了總體方差的信息樣本標(biāo)準(zhǔn)差它反映了總體k階矩的信息樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中心矩

k=1,2,…它反映了總體k階中心矩的信息統(tǒng)計(jì)量的觀察值請(qǐng)注意:

2.經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)二、統(tǒng)計(jì)三大抽樣分布記為分布1、定義:

設(shè)相互獨(dú)立,都服從正態(tài)分布N(0,1),則稱(chēng)隨機(jī)變量：

所服從的分布為自由度為

n

的分布.分布是由正態(tài)分布派生出來(lái)的一種分布.分布的密度函數(shù)為來(lái)定義.其中伽瑪函數(shù)通過(guò)積分注1.

設(shè)相互獨(dú)立,都服從正態(tài)分布則這個(gè)性質(zhì)叫分布的可加性.3．若近似正態(tài)分布N(0,1).(應(yīng)用中心極限定理可得)2．設(shè)且X1,X2相互獨(dú)立，E(X)=n,D(X)=2n.概率密度函數(shù)為：

定義:

設(shè)X～N(0,1),Y～,且X與Y相互獨(dú)立，則稱(chēng)變量所服從的分布為自由度為n的t分布.2、t分布由定義可見(jiàn)，3、F分布~F(n2,n1)定義:

設(shè)U與V相互獨(dú)立，則稱(chēng)隨機(jī)變量服從自由度為n1及n2的F分布，n1稱(chēng)為第一自由度，n2稱(chēng)為第二自由度，記作F~F(n1,n2)即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴(lài)于第一自由度n1.1.F分布的數(shù)學(xué)期望為:若n2>2若F~F(n1,n2)，F(xiàn)的概率密度為2.F分布的分位數(shù)三、幾個(gè)重要的抽樣分布定理當(dāng)總體為正態(tài)分布時(shí)，給出幾個(gè)重要的抽樣分布定理.

定理1(樣本均值的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn

是來(lái)自正態(tài)總體的樣本，是樣本均值，則有n取不同值時(shí)樣本均值的分布請(qǐng)注意:

定理2(樣本方差的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有n取不同值時(shí)的分布.

定理3(樣本均值的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有

定理4(兩總體樣本均值差、樣本方差比的分布)分別是這兩個(gè)樣本的且X與Y獨(dú)立,X1,X2,…,是來(lái)自X的樣本,是取自Y的樣本,這兩個(gè)樣本的樣本方差,則有Y1,Y2,…,樣本均值，分別是四、例題例1解例2解例3解例4解五、課堂練習(xí)