統(tǒng)計(jì)決策第十一章演示

統(tǒng)計(jì)決策第十一章演示統(tǒng)計(jì)決策是統(tǒng)計(jì)科學(xué)中一個(gè)相對(duì)比較新的研究領(lǐng)域。自統(tǒng)計(jì)學(xué)家瓦爾德（A.Wald）1950年發(fā)表第一本關(guān)于統(tǒng)計(jì)決策的專著《統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)》（StatisticalDecisionFunctions）。課時(shí)安排第一節(jié)統(tǒng)計(jì)決策的基本概念(0.5學(xué)時(shí))第二節(jié)完全不確定型決策（1學(xué)時(shí)）第三節(jié)一般風(fēng)險(xiǎn)型決策（0.5學(xué)時(shí)）第四節(jié)貝葉斯決策（2學(xué)時(shí)）第一節(jié)統(tǒng)計(jì)決策的基本概念一、什么是統(tǒng)計(jì)決策二、統(tǒng)計(jì)決策的基本步驟三、收益矩陣表一、什么是統(tǒng)計(jì)決策狹義的統(tǒng)計(jì)決策方法是一種研究非對(duì)抗型和非確定型決策問題的科學(xué)的定量分析方法。二、統(tǒng)計(jì)決策的基本步驟確定決策目標(biāo)決策目標(biāo)是決策者希望達(dá)到的結(jié)果。反映決策目標(biāo)的變量，稱為目標(biāo)變量。擬定備選方案?jìng)溥x方案是決策者可以調(diào)控的因素。行動(dòng)變量和行動(dòng)空間。列出自然狀態(tài)狀態(tài)是指實(shí)施行動(dòng)方案時(shí)，可能面臨的客觀條件和外部環(huán)境。狀態(tài)空間和狀態(tài)空間的概率分布。選擇“最佳”或“滿意”的方案實(shí)施方案三、收益矩陣表狀態(tài)

θ1

θ2…θn概率

P1P2…Pn方

案a1a2

…am

q11q12…q1nq21q22…q2n…………qm1qm2…qmn

收益矩陣的元素qij反映在狀態(tài)θj下，采用行動(dòng)方案ai得到的收益值。這里所說的收益是廣義收益指標(biāo)。這里所說的收益是廣義的，利潤(rùn)、產(chǎn)量、銷售收入等屬于正的收益指標(biāo)，成本、虧損等屬于負(fù)收益指標(biāo)。收益是行動(dòng)方案和自然狀態(tài)的函數(shù)，

qij＝Q(ai

,θj

)i=1,2,…,m;j=1,2,…n表11-2

某項(xiàng)投資的收益矩陣表單位：萬元狀態(tài)

需求大需求中需求小概率0.50.30.2方案方案一方案二方案三

400100－140

200200－20

000第二節(jié)完全不確定型決策

一、完全不確定型決策的準(zhǔn)則二、各種準(zhǔn)則的特點(diǎn)和適用場(chǎng)合一、完全不確定型決策的準(zhǔn)則（一）最大的最大收益值準(zhǔn)則先選出各種狀態(tài)下各方案的最大收益值，然后再從中選擇最大收益所在的方案a*={qij

}(11.2)（二）最大的最小收益值準(zhǔn)則先選出各種狀態(tài)下各方案的最小收益值，然后再從中選擇最大者所對(duì)應(yīng)的方案a*={qij}(11.3)(三)最小的最大后悔值準(zhǔn)則

后悔值是由于決策失誤而造成的最大可能收益值與其實(shí)際收益值之差。

rij＝Q(ai

,θj

)－qij;rij≥0

(11.4)該準(zhǔn)則主張應(yīng)先選出各種狀態(tài)下每個(gè)方案的最大后悔值，然后再從中選擇最小者所在的方案。a*={rij

}(11.5)（四）折衷準(zhǔn)則

主張根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和判斷確定一個(gè)樂觀系數(shù)α（0≤α≤1），計(jì)算各方案的期望收益值，并選擇期望收益值最大的方案。

E(Q(ai))=α{qij

}+(1－α){qij

}(11.6)a*=E(Q(ai))(11.7)(五)等可能性準(zhǔn)則

假定未來各種狀態(tài)可能出現(xiàn)的概率相同,在此基礎(chǔ)上求得各方案收益的期望值，并以期望收益值最大的方案作為所要選擇的方案。a*=MaxE(Q(ai))(11.8)E(Q(ai))＝(i=1,2,---,m)(11.9)【例11-3】假設(shè)例11-1中(見表11-2),有關(guān)市場(chǎng)狀態(tài)的概率完全不知道，試求出后悔矩陣并根據(jù)最小的最大后悔值準(zhǔn)則進(jìn)行決策.解：市場(chǎng)需求大Q(ai,θ1

)=400市場(chǎng)需求中Q(ai,θ2

)=200市場(chǎng)需求小Q(ai,θ3

)=0代入求后悔的公式可求得以下后悔矩陣。根據(jù)最小的最大后悔值準(zhǔn)則，應(yīng)選擇方案一。表11-3某項(xiàng)投資的后悔矩陣表單位：萬元狀態(tài)

需求大需求中需求小方案方案一方案二方案三

0100140

2000204002000二、各種準(zhǔn)則的特點(diǎn)和適用場(chǎng)合

最大的最大收益值準(zhǔn)則只有在客觀情況很樂觀，或者即使決策失誤，也可以承受損失的場(chǎng)合才采用。最大的最小收益值準(zhǔn)適用于對(duì)未來的狀態(tài)非常沒有把握，或者難以承受決策失誤損失的場(chǎng)合。最小的最大后悔值準(zhǔn)則適用于不愿放過較大獲利機(jī)會(huì)，同時(shí)對(duì)可能出現(xiàn)的損失有一定承受力的場(chǎng)合。折衷準(zhǔn)則事實(shí)上是假定未來可能發(fā)生的狀態(tài)只有兩種：即最理想狀態(tài)和最不理想狀態(tài)。前者發(fā)生的概率是α，后者發(fā)生的概率是（1－α）。當(dāng)α＝1時(shí)，該準(zhǔn)則等價(jià)于樂觀準(zhǔn)則，而當(dāng)α＝0時(shí)，該準(zhǔn)則等價(jià)于悲觀準(zhǔn)則。第三節(jié)一般風(fēng)險(xiǎn)型決策一、自然狀態(tài)概率分布的估計(jì)二、風(fēng)險(xiǎn)型決策的準(zhǔn)則三、利用決策樹進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)型決策一、自然狀態(tài)概率分布的估計(jì)一般風(fēng)險(xiǎn)型決策中，所利用的概率包括客觀概率與主觀概率?？陀^概率是一般意義上的概率可來源于頻率估計(jì)，通常是由自然狀態(tài)的歷史資料推算或按照隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果計(jì)算出來的。主觀概率是決策者基于自身的學(xué)識(shí)、經(jīng)驗(yàn)作出的對(duì)某一事件發(fā)生的可能性的主觀判斷二、風(fēng)險(xiǎn)型決策的準(zhǔn)則

（一）期望值準(zhǔn)則以各方案收益的期望值的大小為依據(jù)，來選擇合適的方案。（二）變異系數(shù)準(zhǔn)則在期望值達(dá)到一定數(shù)額的前提下，以變異系數(shù)較低的方案作為所要選擇的方案。（三）最大可能準(zhǔn)則以最可能狀態(tài)下可實(shí)現(xiàn)最大收益值的方案為最佳方案。只有當(dāng)最可能狀態(tài)的發(fā)生概率明顯大于其他狀態(tài)時(shí)，應(yīng)用該準(zhǔn)則才能取得較好的效果。（四）滿意準(zhǔn)則首先給出一個(gè)滿意水平。然后，將各種方案在不同狀態(tài)下的收益值與目標(biāo)值相比較，并以收益值不低于目標(biāo)值的累積概率為最大的方案作為所要選擇的方案。利用該準(zhǔn)則的決策結(jié)果，與滿意水平的高低有很大關(guān)系?！纠?1-8】試?yán)美?1-1(見表11-2)中給出的收益矩陣表的資料，根據(jù)滿意準(zhǔn)則選擇滿意的投資方案，假定給出的滿意水平有200萬元和400萬元兩種。解：(1)P{Q(a1,θj

)≥200}=0.5P{Q(a2,θj

)≥200}=0.5+0.3=0.8P{Q(a3,θj

)≥200}=0方案二達(dá)到滿意水平的累積概率最大，所以選擇方案二。（2）P{Q(a1,θj

)≥400}=0.5P{Q(a2,θj

)≥400}=0P{Q(a3,θj

)≥400}=0方案一達(dá)到滿意水平的累積概率最大，所以選擇方案一。三、利用決策樹進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)型決策決策樹是是一種將決策問題模型化的樹形圖。決策樹由決策點(diǎn)、方案枝、機(jī)會(huì)點(diǎn)、概率枝和結(jié)果點(diǎn)組成。利用決策樹對(duì)方案進(jìn)行比較和選擇，一般采用逆向分析法，即從樹形結(jié)構(gòu)的末端的條件結(jié)果開始，從后向前逐步分析。決策樹圖適用于求解復(fù)雜的多階段決策問題?！纠?1-9】某廠擬安排明年生產(chǎn)。方案一是繼續(xù)利用現(xiàn)有的設(shè)備，零部件的單位成本是0.6萬元。方案二是進(jìn)行更新改造，改造需要投資100萬元，成功的概率是0.7。如果成功，零部件不含上述投資費(fèi)用的單位成本可降至0.5萬元；如果不成功，則仍用現(xiàn)有設(shè)備生產(chǎn)。另據(jù)預(yù)測(cè)，明年該廠某零部件的市場(chǎng)銷售價(jià)格為1萬元，其市場(chǎng)需求有兩種可能：一是2000件，二是3000件，其概率分別為0.4和0.6。試問：（1）該廠應(yīng)采用何種方法組織生產(chǎn)？（2）應(yīng)選擇何種批量組織生產(chǎn)？例11-9的決策樹圖800800800需求2000件（0.45）需求3000件（0.55）2001200需求2000件（0.45）需求3000件（0.55）7503生產(chǎn)3000件件生產(chǎn)2000件件8007007001001100700需求2000件（0.45）需求3000件（0.55）需求2000件（0.45）需求3000件（0.55）6505按方法I生產(chǎn)3000件按方法I生產(chǎn)2000件700900950900900需求2000件（0.45）需求3000件（0.55）4001400需求2000件（0.45）需求3000件（0.55）4生產(chǎn)3000件件生產(chǎn)2000件件95011038成功(0.7)失敗(0.3)875生產(chǎn)方法I生產(chǎn)方法II267891011第四節(jié)貝葉斯決策一、什么是貝葉斯決策二、貝葉斯公式與后驗(yàn)概率的估計(jì)三、先驗(yàn)分析與后驗(yàn)分析四、完全信息價(jià)值五、補(bǔ)充信息價(jià)值六、后驗(yàn)預(yù)分析

一、什么是貝葉斯決策貝葉斯決策是利用補(bǔ)充信息，根據(jù)貝葉斯公式估計(jì)后驗(yàn)概率，并進(jìn)行評(píng)價(jià)的一種決策方法。二、貝葉斯公式與后驗(yàn)概率的估計(jì)設(shè)某種狀態(tài)θj的先驗(yàn)概率為P(θj)，通過調(diào)查獲得的補(bǔ)充信息為ek,θj

給定時(shí)ek的條件概率為，則在給定信息ek的條件下,θj的條件概率即后驗(yàn)概率可用以下公式計(jì)算：

【例11-10】東風(fēng)廠擬向紅光廠購買某種電子元器件，紅光廠公布的其產(chǎn)品發(fā)生不同次品率的概率分布如表11-5第二欄所示?，F(xiàn)東風(fēng)廠從市場(chǎng)上紅光廠出售的該元器件中，隨機(jī)抽取10件，發(fā)現(xiàn)了2件次品。試根據(jù)該信息，對(duì)紅光廠公布的次品率的概率分布進(jìn)行修正。解：紅光廠公布的概率分布可視為先驗(yàn)概率。在各種不同次品率給定條件下，抽查10件發(fā)生2件次品(發(fā)生0件為e1,發(fā)生2件為e3)的概率近似地服從于二項(xiàng)分布，其似然度可按下式計(jì)算：次品率為0.05狀態(tài)的后驗(yàn)概率為：(j=1,2,,3,4)(11.15)

=0.075

=0.194

=0.276

=0.302

表11-5后驗(yàn)概率的計(jì)算次品率

θj

先驗(yàn)概率P(θj)似然度后驗(yàn)概率0.050．30．0750．02240．12100.100．40．1940．07750．41800.150．20．2760．05520．29800.200．10．3020．03020．16311．00．18531．000三、先驗(yàn)分析與后驗(yàn)分析先驗(yàn)分析是利用先驗(yàn)概率進(jìn)行決策，而后驗(yàn)分析則是利用后驗(yàn)概率作為選擇與判斷合適方案的依據(jù)。一般來說，只要補(bǔ)充信息是準(zhǔn)確的，則后驗(yàn)分析的結(jié)論更為可靠?！纠?1-11】設(shè)在例11-10中，對(duì)于是否向紅光廠購買電子元器件，東風(fēng)廠有兩種可供選擇的方案即：方案一購買；方案二不購買。其收益矩陣表如表11-6所示。請(qǐng)利用表中資料，根據(jù)期望值準(zhǔn)則，進(jìn)行先驗(yàn)分析和后驗(yàn)分析。

表11-6收益矩陣表狀態(tài)：次品率

0.050.100.150.20先驗(yàn)概率0.30.40.20.1后驗(yàn)概率0.1210.4180.2980.163方案購買a1不買a220050－100－300

0000解：(1)先驗(yàn)分析E(Q(a1))＝200×0.3+50×0.4－100×0.2－300×0.1＝30E(Q(a2))＝0根據(jù)先驗(yàn)概率和期望值準(zhǔn)則，應(yīng)選擇方案一。(2)后驗(yàn)分析E(Q(a1))＝200×0.121+50×0.418－100×0.298－300×0.163＝－33.6E(Q(a2))＝0根據(jù)后驗(yàn)概率和期望值準(zhǔn)則，應(yīng)選擇方案二。四、完全信息價(jià)值

完全信息，是指在進(jìn)行決策時(shí)，對(duì)于所有可能出現(xiàn)的自然狀態(tài)都可以提供完全確切的情報(bào)。完全信息的價(jià)值，可以由掌握完全信息前后，所采取的不同行動(dòng)方案的收益值的差額來表示。其期望值的計(jì)算公式如下：EVPI＝E[Q(ai,θj)-Q(a*,θj

)]＝[Q(ai,θj

)-(a*,θj

)(11.16)式中，EVPI是完全信息價(jià)值的期望值，Q(ai,θj

)表示各方案在狀態(tài)θj下的最大收益值，Q(a*,θj

)表示先驗(yàn)分析中的最佳方案在狀態(tài)θj下的收益值。EVPI越大表明通過收集補(bǔ)充信息使決策效益提高的余地越大。同時(shí)，它也代表了為取得該情報(bào)可付出的代價(jià)的上限。【例11-12】試?yán)美?1-10和例11-11

的資料和結(jié)果，計(jì)算完全信息價(jià)值的期望值。

表11-7完全信息價(jià)值計(jì)算表

狀態(tài)：次品率

0.050.100.150.20先驗(yàn)概率0.30.40.20.1最大收益值MaxQ(ai,θj)

2005000先驗(yàn)分析最佳方案a1的收益Q(a*,θj)

20050－100－300

完全信息價(jià)值MaxQ(ai,θj)－Q(a*,θj)

00100300利用表11-7中的資料，可求得完全信息價(jià)值的期望值。EVPI=0×0.3＋0×0.4＋100×0.2＋300×0.1＝50萬元五、補(bǔ)充信息價(jià)值補(bǔ)充信息是指通過各種手段如抽樣調(diào)查、咨詢等得到的追加信息。補(bǔ)充信息ek的價(jià)值VAI的計(jì)算：VAI（ek）=先驗(yàn)EVPI-后驗(yàn)EVPI（ek）

(11.17)上式中，先驗(yàn)EVPI是根據(jù)狀態(tài)的先驗(yàn)概率計(jì)算的完全信息價(jià)值的期望值，后驗(yàn)EVPI（ek）是在了解補(bǔ)充信息ek后，利用根據(jù)該信息修正的后驗(yàn)概率計(jì)算的完全信息價(jià)值的期望值。補(bǔ)充信息價(jià)值的期望值

EVAI=E[VAI（ek）]=(11.18)上式中，P（ek）是ek

出現(xiàn)的概率。P（ek）＝;(11.19)EVAI是判斷收集補(bǔ)充信息是否有利的基本標(biāo)準(zhǔn)。只有當(dāng)收集補(bǔ)充信息的費(fèi)用小于EVAI時(shí)，平均來看，收集補(bǔ)充信息才有利可圖?！纠?1-13】試?yán)美?1-10、例11-11和例11-12的資料和結(jié)果，計(jì)算補(bǔ)充信息e3的價(jià)值、其出現(xiàn)的概率和補(bǔ)充信息的期望值。狀態(tài)：次品率

0.050.100.150.20后驗(yàn)概率0.1210.4180.2980.163最大收益值MaxQ(ai,θj)2005000后驗(yàn)分析最佳方案a2的收益值Q(a*,θj)

0000完全信息價(jià)值MaxQ(ai,θj)－Q(a*,θj)

2005000表11-8后驗(yàn)完全信息價(jià)值計(jì)算

解：（1）例11-10中已經(jīng)求得根據(jù)補(bǔ)充信息e3修正的后驗(yàn)概率，從而可求得不同狀態(tài)下的后驗(yàn)完全信息價(jià)值。（參見表11-8）后驗(yàn)EVPI(e3)=200×0.121+50×0.418+0×0.298+0×0.163=45.1萬元由例11-12已知先驗(yàn)EVPI為50萬元。因此有：VAI（e3）=50–45.1=4.9萬元(2)利用表11-5的