數(shù)值與計算方法chapter1-2

1第一章緒論（二）有效數(shù)字數(shù)據(jù)誤差的影響誤差危害的防止小結(jié)21.5.3有效數(shù)字

取3位數(shù)，

取5位數(shù)，當準確值x*的位數(shù)比較多，或者有無限多位小數(shù)時，常常按四舍五入的原則得到x*的前幾位數(shù)值，如3位有效數(shù)字5位有效數(shù)字10-210-431.5.3有效數(shù)字定義3

如果近似值x的絕對誤差限是其某一位上的半個單位，從左邊第1位非零數(shù)字到該位一共有n位，則稱近似值x有n位有效數(shù)字。誤差不超過該位的半個單位自左向右看，第1個非零數(shù)字41.5.3有效數(shù)字若取x3=1.7320（注意:不是1.7321）,其誤差限為一般，按四舍五入原則得到的近似值，其絕對誤差不會超過末位數(shù)的半個單位。即：四舍五入得到的數(shù)字都屬于有效數(shù)字。只有4位有效數(shù)字10-351.5.3有效數(shù)字例1-6：對下列各數(shù)寫出具有5位有效數(shù)字的近似值：

236.478,0.00234711,9.000024,9.000034×103解：從不為零的數(shù)開始，從左到右取5位數(shù)，第6位四舍五入。236.478:0.0023471:9.000024:9.000034×103:236.480.00234719.00009.0000×10361.5.3有效數(shù)字若x具有n位有效數(shù)字，則可以表示為其絕對誤差限滿足：相對誤差限滿足：如何證明？71.5.3有效數(shù)字例1-7:已知的十進制浮點數(shù)第一位是4，要使近似值的相對誤差限小于0.1%，浮點數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)至少應(yīng)為多少？解：a1=4,利用取n≥4,有

|er(x)|≤0.125×10-3<10-3浮點數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)至少應(yīng)取4位。81.5.3有效數(shù)字例1-8:用3.1416來表示π時，其相對誤差是多少？解：3.1416有5位有效數(shù)字，且a1=3,其相對誤差為9用3.1416來表示π，而π≈3.1415926，其相對誤差為所以，利用第1位有效數(shù)字及有效數(shù)字位數(shù)，估計的是相對誤差限，其值比相對誤差大。1.5.3有效數(shù)字101.一元函數(shù)y=f(x)誤差分析(準確值y*=f(x*))1.5.4數(shù)據(jù)誤差的影響用泰勒公式在x處展開f(x*)誤差微分111.5.4數(shù)據(jù)誤差的影響112.二元函數(shù)y=f(x1,x2)誤差分析由泰勒公式，在(x1,x2)處展開f(x1*,x2*)121.5.4數(shù)據(jù)誤差的影響3.多元函數(shù)z=f(x1,x2,…,xn)誤差分析可用函數(shù)的全微分近似表示函數(shù)的絕對誤差。131.5.4數(shù)據(jù)誤差的影響和、差、積、商的誤差估計：絕對誤差令：證：141.5.4數(shù)據(jù)誤差的影響同理：151.5.4數(shù)據(jù)誤差的影響相對誤差161.5.4數(shù)據(jù)誤差的影響例1-9:已測得某物體行程s*的近似值s=800m，所需時間t*的近似值t=35s。若已知解：試求平均速度v的絕對誤差限和相對誤差限。171.5.4數(shù)據(jù)誤差的影響得181.5.4數(shù)據(jù)誤差的影響圓面積計算公式:y=r2由全微分近似:△y≈2r△r=>e(y)≈

2re(r),若取r=50cm,e(r)=0.5cm,則有er(r)=e(r)/r=1%e(y)≈150cm2,er(y)≈2×1%=2%例1-10:圓面積計算時的誤差估計.191.6誤差危害的防止避免相近數(shù)相減避免用絕對值很小的數(shù)作除數(shù)防止大數(shù)吃掉小數(shù)簡化計算步驟，減少運算次數(shù)使用數(shù)值穩(wěn)定的算法201.6誤差危害的防止

避免相近數(shù)相減避免用絕對值很小的數(shù)作除數(shù)防止大數(shù)吃掉小數(shù)簡化計算步驟，減少運算次數(shù)使用數(shù)值穩(wěn)定的算法211.6.1避免相近數(shù)相減兩數(shù)差的相對誤差關(guān)系式若x1和x2相近，則或的絕對值很大，造成很大。22例1-11：求x2-16x+1=0的小正根（計算過程中保留3位有效數(shù)字）。解：x2只有1位有效數(shù)字。若要得到3位有效數(shù)字，中間過程必須增加精度。設(shè)保留5位有效數(shù)字：x2有3位有效數(shù)字。1.6.1避免相近數(shù)相減若不增加中間過程的精度，而是改變算法：23例1-12：

計算A=107(1-cos2o)。由于cos2o=0.9994,直接計算

A=107(1-cos2o)=107(1-0.9994)=6×103若利用A=107(1-cos2o)=2×(sin1o)2

×107

=6.090×1034位有效數(shù)字1位有效數(shù)字1.6.1避免相近數(shù)相減1.6.1避免相近數(shù)相減24例1-13：

計算。解：設(shè)，它們有6位有效數(shù)字的近似數(shù)為：x1=44.7325,x2=44.7102.解法一：解法二：25分析精度：1.6.1避免相近數(shù)相減兩相近數(shù)相減：計算兩相近數(shù)相加的倒數(shù)：26

改變計算公式可以避免或減少有效數(shù)字的損失

如果x1和x2很接近，則

當x很大，則1.6.1避免相近數(shù)相減27一般地，當，可利用泰勒展開式取右端的有限項近似左端。若無法改變算式時：則應(yīng)增加有效數(shù)字位數(shù)；在計算機上則采用雙倍字長計算(缺點：增加機器計算時間、增加內(nèi)存占用)1.6.1避免相近數(shù)相減281.6誤差危害的防止避免相近數(shù)相減

避免絕對值很小的數(shù)作除數(shù)防止大數(shù)吃掉小數(shù)簡化計算步驟，減少運算次數(shù)使用數(shù)值穩(wěn)定的算法291.6.2避免絕對值小的數(shù)作除數(shù)由當x1或x2的絕對值很大時，|e(x1x2)|可能很大。應(yīng)盡量避免用絕對值很小的數(shù)作除數(shù)，或用絕對值很大的數(shù)作乘數(shù)。由當x2的絕對值很小時，|e(x1/x2)|可能很大。30機器上用很小的數(shù)作除數(shù)時，可能會因為數(shù)據(jù)溢出而造成停機；很小的數(shù)作除數(shù)，若除數(shù)有少量誤差，會造成結(jié)果出現(xiàn)很大誤差。計算時既要避免兩個相近的數(shù)相減，更要避免用相減之后的差作除數(shù)。0.0011≈2471.11.6.2避免絕對值小的數(shù)作除數(shù)311.6誤差危害的防止避免相近數(shù)相減避免用絕對值很小的數(shù)作除數(shù)

防止大數(shù)吃掉小數(shù)簡化計算步驟，減少運算次數(shù)使用數(shù)值穩(wěn)定的算法321.6.3防止大數(shù)吃掉小數(shù)a=109，b=9，設(shè)想在8位浮點數(shù)系中相加a+b=0.10000000×1010+0.90000000×10-1=

0.10000000×1010+0.0000000009×1010

=0.10000000×1010

由于只保留8位有效數(shù)，數(shù)據(jù)09被舍去,實際加法操作

a+b計算結(jié)果是將

a的值作為計算結(jié)果賦給

a+b.多個數(shù)相加，應(yīng)按絕對值從小到大的順序依次進行，以避免被大數(shù)吃掉。33例1-13：計算0.4994+1000+0.0006000+0.4090,保留4位有效數(shù)字。解：0.4994+1000≈10001000+0.0006000≈10001000+0.4090≈10001.6.3防止大數(shù)吃掉小數(shù)34改變順序：0.4994+0.0006000≈0.50000.5000+0.4090≈0.90900.9090+1000≈10011.6.3防止大數(shù)吃掉小數(shù)351.6誤差危害的防止避免相近數(shù)相減避免用絕對值很小的數(shù)作除數(shù)防止大數(shù)吃掉小數(shù)

簡化計算步驟，減少運算次數(shù)使用數(shù)值穩(wěn)定的算法361.6.4減少運算次數(shù)例1-14：

計算x31的值。方法一：將x的值逐個相乘，共需30次乘法。方法二：x31=x

x2x4x8x16而x2=x

x

，x4=x2x2，x8=x4x4，x16=x8x8

共8次乘法。37例1-3：

對給定的x，求多項式方法一：的值。直接計算的每一項，再逐項求和。乘法次數(shù)：1.6.4減少運算次數(shù)38方法二：乘法次數(shù)：，加法次數(shù)：……1.6.4減少運算次數(shù)練習：請寫出此算法的遞推公式。39秦九韶算法1.6.4減少運算次數(shù)編程計算：遞推公式40求多項式值的秦九韶算法P(x)=a0xn

+a1xn-1+······+an-1x+an輸入

x；a0，a1，…，an

b←an；u←1k

從

n到1循環(huán)u←x×ub←b+ak-1×u輸出數(shù)據(jù)b

；結(jié)束輸入

x；a0，a1，…，an

b←a0k

從

1到n循環(huán)b←ak+x×b輸出數(shù)據(jù)b

；結(jié)束秦九韶算法41求多項式值的秦九韶算法a0a1a2……an-1anx=x0b0x0b1x0……bn-2x0bn-1x0b0b1b2……bn-1bn例1-15：

求f(x)=2+x-x2+3x4

在x0=2的值。30-112x0=2612224636112348=f(x0)=f(2)421.6誤差危害的防止避免相近數(shù)相減避免用絕對值很小的數(shù)作除數(shù)防止大數(shù)吃掉小數(shù)簡化計算步驟，減少運算次數(shù)使用數(shù)值穩(wěn)定的算法1.6.5使用數(shù)值穩(wěn)定的算法例1-16:

建立積分的遞推關(guān)系式。解：因為遞推關(guān)系式：初始值：(1)1.6.5使用數(shù)值穩(wěn)定的算法計算I0時的舍入誤差設(shè)為e0，且求得的I0的近似值為(1)-(2)式，并不斷遞推，可得e0對第n步的影響是擴大了5n倍，算法不穩(wěn)定；n較大時，誤差會非常大。(2)1.6.5

使用數(shù)值穩(wěn)