實驗設計與方差分析

實驗設計與方差分析本章主要內(nèi)容方差分析和完全隨機化實驗設計（單因素）

方差分析和隨機化區(qū)組設計（單因素）雙因素方差分析和析因?qū)嶒?/p>

實驗是研究者實際上在各個領(lǐng)域進行的，通常是要發(fā)現(xiàn)關(guān)于一個特定過程或系統(tǒng)的某些事情。從字義上說，一個實驗就是一個試驗。一個設計的實驗是一個試驗或一系列試驗，它對一個過程或系統(tǒng)的輸入變量（稱為因素，factor）作一些有目的的改變，以使能夠觀察到和識別出引起輸出響應（稱為因變量或響應變量）變化的緣由。實驗設計就是設計實驗的過程，使得收集得到的數(shù)據(jù)適合于用統(tǒng)計方法分析，得出有效和客觀的結(jié)論。實驗設計在實驗性研究中，感興趣的變量是明確規(guī)定的。因此，研究中的一個或多個因素可以被控制，使得數(shù)據(jù)可以按照因素如何影響變量來獲得。在觀察性或非實驗性研究中，則不去控制這些因素。(抽樣調(diào)查)完全隨機化設計例：Chemitech公司開發(fā)了一種新的城市供水過濾系統(tǒng)，其元件需從幾家供應商處購買，然后Chemitech公司在位于南加州哥倫比亞的工廠裝配這些元件。由工程部負責確定新過濾系統(tǒng)的最佳裝配方法?？紤]過各種可能之后，工程部將范圍縮小至三種方法：方法A、方法B及方法C。這些方法在產(chǎn)品裝配步驟上有所不同。Chemitech公司的管理者希望確定哪種裝配方法每周生產(chǎn)的過濾系統(tǒng)數(shù)最大。完全隨機化設計指每一個處理被隨機地指派給一個實驗單元的實驗設計。假定從Chemitech公司的生產(chǎn)車間的全體裝配工人中隨機抽取了由三名員工組成的樣本，這三名隨機抽取的工人被稱為實驗單元。每種方法（即處理）被隨機地指派給一名工人，這種實驗設計就是完全隨機化設計。隨機化的概念是所有實驗設計的一個重要原理。方差分析方差分析是一種通過對響應變量方差進行分解構(gòu)建檢驗統(tǒng)計量，檢驗多個總體均值是否有差異的統(tǒng)計方法。方差分析的三個假定：對每個總體，響應變量服從正態(tài)分布響應變量的方差對所有總體都是相同的觀測值獨立實驗設計析因?qū)嶒灴芍貜投嘁蛩胤讲罘治鲭S機化區(qū)組設計無重復雙因素方差分析完全隨機化設計單因素方差分析一、檢驗多個總體（處理）均值是否有顯著差異完全隨機化實驗設計指將每一個處理隨機地指派給一個實驗單元的實驗設計。

檢驗過程：1.建立原假設：多個總體（處理）均值相等2.構(gòu)建檢驗統(tǒng)計量F=MSTR/MSE響應變量總平方和分解為處理平方和SSTR和誤差平方和SSE。二者分別除以其自由度，得到第一節(jié)方差分析和完全隨機化實驗設計（單因素）一、檢驗多個總體均值是否有顯著差異均方處理MSTR和均方誤差MSE。如果原假設為真，MSTR為響應變量總體方差的無偏估計量，MSE永遠都是其無偏估計量，這兩個估計量是獨立的,F統(tǒng)計量服從F分布。3.根據(jù)P值法或臨界值法確定決策規(guī)則4.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出P值或檢驗統(tǒng)計量的實際值5.做出結(jié)論第一節(jié)方差分析和完全隨機化實驗設計（單因素）Chemitech公司所遇到的問題哪種裝配方法能使每周生產(chǎn)的過濾系統(tǒng)的數(shù)量最多。

三種裝配方法確定了Chemitech公司實驗的三個總體，分別是使用方法A、B、C的全體工人。假設不只抽取3名工人，而是15名工人，然后對每一個處理隨機地指派5名工人，也就是說我們得到了5個復制。復制的過程是實驗設計的另一個重要原則。第一節(jié)方差分析和完全隨機化實驗設計（單因素）相關(guān)專業(yè)術(shù)語在Chemitech公司實驗設計中：裝配方法獨立變量或因素對應這個因素有三種裝配方法，我們說這一實驗有三個處理。每個處理對應一種裝配方法。

每周裝配的過濾系統(tǒng)的數(shù)量響應變量

實驗設計主要的統(tǒng)計目的：檢驗三個總體（三種方法）每周所生產(chǎn)的過濾系統(tǒng)的平均數(shù)量是否相同。第一節(jié)方差分析和完全隨機化實驗設計（單因素）

實驗設計的原則：隨機化和復制為了得到更多的數(shù)據(jù)，我們需要重復或復制基本實驗過程。在Chemitech公司實驗中，得到三個樣本，n1=5,n2=5,n3=5.

假設：

j代表第j個總體的均值方差分析要解決的問題就是：在三個樣本均值之間觀察到的差異是否足夠大到可以拒絕H0

第一節(jié)方差分析和完全隨機化實驗設計（單因素）

假定從k個總體或處理中抽取一個容量為nj的簡單隨機樣本，令第一節(jié)方差分析和完全隨機化實驗設計（單因素）

第j個處理的樣本均值

第j個處理的樣本方差

總樣本均值

如果每個樣本容量都為n，則

處理均方：總體方差的組間估計（或處理間估計），反映處理均值之間的變異性處理平方和第一節(jié)方差分析和完全隨機化實驗設計（單因素）誤差均方：總體方差的組內(nèi)估計（或處理內(nèi)估計），反映每個處理內(nèi)部的變異性。誤差平方和SST=SSTR+SSE

第一節(jié)方差分析和完全隨機化實驗設計（單因素）k個總體均值相等的原假設

（

H0:12…k

，

H1:k個總體均值不全相等）成立時

可構(gòu)建檢驗統(tǒng)計量

該檢驗統(tǒng)計量服從分子自由度為k-1，分母自由度為nT-k的F分布第一節(jié)方差分析和完全隨機化實驗設計（單因素）將統(tǒng)計量的值F與給定的顯著性水平的臨界值F進行比較，作出對原假設H0的決策臨界值法若F>F

，則拒絕原假設H0

。若F<F

，則不拒絕原假設H0

。

Fα是分子自由度為k-1，分母自由度為nT-k時，使F分布的上側(cè)面積為α的F值第一節(jié)方差分析和完全隨機化實驗設計（單因素）aF(k-1,nT-k)0拒絕H0不拒絕H0F第一節(jié)方差分析和完全隨機化實驗設計（單因素）P值法：如果P值≤α，則拒絕原假設。如果P值>α，則不拒絕原假設。式中，P值是檢驗統(tǒng)計量的值上側(cè)的F分布曲線下方的面積。

第一節(jié)方差分析和完全隨機化實驗設計（單因素）二、多重比較檢驗第一節(jié)方差分析和完全隨機化實驗設計（單因素）多重比較檢驗用于確定哪些總體（處理）均值之間存在差異多重比較檢驗方法有Fisher的LSD方法、Bonferroni方法、Turkey方法、Duncan方法等。這些方法的主要區(qū)別在于是控制犯比較方式的第一類錯誤概率還是犯實驗方式的第一類錯誤概率。Fisher最小顯著性差異（LSD）方法檢驗統(tǒng)計量拒絕法則

P-值法

如果P≤，則拒絕H0

臨界值法式中，tα/2是基于自由度為nT-k的t分布?；诮y(tǒng)計量的FisherLSD方法檢驗統(tǒng)計量顯著性水平α下的拒絕法則式中例題(P286,Q20）美國職業(yè)棒球小聯(lián)盟有14支3-A級球隊，這些球隊分為北區(qū)、南區(qū)和西區(qū)。14支球隊在參加國際聯(lián)盟比賽時，每場比賽的平均觀眾人數(shù)如表中所示。求在α=0.05的顯著水平下，檢驗三個地區(qū)每場比賽的平均觀眾人數(shù)是否存在顯著差異。如存在明顯差異，確定差異發(fā)生在哪些地區(qū)之間。北區(qū)南區(qū)西區(qū)n1=6n2=4n3=4=7702=5566=8340=1692874=1625454=324863a：假設：

H0:μ1=μ2=μ3

H1:μ1

μ2

μ3

b.F檢驗

=7.15c.0.025＜P-值＜

0.01＜α

判斷：在

=0.05的水平上拒絕H0結(jié)論：有證據(jù)表明三個地區(qū)每場比賽平均觀眾人數(shù)存在明顯差異

基于統(tǒng)計量的FisherLSD方法第1步：提出假設

檢驗1:

檢驗2：

檢驗3：第2步：計算檢驗統(tǒng)計量

檢驗1：

檢驗2：檢驗3：第三步：計算LSD,α=0.05北區(qū)vs南區(qū)北區(qū)vs西區(qū)南區(qū)vs西區(qū)基于統(tǒng)計量的FisherLSD方法基于統(tǒng)計量的FisherLSD方法第4步：做出決策在5%的顯著性水平下，拒絕北區(qū)和南區(qū)每場比賽平均觀眾人數(shù)無顯著差異的原假設

在5%的顯著性水平下拒絕南區(qū)和西區(qū)每場比賽平均觀眾人數(shù)無顯著差異的原假設

在5%的顯著性水平下不能拒絕北區(qū)和西區(qū)每場比賽平均觀眾人數(shù)無顯著差異的原假設

使用FisherLSD方法的兩個總體均值之差的置信區(qū)間估計置信區(qū)間估計式中且tα/2是基于自由度為nT-k的t分布。第一類錯誤概率

檢驗一

檢驗二

檢驗三比較方式的第一類錯誤概率：與單個兩兩比較相聯(lián)系的犯第一類錯誤的概率(α）

。實驗方式的第一類錯誤概率：多個兩兩比較中至少有1個犯第一類錯誤的概率，記為αEW。

在以上棒球賽的例子中，α＝0.05，則對于每個檢驗，犯第一類錯誤的概率為α＝0.05，不犯第一類錯誤的概率就是1-0.05=0.95。三次成對的兩兩比較都不犯第一類錯誤的概率為0.95×0.95×0.95，至少有一次犯第一類錯誤的概率是：1-0.95×0.95×0.95＝0.1426。所以該例比較方式的第一類錯誤概率是0.05，實驗方式的第一類錯誤概率為0.1426。

若總體個數(shù)較多，實驗方式的第一類錯誤概率則更大。Bonferroni修正方法

控制實驗方式的第一類錯誤概率，因此在每一次兩兩比較的檢驗中都使用一個較小的比較方式的第一類錯誤概率。

例如，要檢驗C個成對的兩兩比較，并希望總的犯實驗方式的第一類錯誤的概率最大為αEW，那么只要簡單的將犯比較方式的第一類錯誤的概率等于αEW／C即可。為什么要進行隨機化區(qū)組設計為檢驗處理均值之間的差異，計算F值時使用了比值當外在因素（實驗中沒有考慮到的因素）引起的差異導致該比值中MSE增大時，F(xiàn)值會變小。這樣，在實際中處理均值之間存在差異時，F(xiàn)值卻給出處理均值之間沒有差異的信號。隨機化區(qū)組設計通過消除MSE項中來自外部的變異（除去隨機誤差外的其他外部變異），以達到控制變異外部來源的目的。第二節(jié)方差分析和隨機化區(qū)組設計（單因素）第二節(jié)方差分析和隨機化區(qū)組設計（單因素）完全隨機化區(qū)組設計是把所有實驗單元按照差異大小分成不同的區(qū)組，所有處理都隨機指派給每個區(qū)組的實驗設計。這樣可以剔除區(qū)組（實驗單元）之間的差異對處理均值間差異的影響。如果某些（但不是全部）處理用于每個區(qū)組，這樣的實驗設計被稱為不完全區(qū)組設計。檢驗過程：1.建立原假設：多個總體（處理）均值相等

2.構(gòu)建檢驗統(tǒng)計量F=MSTR/MSE響應變量總平方和分解為處理平方和SSTR、區(qū)組平方和SSBL和誤差平方和SSE。3.根據(jù)P值法或臨界值法確定決策規(guī)則4.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出P值或檢驗統(tǒng)計量的實際值5.做出結(jié)論第二節(jié)方差分析和隨機化區(qū)組設計（單因素）例：空中交通管制員工作壓力測試一項測試空中交通管理員的疲勞程度與工作壓力的研究得到的結(jié)果是建議改造并重新設計管理員的工作站?？紤]了工作站的若干設計方案后，三種最有可能減輕管理員工作壓力的工作站具體方案被選出。關(guān)鍵問題是：三種方案對管理員工作壓力的影響程度有多大差異？為了回答這個問題，設計一個實驗，它能在每種工作站方案下給出空管人員工作壓力的測度。在完全隨機化實驗中，管理員的隨機樣本被指派給每種工作站方案。但是，管理員認為，在應對有壓力的局面時，他們的能力是大不相同的（區(qū)組）。一名空管人員認為是高壓力，而對于另外一名空管人員來說可能是中等壓力，甚至是低壓力。因此，當考慮變異的組內(nèi)來源（MSE）時，我們必須意識到：該變異既包括隨機誤差也包括管理人員個人差異。例：空中交通管制員工作壓力測試例：空中交通管制員工作壓力測試隨機化區(qū)組設計需要管制員的一個樣本，樣本中每個管制員都分別在三種工作站方案下接受檢驗。工作站方案是影響因子，管制員為區(qū)組，與工作站因子有關(guān)的三個處理或總體分別對應于三種工作站方案。為簡化起見，稱工作站方案為系統(tǒng)A、系統(tǒng)B、系統(tǒng)C。

隨機化區(qū)組設計中的隨機化是指處理（系統(tǒng)）指派給管制員的順序是隨機的。如果每個管制員測試三個系統(tǒng)的順序都是一樣的，任何觀察到的系統(tǒng)差異都可能歸因于檢驗順序而不是系統(tǒng)真正的差異?？罩薪煌ü苤茊T壓力測試的隨機化區(qū)組設計處理系統(tǒng)A系統(tǒng)B系統(tǒng)C區(qū)組管制員1151518管制員2141414管制員3101115管制員4131217管制員5161316管制員6131313空中交通管制員壓力測試的壓力數(shù)據(jù)匯總處理區(qū)組合計區(qū)組均值系統(tǒng)A系統(tǒng)B系統(tǒng)C區(qū)組管制員11515184816.0管制員21414144214.0管制員31011153612.0管制員41312174214.0管制員51613164515.0管制員61313133913.0處理合計81789325214.0處理均值13.513.015.5ANOVA方法將總平方和分解成三部分：處理平方和、區(qū)組平方和以及誤差平方和。SST=SSTR+SSBL+SSE計算第1步：計算總平方和（SST）第2步：計算處理平方和（SSTR）第3步：計算區(qū)組平方和（SSBL）第4步：計算誤差平方和（SSE）計算方差來源平方和自由度均方F處理21210.510.5/1.9=5.53區(qū)組3056.0誤差19101.9合計7017本節(jié)所介紹的實驗設計是一種完全的區(qū)組設計，其完全性體現(xiàn)在每一個區(qū)組都要從屬于所有K個處理。在本例中，表現(xiàn)為所有空管人員（區(qū)組）要在所有三個系統(tǒng)（處理）下接受測試。但是，在某些情形，區(qū)組的劃分是針對每個區(qū)組內(nèi)的“相似的”實驗單元而進行的。例如，假設在關(guān)于空中交通管制員的一個預先的測試中，管制員總體被分成從極高壓力組到極低壓力組的幾個組。通過讓來自壓力分類中每一類的三名管制員參加研究，仍然可以實現(xiàn)區(qū)組劃分。第三節(jié)雙因素方差分析和析因?qū)嶒炍鲆驅(qū)嶒灒和瑫r考慮兩個或兩個以上因素的一種實驗設計。本節(jié)只考慮兩個因素同時存在的析因?qū)嶒?。研究因素A和因素B對實驗對象Y的影響時，單獨用因素A和因素B作用于Y，可以得出因素A和因素B對Y的獨立影響。但同時將因素A和因素B作用于Y時，可能由于因素A和因素B之間還會有一些“化學反應”，導致其影響結(jié)果與單獨作用時的影響結(jié)果有差異。這種現(xiàn)象表明因素A和因素B之間產(chǎn)生了交互作用。47析因?qū)嶒灴煞治龆喾N交互作用；二個因素間的交互作用稱為一級交互作用，三個因素間的交互作用稱為二級交互作用，四個因素間則稱為三級交互作用，乃至更高級的交互作用。如，觀察三個因素的效應，其一級交互作用為：A×B，A×C與B×C，二級交互作用為A×B×C。當析因?qū)嶒炘O計因素與水平過多時，使交互作用分析內(nèi)容繁多，計算復雜，帶來專業(yè)解釋困難，一般多用簡單的析因?qū)嶒?。例：研究小鼠在不同注射劑量和不同注射次?shù)下藥劑ACTH對尿總酸度的影響。問①A、B各自的主效應如何？②二者間有無交互作用？隨機配伍的兩因素3×2析因設計促腎上腺皮質(zhì)激素

例:小鼠種別A、體重B和性別C對皮內(nèi)移植SRS瘤細胞生長特征影響的結(jié)果(腫瘤體積cm3)問①A,B,C各自的主效應如何?②三者間有無交互作用?完全隨機三因素2×2×2析因設計析因?qū)嶒灥奶攸c2個或以上因素（factor）（分類變量）2個或以上處理（treatment)2個或以上復制（replications）每次試驗涉及全部因素，即因素同時施加析因?qū)嶒灥膬?yōu)點可同時觀察多個因素的效應，提高了實驗效率；能夠分析因素間的交互作用；允許一個因素在其他各因素的幾個水平上來估計其效應，所得結(jié)論在實驗條件的范圍內(nèi)是有效的析因?qū)嶒灥娜秉c

當研究因素較多，且每個因素的水平數(shù)也較多時，析因設計要求的試驗可能太多，以至到了無法承受的地步。如2因素，各3水平5次復制需要試驗為32

*5=45次；如有6個因素，每個因素都有3個水平，析因?qū)嶒炛辽傩枰?6=729次試驗，如果每個因素的水平數(shù)增加到5個，則析因設計至少需要做56=15625次試驗。第三節(jié)雙因素方差分析和析因?qū)嶒炿p因素方差分析的檢驗過程：1.建立原假設：多個總體（處理）均值相等2.構(gòu)建檢驗統(tǒng)計量F=MSA/MSE,F=MSB/MSE,F=MSAB/MSE

第三節(jié)雙因素方差分析和析因?qū)嶒烅憫兞靠偲椒胶头纸鉃橐蛩谹的平方和SSA，因素B的平方和SSB，交互作用的平方和SSAB與誤差平方和SSE。先檢驗交互作用是否顯著，如果不顯著，再檢驗因素A和B的影響是否顯著。3.根據(jù)P值法或臨界值法確定決策規(guī)則4.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出P值或檢驗統(tǒng)計量的實際值5.做出結(jié)論P291例：為嘗試提高考生在考試中的分數(shù)，一所大學考慮提