實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與方差分析

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與方差分析本章主要內(nèi)容方差分析和完全隨機(jī)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（單因素）

方差分析和隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)（單因素）雙因素方差分析和析因?qū)嶒?yàn)

實(shí)驗(yàn)是研究者實(shí)際上在各個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行的，通常是要發(fā)現(xiàn)關(guān)于一個(gè)特定過程或系統(tǒng)的某些事情。從字義上說(shuō)，一個(gè)實(shí)驗(yàn)就是一個(gè)試驗(yàn)。一個(gè)設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)是一個(gè)試驗(yàn)或一系列試驗(yàn)，它對(duì)一個(gè)過程或系統(tǒng)的輸入變量（稱為因素，factor）作一些有目的的改變，以使能夠觀察到和識(shí)別出引起輸出響應(yīng)（稱為因變量或響應(yīng)變量）變化的緣由。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)就是設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)的過程，使得收集得到的數(shù)據(jù)適合于用統(tǒng)計(jì)方法分析，得出有效和客觀的結(jié)論。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)在實(shí)驗(yàn)性研究中，感興趣的變量是明確規(guī)定的。因此，研究中的一個(gè)或多個(gè)因素可以被控制，使得數(shù)據(jù)可以按照因素如何影響變量來(lái)獲得。在觀察性或非實(shí)驗(yàn)性研究中，則不去控制這些因素。(抽樣調(diào)查)完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)例：Chemitech公司開發(fā)了一種新的城市供水過濾系統(tǒng)，其元件需從幾家供應(yīng)商處購(gòu)買，然后Chemitech公司在位于南加州哥倫比亞的工廠裝配這些元件。由工程部負(fù)責(zé)確定新過濾系統(tǒng)的最佳裝配方法?？紤]過各種可能之后，工程部將范圍縮小至三種方法：方法A、方法B及方法C。這些方法在產(chǎn)品裝配步驟上有所不同。Chemitech公司的管理者希望確定哪種裝配方法每周生產(chǎn)的過濾系統(tǒng)數(shù)最大。完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)指每一個(gè)處理被隨機(jī)地指派給一個(gè)實(shí)驗(yàn)單元的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。假定從Chemitech公司的生產(chǎn)車間的全體裝配工人中隨機(jī)抽取了由三名員工組成的樣本，這三名隨機(jī)抽取的工人被稱為實(shí)驗(yàn)單元。每種方法（即處理）被隨機(jī)地指派給一名工人，這種實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)就是完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)。隨機(jī)化的概念是所有實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的一個(gè)重要原理。方差分析方差分析是一種通過對(duì)響應(yīng)變量方差進(jìn)行分解構(gòu)建檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否有差異的統(tǒng)計(jì)方法。方差分析的三個(gè)假定：對(duì)每個(gè)總體，響應(yīng)變量服從正態(tài)分布響應(yīng)變量的方差對(duì)所有總體都是相同的觀測(cè)值獨(dú)立實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)析因?qū)嶒?yàn)可重復(fù)多因素方差分析隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)無(wú)重復(fù)雙因素方差分析完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)單因素方差分析一、檢驗(yàn)多個(gè)總體（處理）均值是否有顯著差異完全隨機(jī)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)指將每一個(gè)處理隨機(jī)地指派給一個(gè)實(shí)驗(yàn)單元的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。

檢驗(yàn)過程：1.建立原假設(shè)：多個(gè)總體（處理）均值相等2.構(gòu)建檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F=MSTR/MSE響應(yīng)變量總平方和分解為處理平方和SSTR和誤差平方和SSE。二者分別除以其自由度，得到第一節(jié)方差分析和完全隨機(jī)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（單因素）一、檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否有顯著差異均方處理MSTR和均方誤差MSE。如果原假設(shè)為真，MSTR為響應(yīng)變量總體方差的無(wú)偏估計(jì)量，MSE永遠(yuǎn)都是其無(wú)偏估計(jì)量，這兩個(gè)估計(jì)量是獨(dú)立的,F統(tǒng)計(jì)量服從F分布。3.根據(jù)P值法或臨界值法確定決策規(guī)則4.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出P值或檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際值5.做出結(jié)論第一節(jié)方差分析和完全隨機(jī)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（單因素）Chemitech公司所遇到的問題哪種裝配方法能使每周生產(chǎn)的過濾系統(tǒng)的數(shù)量最多。

三種裝配方法確定了Chemitech公司實(shí)驗(yàn)的三個(gè)總體，分別是使用方法A、B、C的全體工人。假設(shè)不只抽取3名工人，而是15名工人，然后對(duì)每一個(gè)處理隨機(jī)地指派5名工人，也就是說(shuō)我們得到了5個(gè)復(fù)制。復(fù)制的過程是實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的另一個(gè)重要原則。第一節(jié)方差分析和完全隨機(jī)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（單因素）相關(guān)專業(yè)術(shù)語(yǔ)在Chemitech公司實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中：裝配方法獨(dú)立變量或因素對(duì)應(yīng)這個(gè)因素有三種裝配方法，我們說(shuō)這一實(shí)驗(yàn)有三個(gè)處理。每個(gè)處理對(duì)應(yīng)一種裝配方法。

每周裝配的過濾系統(tǒng)的數(shù)量響應(yīng)變量

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)主要的統(tǒng)計(jì)目的：檢驗(yàn)三個(gè)總體（三種方法）每周所生產(chǎn)的過濾系統(tǒng)的平均數(shù)量是否相同。第一節(jié)方差分析和完全隨機(jī)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（單因素）

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的原則：隨機(jī)化和復(fù)制為了得到更多的數(shù)據(jù)，我們需要重復(fù)或復(fù)制基本實(shí)驗(yàn)過程。在Chemitech公司實(shí)驗(yàn)中，得到三個(gè)樣本，n1=5,n2=5,n3=5.

假設(shè)：

j代表第j個(gè)總體的均值方差分析要解決的問題就是：在三個(gè)樣本均值之間觀察到的差異是否足夠大到可以拒絕H0

第一節(jié)方差分析和完全隨機(jī)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（單因素）

假定從k個(gè)總體或處理中抽取一個(gè)容量為nj的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，令第一節(jié)方差分析和完全隨機(jī)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（單因素）

第j個(gè)處理的樣本均值

第j個(gè)處理的樣本方差

總樣本均值

如果每個(gè)樣本容量都為n，則

處理均方：總體方差的組間估計(jì)（或處理間估計(jì)），反映處理均值之間的變異性處理平方和第一節(jié)方差分析和完全隨機(jī)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（單因素）誤差均方：總體方差的組內(nèi)估計(jì)（或處理內(nèi)估計(jì)），反映每個(gè)處理內(nèi)部的變異性。誤差平方和SST=SSTR+SSE

第一節(jié)方差分析和完全隨機(jī)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（單因素）k個(gè)總體均值相等的原假設(shè)

（

H0:12…k

，

H1:k個(gè)總體均值不全相等）成立時(shí)

可構(gòu)建檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從分子自由度為k-1，分母自由度為nT-k的F分布第一節(jié)方差分析和完全隨機(jī)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（單因素）將統(tǒng)計(jì)量的值F與給定的顯著性水平的臨界值F進(jìn)行比較，作出對(duì)原假設(shè)H0的決策臨界值法若F>F

，則拒絕原假設(shè)H0

。若F<F

，則不拒絕原假設(shè)H0

。

Fα是分子自由度為k-1，分母自由度為nT-k時(shí)，使F分布的上側(cè)面積為α的F值第一節(jié)方差分析和完全隨機(jī)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（單因素）aF(k-1,nT-k)0拒絕H0不拒絕H0F第一節(jié)方差分析和完全隨機(jī)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（單因素）P值法：如果P值≤α，則拒絕原假設(shè)。如果P值>α，則不拒絕原假設(shè)。式中，P值是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值上側(cè)的F分布曲線下方的面積。

第一節(jié)方差分析和完全隨機(jī)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（單因素）二、多重比較檢驗(yàn)第一節(jié)方差分析和完全隨機(jī)化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（單因素）多重比較檢驗(yàn)用于確定哪些總體（處理）均值之間存在差異多重比較檢驗(yàn)方法有Fisher的LSD方法、Bonferroni方法、Turkey方法、Duncan方法等。這些方法的主要區(qū)別在于是控制犯比較方式的第一類錯(cuò)誤概率還是犯實(shí)驗(yàn)方式的第一類錯(cuò)誤概率。Fisher最小顯著性差異（LSD）方法檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕法則

P-值法

如果P≤，則拒絕H0

臨界值法式中，tα/2是基于自由度為nT-k的t分布?；诮y(tǒng)計(jì)量的FisherLSD方法檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量顯著性水平α下的拒絕法則式中例題(P286,Q20）美國(guó)職業(yè)棒球小聯(lián)盟有14支3-A級(jí)球隊(duì)，這些球隊(duì)分為北區(qū)、南區(qū)和西區(qū)。14支球隊(duì)在參加國(guó)際聯(lián)盟比賽時(shí)，每場(chǎng)比賽的平均觀眾人數(shù)如表中所示。求在α=0.05的顯著水平下，檢驗(yàn)三個(gè)地區(qū)每場(chǎng)比賽的平均觀眾人數(shù)是否存在顯著差異。如存在明顯差異，確定差異發(fā)生在哪些地區(qū)之間。北區(qū)南區(qū)西區(qū)n1=6n2=4n3=4=7702=5566=8340=1692874=1625454=324863a：假設(shè)：

H0:μ1=μ2=μ3

H1:μ1

μ2

μ3

b.F檢驗(yàn)

=7.15c.0.025＜P-值＜

0.01＜α

判斷：在

=0.05的水平上拒絕H0結(jié)論：有證據(jù)表明三個(gè)地區(qū)每場(chǎng)比賽平均觀眾人數(shù)存在明顯差異

基于統(tǒng)計(jì)量的FisherLSD方法第1步：提出假設(shè)

檢驗(yàn)1:

檢驗(yàn)2：

檢驗(yàn)3：第2步：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

檢驗(yàn)1：

檢驗(yàn)2：檢驗(yàn)3：第三步：計(jì)算LSD,α=0.05北區(qū)vs南區(qū)北區(qū)vs西區(qū)南區(qū)vs西區(qū)基于統(tǒng)計(jì)量的FisherLSD方法基于統(tǒng)計(jì)量的FisherLSD方法第4步：做出決策在5%的顯著性水平下，拒絕北區(qū)和南區(qū)每場(chǎng)比賽平均觀眾人數(shù)無(wú)顯著差異的原假設(shè)

在5%的顯著性水平下拒絕南區(qū)和西區(qū)每場(chǎng)比賽平均觀眾人數(shù)無(wú)顯著差異的原假設(shè)

在5%的顯著性水平下不能拒絕北區(qū)和西區(qū)每場(chǎng)比賽平均觀眾人數(shù)無(wú)顯著差異的原假設(shè)

使用FisherLSD方法的兩個(gè)總體均值之差的置信區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間估計(jì)式中且tα/2是基于自由度為nT-k的t分布。第一類錯(cuò)誤概率

檢驗(yàn)一

檢驗(yàn)二

檢驗(yàn)三比較方式的第一類錯(cuò)誤概率：與單個(gè)兩兩比較相聯(lián)系的犯第一類錯(cuò)誤的概率(α）

。實(shí)驗(yàn)方式的第一類錯(cuò)誤概率：多個(gè)兩兩比較中至少有1個(gè)犯第一類錯(cuò)誤的概率，記為αEW。

在以上棒球賽的例子中，α＝0.05，則對(duì)于每個(gè)檢驗(yàn)，犯第一類錯(cuò)誤的概率為α＝0.05，不犯第一類錯(cuò)誤的概率就是1-0.05=0.95。三次成對(duì)的兩兩比較都不犯第一類錯(cuò)誤的概率為0.95×0.95×0.95，至少有一次犯第一類錯(cuò)誤的概率是：1-0.95×0.95×0.95＝0.1426。所以該例比較方式的第一類錯(cuò)誤概率是0.05，實(shí)驗(yàn)方式的第一類錯(cuò)誤概率為0.1426。

若總體個(gè)數(shù)較多，實(shí)驗(yàn)方式的第一類錯(cuò)誤概率則更大。Bonferroni修正方法

控制實(shí)驗(yàn)方式的第一類錯(cuò)誤概率，因此在每一次兩兩比較的檢驗(yàn)中都使用一個(gè)較小的比較方式的第一類錯(cuò)誤概率。

例如，要檢驗(yàn)C個(gè)成對(duì)的兩兩比較，并希望總的犯實(shí)驗(yàn)方式的第一類錯(cuò)誤的概率最大為αEW，那么只要簡(jiǎn)單的將犯比較方式的第一類錯(cuò)誤的概率等于αEW／C即可。為什么要進(jìn)行隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)為檢驗(yàn)處理均值之間的差異，計(jì)算F值時(shí)使用了比值當(dāng)外在因素（實(shí)驗(yàn)中沒有考慮到的因素）引起的差異導(dǎo)致該比值中MSE增大時(shí)，F(xiàn)值會(huì)變小。這樣，在實(shí)際中處理均值之間存在差異時(shí)，F(xiàn)值卻給出處理均值之間沒有差異的信號(hào)。隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)通過消除MSE項(xiàng)中來(lái)自外部的變異（除去隨機(jī)誤差外的其他外部變異），以達(dá)到控制變異外部來(lái)源的目的。第二節(jié)方差分析和隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)（單因素）第二節(jié)方差分析和隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)（單因素）完全隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)是把所有實(shí)驗(yàn)單元按照差異大小分成不同的區(qū)組，所有處理都隨機(jī)指派給每個(gè)區(qū)組的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。這樣可以剔除區(qū)組（實(shí)驗(yàn)單元）之間的差異對(duì)處理均值間差異的影響。如果某些（但不是全部）處理用于每個(gè)區(qū)組，這樣的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)被稱為不完全區(qū)組設(shè)計(jì)。檢驗(yàn)過程：1.建立原假設(shè)：多個(gè)總體（處理）均值相等

2.構(gòu)建檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F=MSTR/MSE響應(yīng)變量總平方和分解為處理平方和SSTR、區(qū)組平方和SSBL和誤差平方和SSE。3.根據(jù)P值法或臨界值法確定決策規(guī)則4.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出P值或檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際值5.做出結(jié)論第二節(jié)方差分析和隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)（單因素）例：空中交通管制員工作壓力測(cè)試一項(xiàng)測(cè)試空中交通管理員的疲勞程度與工作壓力的研究得到的結(jié)果是建議改造并重新設(shè)計(jì)管理員的工作站?？紤]了工作站的若干設(shè)計(jì)方案后，三種最有可能減輕管理員工作壓力的工作站具體方案被選出。關(guān)鍵問題是：三種方案對(duì)管理員工作壓力的影響程度有多大差異？為了回答這個(gè)問題，設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，它能在每種工作站方案下給出空管人員工作壓力的測(cè)度。在完全隨機(jī)化實(shí)驗(yàn)中，管理員的隨機(jī)樣本被指派給每種工作站方案。但是，管理員認(rèn)為，在應(yīng)對(duì)有壓力的局面時(shí)，他們的能力是大不相同的（區(qū)組）。一名空管人員認(rèn)為是高壓力，而對(duì)于另外一名空管人員來(lái)說(shuō)可能是中等壓力，甚至是低壓力。因此，當(dāng)考慮變異的組內(nèi)來(lái)源（MSE）時(shí)，我們必須意識(shí)到：該變異既包括隨機(jī)誤差也包括管理人員個(gè)人差異。例：空中交通管制員工作壓力測(cè)試?yán)嚎罩薪煌ü苤茊T工作壓力測(cè)試隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)需要管制員的一個(gè)樣本，樣本中每個(gè)管制員都分別在三種工作站方案下接受檢驗(yàn)。工作站方案是影響因子，管制員為區(qū)組，與工作站因子有關(guān)的三個(gè)處理或總體分別對(duì)應(yīng)于三種工作站方案。為簡(jiǎn)化起見，稱工作站方案為系統(tǒng)A、系統(tǒng)B、系統(tǒng)C。

隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)中的隨機(jī)化是指處理（系統(tǒng)）指派給管制員的順序是隨機(jī)的。如果每個(gè)管制員測(cè)試三個(gè)系統(tǒng)的順序都是一樣的，任何觀察到的系統(tǒng)差異都可能歸因于檢驗(yàn)順序而不是系統(tǒng)真正的差異?？罩薪煌ü苤茊T壓力測(cè)試的隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)處理系統(tǒng)A系統(tǒng)B系統(tǒng)C區(qū)組管制員1151518管制員2141414管制員3101115管制員4131217管制員5161316管制員6131313空中交通管制員壓力測(cè)試的壓力數(shù)據(jù)匯總處理區(qū)組合計(jì)區(qū)組均值系統(tǒng)A系統(tǒng)B系統(tǒng)C區(qū)組管制員11515184816.0管制員21414144214.0管制員31011153612.0管制員41312174214.0管制員51613164515.0管制員61313133913.0處理合計(jì)81789325214.0處理均值13.513.015.5ANOVA方法將總平方和分解成三部分：處理平方和、區(qū)組平方和以及誤差平方和。SST=SSTR+SSBL+SSE計(jì)算第1步：計(jì)算總平方和（SST）第2步：計(jì)算處理平方和（SSTR）第3步：計(jì)算區(qū)組平方和（SSBL）第4步：計(jì)算誤差平方和（SSE）計(jì)算方差來(lái)源平方和自由度均方F處理21210.510.5/1.9=5.53區(qū)組3056.0誤差19101.9合計(jì)7017本節(jié)所介紹的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)是一種完全的區(qū)組設(shè)計(jì)，其完全性體現(xiàn)在每一個(gè)區(qū)組都要從屬于所有K個(gè)處理。在本例中，表現(xiàn)為所有空管人員（區(qū)組）要在所有三個(gè)系統(tǒng)（處理）下接受測(cè)試。但是，在某些情形，區(qū)組的劃分是針對(duì)每個(gè)區(qū)組內(nèi)的“相似的”實(shí)驗(yàn)單元而進(jìn)行的。例如，假設(shè)在關(guān)于空中交通管制員的一個(gè)預(yù)先的測(cè)試中，管制員總體被分成從極高壓力組到極低壓力組的幾個(gè)組。通過讓來(lái)自壓力分類中每一類的三名管制員參加研究，仍然可以實(shí)現(xiàn)區(qū)組劃分。第三節(jié)雙因素方差分析和析因?qū)嶒?yàn)析因?qū)嶒?yàn)：同時(shí)考慮兩個(gè)或兩個(gè)以上因素的一種實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。本節(jié)只考慮兩個(gè)因素同時(shí)存在的析因?qū)嶒?yàn)。研究因素A和因素B對(duì)實(shí)驗(yàn)對(duì)象Y的影響時(shí)，單獨(dú)用因素A和因素B作用于Y，可以得出因素A和因素B對(duì)Y的獨(dú)立影響。但同時(shí)將因素A和因素B作用于Y時(shí)，可能由于因素A和因素B之間還會(huì)有一些“化學(xué)反應(yīng)”，導(dǎo)致其影響結(jié)果與單獨(dú)作用時(shí)的影響結(jié)果有差異。這種現(xiàn)象表明因素A和因素B之間產(chǎn)生了交互作用。47析因?qū)嶒?yàn)可分析多種交互作用；二個(gè)因素間的交互作用稱為一級(jí)交互作用，三個(gè)因素間的交互作用稱為二級(jí)交互作用，四個(gè)因素間則稱為三級(jí)交互作用，乃至更高級(jí)的交互作用。如，觀察三個(gè)因素的效應(yīng)，其一級(jí)交互作用為：A×B，A×C與B×C，二級(jí)交互作用為A×B×C。當(dāng)析因?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)因素與水平過多時(shí)，使交互作用分析內(nèi)容繁多，計(jì)算復(fù)雜，帶來(lái)專業(yè)解釋困難，一般多用簡(jiǎn)單的析因?qū)嶒?yàn)。例：研究小鼠在不同注射劑量和不同注射次數(shù)下藥劑ACTH對(duì)尿總酸度的影響。問①A、B各自的主效應(yīng)如何？②二者間有無(wú)交互作用？隨機(jī)配伍的兩因素3×2析因設(shè)計(jì)促腎上腺皮質(zhì)激素

例:小鼠種別A、體重B和性別C對(duì)皮內(nèi)移植SRS瘤細(xì)胞生長(zhǎng)特征影響的結(jié)果(腫瘤體積cm3)問①A,B,C各自的主效應(yīng)如何?②三者間有無(wú)交互作用?完全隨機(jī)三因素2×2×2析因設(shè)計(jì)析因?qū)嶒?yàn)的特點(diǎn)2個(gè)或以上因素（factor）（分類變量）2個(gè)或以上處理（treatment)2個(gè)或以上復(fù)制（replications）每次試驗(yàn)涉及全部因素，即因素同時(shí)施加析因?qū)嶒?yàn)的優(yōu)點(diǎn)可同時(shí)觀察多個(gè)因素的效應(yīng)，提高了實(shí)驗(yàn)效率；能夠分析因素間的交互作用；允許一個(gè)因素在其他各因素的幾個(gè)水平上來(lái)估計(jì)其效應(yīng)，所得結(jié)論在實(shí)驗(yàn)條件的范圍內(nèi)是有效的析因?qū)嶒?yàn)的缺點(diǎn)

當(dāng)研究因素較多，且每個(gè)因素的水平數(shù)也較多時(shí)，析因設(shè)計(jì)要求的試驗(yàn)可能太多，以至到了無(wú)法承受的地步。如2因素，各3水平5次復(fù)制需要試驗(yàn)為32

*5=45次；如有6個(gè)因素，每個(gè)因素都有3個(gè)水平，析因?qū)嶒?yàn)至少需要做36=729次試驗(yàn)，如果每個(gè)因素的水平數(shù)增加到5個(gè)，則析因設(shè)計(jì)至少需要做56=15625次試驗(yàn)。第三節(jié)雙因素方差分析和析因?qū)嶒?yàn)雙因素方差分析的檢驗(yàn)過程：1.建立原假設(shè)：多個(gè)總體（處理）均值相等2.構(gòu)建檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F=MSA/MSE,F=MSB/MSE,F=MSAB/MSE

第三節(jié)雙因素方差分析和析因?qū)嶒?yàn)響應(yīng)變量總平方和分解為因素A的平方和SSA，因素B的平方和SSB，交互作用的平方和SSAB與誤差平方和SSE。先檢驗(yàn)交互作用是否顯著，如果不顯著，再檢驗(yàn)因素A和B的影響是否顯著。3.根據(jù)P值法或臨界值法確定決策規(guī)則4.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出P值或檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際值5.做出結(jié)論P(yáng)291例：為嘗試提高考生在考試中的分?jǐn)?shù)，一所大學(xué)考慮提