正弦定理余弦定理應(yīng)用舉例(距離)(高度)(角度)

1.2正弦定理余弦定理應(yīng)用舉例1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測(cè)量:①距離問題、②高度問題、③角度問題、④計(jì)算面積問題、⑤航海問題、⑥物理問題等.實(shí)際應(yīng)用問題中有關(guān)的名稱、術(shù)語1.仰角、俯角、視角。（1）.當(dāng)視線在水平線上方時(shí)，視線與水平線所成角叫仰角。（2）.當(dāng)視線在水平線下方時(shí)，視線與水平線所成角叫俯角。（3）.由一點(diǎn)出發(fā)的兩條視線所夾的角叫視角。（一般這兩條視線過被觀察物的兩端點(diǎn)）水平線視線視線仰角俯角2.方向角、方位角。（1）.方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于900的水平角叫方向角。（2）.方位角：指北方向線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角叫方位角。東西北南600300450200ABCD點(diǎn)A在北偏東600，方位角600.點(diǎn)B在北偏西300，方位角3300.點(diǎn)C在南偏西450，方位角2250.點(diǎn)D在南偏東200，方位角1600.3.水平距離、垂直距離、坡面距離。水平距離垂直距離坡面距離坡度（坡度比）i:垂直距離/水平距離坡角α:tanα=垂直距離/水平距離α要測(cè)量不可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離,可用哪些方法?如圖:設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，怎樣測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離?AB方案一:構(gòu)造直角三角形AB在河岸的一側(cè)取一點(diǎn)C,使得AC⊥BCC若能測(cè)得AC的長及∠BAC,那么AB即可求出此方案有缺陷嗎?

如圖,設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸.需要測(cè)量A,B兩點(diǎn)間的距離,測(cè)量者在A的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C.測(cè)出AC=55米,

求A,B兩點(diǎn)間的距離.∠BAC=45°,題型分類深度剖析題型一與距離有關(guān)的問題如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方法。..AB..DC基線

要測(cè)量對(duì)岸A、B兩點(diǎn)之間的距離，選取相距km的C、D兩點(diǎn),并測(cè)得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求

A、B之間的距離.

分析題意，作出草圖，綜合運(yùn)用正、余弦定理求解.【例2】解如圖所示在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.在△ABC中，由余弦定理，得練習(xí)1海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，那么B島和C島間的距離是

。ACB10海里60°75°答：海里解：應(yīng)用正弦定理，C=45BC/sin60=10/sin45

BC=10sin60/sin45

解：如圖，在△ABC中由余弦定理得：A

我艦在敵島A南偏西50°相距12海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西10°的方向以10海里/小時(shí)的速度航行．問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時(shí)追上敵艦？CB∴我艦的追擊速度為14nmile/h【例3】又在△ABC中由正弦定理得：≈0.6186B≈38013’故我艦行的方向?yàn)楸逼珫|11047’A

我艦在敵島A南偏西50°相距12海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西10°的方向以10海里/小時(shí)的速度航行．問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時(shí)追上敵艦？CB

求距離問題要注意：（1）選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.（2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.(3)閱讀課本第11頁和第12頁的例1,例2的距離測(cè)量方法.AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法分析：由于建筑物的底部B是不可到達(dá)的，所以不能直接測(cè)量出建筑物的高。由解直角三角形的知識(shí)，只要能測(cè)出一點(diǎn)C到建筑物的頂部A的距離CA,并測(cè)出由點(diǎn)C觀察A的仰角，就可以計(jì)算出建筑物的高。所以應(yīng)該設(shè)法借助解三角形的知識(shí)測(cè)出CA的長。解：選擇一條水平基線HG,使H,G,B三點(diǎn)在同一條直線上。由在H,G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別是α，β，CD=a,測(cè)角儀器的高是h.那么，在⊿ACD中，根據(jù)正弦定理可得例1、AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法

題型二與高度有關(guān)的問題練習(xí)1如圖，要測(cè)底部不能到達(dá)的煙囪的高AB，從與煙囪底部在同一水平直線上的C、D兩處，測(cè)得煙囪的仰角分別是，CD間的距離是12m.已知測(cè)角儀器高1.5m,求煙囪的高。圖中給出了怎樣的一個(gè)幾何圖形？已知什么，求什么？AA1BCDC1D1分析：如圖，因?yàn)锳B=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：答：煙囪的高為.例2.在200m高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30°，60°,則塔高為多少米

解析作出示意圖如圖，由已知：在Rt△OAC中，OA=200，∠OAC=30°，則OC=OA·tan∠OAC=200tan30°=

在Rt△ABD中，AD=，∠BAD=30°，則BD=AD·tan∠BAD=練習(xí)2

在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角α＝75°，在塔底C處測(cè)得A處的俯角β＝45°。已知鐵塔BC部分的高為30m，求出山高CD.分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)法計(jì)算出AB或AC的長解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β=1350,∠ABC=90°-α=150,∠BAC=α-β=300,∠BAD=α=750.根據(jù)正弦定理，練習(xí)3

如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得∠BCD=α，∠BDC=β，CD=x，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB.

解在△BCD中，∠CBD=π-α-β

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求；（2）依題意畫出示意圖；（3）分析與問題有關(guān)的三角形；（4）運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形,

逐步求解問題的答案；（5）注意方程思想的運(yùn)用；（6）要綜合運(yùn)用立體幾何知識(shí)與平面幾何知識(shí).它等于地球橢圓子午線上緯度1分（一度等于六十分，一圓周為360度）所對(duì)應(yīng)的弧長。1海里=1.852公里(千米)(中國標(biāo)準(zhǔn))nmile：海里，航海上度量距離的單位。沒有統(tǒng)一符號(hào)例1如圖，某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在Ａ處獲悉后，測(cè)出該漁輪在方位角為４５°，距離為10nmile的Ｃ處，并測(cè)得漁輪正沿方位角為105°的方向，以９nmile/h的速度向小島靠攏．我海軍艦艇立即以２１nmile/h的速度前去營救．求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間（角度精確到0.1°,時(shí)間精確到１min）北北ＡBC105°方位角：指從正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角．題型三與角度有關(guān)的問題北北ＡBC105°解：設(shè)艦艇收到信號(hào)后x

h在Ｂ處靠攏漁輪，則ＡＢ＝21x，ＢＣ＝９x，又AC=10,∠ACB=45°+(180°－105°)=120°.由余弦定理，得：化簡(jiǎn)得：解得：x=２／３（h）=40(min)(負(fù)值舍去）由正弦定理，得所以∠ＢＡＣ≈21.8°，方位角為45°+21.8°=66.8°答：艦艇應(yīng)沿著方位角66.8°的方向航行，經(jīng)過４０min就可靠近漁輪．練習(xí)：海中有島A，已知A島周圍8海里內(nèi)有暗礁，今有一貨輪由西向東航行，望見A島在北偏東75°，航行20海里后，見此島在北偏東30°，如貨輪不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，問有無觸礁危險(xiǎn)。ABCM北北解：在△ABC中∠ACB=120°∠ABC=15°由正弦定理得：由BC=20,可求AC∴得AM=

≈8.97>8∴無觸礁危險(xiǎn)ABCM北北7530[例2].在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距離A

nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向,距離A2nmile的C處的緝私船奉命以10

nmile/h的速度追截走私船.此時(shí)，走私船正以

10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄,

問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？

分析如圖所示，注意到最快追上走私船且兩船所用時(shí)間相等，若在D

處相遇，則可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.則有CD=10t，BD=10t.在△ABC中，∵AB=-1，AC=2，∠BAC=120°,∴由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=（-1）2+22-2×（-1）×2×cos120°=6,∴BC=，即∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得∴∠BCD=30°.即緝私船北偏東60°方向能最快追上走私船.解:設(shè)緝私船用th在D處追上走私船，如圖.當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉,在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救.甲船立即前往救援.同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西.相距10海里C處的乙船,試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處營救(角度精確到1).練習(xí)2

如圖:甲船以每小時(shí)海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行.當(dāng)甲船位于處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的處，此時(shí)兩船相距20海里.當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的

處，此時(shí)兩船相距海里，問乙船每小時(shí)航行多少海里？

例3[例4]

如圖所示，已知半圓的直徑AB=2，點(diǎn)C在AB的延長線上，BC=1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在