金屬塑性變形原理第三章金屬塑性變形的力學(xué)基礎(chǔ)

第3章金屬塑性變形的力學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)應(yīng)力分析第二節(jié)應(yīng)變分析第三節(jié)平面問題和軸對稱問題第四節(jié)屈服準(zhǔn)則第五節(jié)塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第六節(jié)真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線彈性(elasticity)：卸載后變形可以恢復(fù)特性，可逆性塑性(plasticity)：物體產(chǎn)生永久變形的能力，不可逆性屈服(yielding)：開始產(chǎn)生塑性變形的臨界狀態(tài)斷裂(fracture)：宏觀裂紋產(chǎn)生、擴(kuò)展到變形體破斷的過程幾個(gè)基本概念可逆性：彈性變形——可逆；塑性變形——不可逆-關(guān)系：彈性變形——線性；塑性變形——非線性與加載路徑的關(guān)系：彈性——無關(guān)；塑性——有關(guān)對組織和性能的影響：彈性變形——無影響；塑性變形——影響大（加工硬化、晶粒細(xì)化、位錯(cuò)密度增加、形成織構(gòu)等）變形機(jī)理：彈性變形——原子間距的變化；塑性變形——位錯(cuò)運(yùn)動為主彈塑性共存：整體變形中包含彈性變形和塑性變形；塑性變形的發(fā)生必先經(jīng)歷彈性變形；在材料加工過程中，工件的塑性變形與工模具的彈性變形共存。

彈性、塑性變形的力學(xué)特征第一節(jié)應(yīng)力分析外力(load)與內(nèi)力(internalforce)

外力P：施加在變形體上的外部載荷。

內(nèi)力Q：變形體抗衡外力機(jī)械作用的體現(xiàn)。

一、外力和應(yīng)力應(yīng)力（stress）應(yīng)力S是內(nèi)力的集度內(nèi)力和應(yīng)力均為矢量應(yīng)力的單位：1Pa=1N/m2=1.0197kgf/mm2

1MPa=106N/m2應(yīng)力是某點(diǎn)A的坐標(biāo)的函數(shù)，即受力體內(nèi)不同點(diǎn)的應(yīng)力不同。應(yīng)力是某點(diǎn)A在坐標(biāo)系中的方向余弦的函數(shù)，即同一點(diǎn)不同方位的截面上的應(yīng)力是不同的。應(yīng)力可以進(jìn)行分解Sn

n、n（n—normal,法向）

某截面（外法線方向?yàn)閚）上的應(yīng)力：

或者（求和約定的縮寫形式）

全應(yīng)力(stress)正應(yīng)力(normalsress)剪應(yīng)力(shearstress)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：是指通過變形體內(nèi)某點(diǎn)的單元體所有截面上的應(yīng)力的有無、大小、方向等情況。一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的描述：數(shù)值表達(dá)：x=50MPa，xz=35MPa

圖示表達(dá)：在單元體的三個(gè)正交面上標(biāo)出（如圖1-2）

張量表達(dá)：(i,j=x,y,z)

（對稱張量，9個(gè)分量，6個(gè)獨(dú)立分量。）二、點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

應(yīng)力分量圖示圖1-2平行于坐標(biāo)面上應(yīng)力示意圖

三、張量和應(yīng)力張量應(yīng)力的分量表示及正負(fù)符號的規(guī)定ij

xx、xz……（便于計(jì)算機(jī)應(yīng)用）

i——應(yīng)力作用面的外法線方向(與應(yīng)力作用面的外法線方向平行的坐標(biāo)軸)j——應(yīng)力分量本身作用的方向當(dāng)i=j時(shí)為正應(yīng)力

i、j同號為正（拉應(yīng)力），異號為負(fù)（壓應(yīng)力）當(dāng)i≠j時(shí)為剪應(yīng)力

i、j同號為正，異號為負(fù)

應(yīng)力的坐標(biāo)變換（例題講解）*

實(shí)際應(yīng)用：晶體取向、織構(gòu)分析等應(yīng)力莫爾圓**：

二維應(yīng)力莫爾圓與三維應(yīng)力莫爾圓掌握如何畫、如何分析（工程力學(xué)已學(xué)，看書）

四、主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面

設(shè)想并證明主應(yīng)力平面（其上只有正應(yīng)力，剪應(yīng)力均為零）的存在，可得應(yīng)力特征方程：

應(yīng)力不變量式中討論：

1.可以證明，在應(yīng)力空間，主應(yīng)力平面是存在的；

2.三個(gè)主平面是相互正交的；

3.三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)根，不可能為虛根；

4.應(yīng)力特征方程的解是唯一的；

5.對于給定的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力不變量也具有唯一性；

6.應(yīng)力第一不變量I1反映變形體體積變形的劇烈程度，與塑性變形無關(guān)；I3也與塑性變形無關(guān)；I2與塑性變形無關(guān)。

7.應(yīng)力不變量不隨坐標(biāo)而改變，是點(diǎn)的確定性的判據(jù)。

主應(yīng)力的求解（略，見彭大暑《金屬塑性加工力學(xué)》教材）主應(yīng)力的圖示

五、主切應(yīng)力和最大切應(yīng)力主剪應(yīng)力(principalshearstress)：極值剪應(yīng)力（不為零）平面上作用的剪應(yīng)力。主應(yīng)力空間的｛110｝面族。最大剪應(yīng)力(maximunshearstress)：

通常規(guī)定：則有最大剪應(yīng)力：或者：其中：且有：應(yīng)力張量=應(yīng)力偏張量+應(yīng)力球張量。應(yīng)力偏張量：只能使物體產(chǎn)生形狀變化，而不能產(chǎn)生體積變化。應(yīng)力球張量：不能使物體產(chǎn)生形狀變化和塑性變形，而只能產(chǎn)生體積變化。六、應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量：預(yù)備知識:二維坐標(biāo)系推廣到三維坐標(biāo)系七、八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力

即主應(yīng)力空間的｛111｝等傾面上的應(yīng)力。這組截面的方向余弦為：

正應(yīng)力剪應(yīng)力

總應(yīng)力八面體上的正應(yīng)力與塑性變形無關(guān)，剪應(yīng)力與塑性變形有關(guān)。

八面體應(yīng)力的求解思路：因?yàn)榈刃?yīng)力

討論：1.等效的實(shí)質(zhì)？是（彈性）應(yīng)變能等效（相當(dāng)于）。

2.什么與什么等效？復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)（二維和三維）與簡單應(yīng)力狀態(tài)（一維）等效

3.如何等效？等效公式（注意：等效應(yīng)力是標(biāo)量，沒有作用面）。

4.等效的意義？屈服的判別、變形能的計(jì)算、簡化問題的分析等。

八、應(yīng)力莫爾圓

(i,j=x,y,z)

其中

即平均應(yīng)力，為柯氏符號。

即

討論：

分解的依據(jù)：靜水壓力實(shí)驗(yàn)證實(shí)，靜水壓力不會引起變形體形狀的改變，只會引起體積改變，即對塑性條件無影響。為引起形狀改變的偏應(yīng)力張量(deviatoricstresstensor)，為引起體積改變的球張量(sphericalstresstensor)（靜水壓力）。與應(yīng)力張量類似，偏應(yīng)力張量也存在相應(yīng)的不變量：

（體現(xiàn)變形體形狀改變的程度）應(yīng)力莫爾圓是點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的幾何表示法，若已知某點(diǎn)的一組應(yīng)力分量或主應(yīng)力，就可以利用應(yīng)力莫爾圓通過圖解法來確定該點(diǎn)任意方位平面桑的正應(yīng)力和切應(yīng)力。這三個(gè)圓叫做應(yīng)力莫爾圓。應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓如圖（1-9）九、應(yīng)力平衡微分方程直角坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程*

即（不計(jì)體力）

物理意義：表示變形體內(nèi)無限相鄰兩質(zhì)點(diǎn)的點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的關(guān)系。對彈性變形和塑性變形均適用。

推導(dǎo)原理：靜力平衡條件：

靜力矩平衡條件：泰勒級數(shù)展開：

圓柱坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程

球坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程？

一、位移和應(yīng)變

第二節(jié)應(yīng)變分析討論：

1.物理意義：表示位移(displacement)

與應(yīng)變(strain)之間的關(guān)系；

2.位移包含變形體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的相對位移（產(chǎn)生應(yīng)變）和變形體的剛性位移（平動和轉(zhuǎn)動）；

3.工程剪應(yīng)變理論剪應(yīng)變：

4.應(yīng)變符號規(guī)定：正應(yīng)變或線應(yīng)變()：伸長為正，縮短為負(fù)；剪應(yīng)變或切應(yīng)變（）：夾角減小為正，增大為負(fù)；5.推導(dǎo)中應(yīng)用到小變形假設(shè)、連續(xù)性假設(shè)及泰勒級數(shù)展開等。二、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量

指圍繞該點(diǎn)截取的無限小單元體的各棱長及棱間夾角的變化情況。可表示為張量形式：

應(yīng)變張量（straintensor）也可進(jìn)行與應(yīng)力張量類似的分析。

(i,j=x,y,z)三、塑性變形時(shí)的體積不變條件

單元體初始邊長為dx、dy、dz，體積為V0=dxdydz。小變形時(shí)，認(rèn)為單元體邊長和體積變化完全由正應(yīng)變引起。因此變形后單元體的體積為：

單元體積變化率為：

塑性變形時(shí)，雖然體積也有微量變化，但與塑性變形相比很小，忽略不計(jì)。一般認(rèn)為塑性變形時(shí)體積不變，故有體積不變條件：

四、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)相比較

任何一個(gè)張量均可以分解成一個(gè)對稱張量與一個(gè)反對稱張量之和。式中后一項(xiàng)是一個(gè)反對稱張量，表示剛體轉(zhuǎn)動，叫剛體轉(zhuǎn)動張量；前一項(xiàng)是對稱張量，表示純變形，這就是我們要重點(diǎn)討論的應(yīng)變張量，一般用εij表示，即：五、小應(yīng)變幾何方程

為分析質(zhì)點(diǎn)應(yīng)變，過無限接近的兩點(diǎn)A和G作一微體。變形后，A點(diǎn)移至A’點(diǎn)，G點(diǎn)移至G’點(diǎn)，A點(diǎn)的位移矢量在各坐標(biāo)軸上的分量為u、v、w

,而G點(diǎn)位移分量為u+du、v+dv、w+dw。A’點(diǎn)與G’點(diǎn)的坐標(biāo)如圖4-21所示。圖4-21微體的變形

為便于分析，將變形前后微體投影于各坐標(biāo)軸平面。圖4-22示出其在XOY面上的投影ABCD的變形情形。由圖可見，原長dx的AB邊，在x方向的正應(yīng)變?yōu)椋?/p>

圖4-22微體在XOY面上的投影

AB邊在XOY面內(nèi)的轉(zhuǎn)角，考慮到與1相比為微小量可忽略，故有：

同理：

研究微體另外兩個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)的應(yīng)變幾何關(guān)系，可有：

（4-13）

式（4-13）稱為小變形幾何方程，是求解塑性成形問題的重要基本方程。

六、應(yīng)變連續(xù)方程討論：

1.物理意義：表示各應(yīng)變分量之間的相互關(guān)系“連續(xù)協(xié)調(diào)”即變形體在變形過程中不開裂，不堆積；

2.應(yīng)變協(xié)調(diào)方程說明：同一平面上的三個(gè)應(yīng)變分量中有兩個(gè)確定，則第三個(gè)也就能確定；在三維空間內(nèi)三個(gè)切應(yīng)變分量如果確定，則正應(yīng)變分量也就可以確定；

3.如果已知位移分量，則按幾何方程求得的應(yīng)變分量自然滿足協(xié)調(diào)方程；若是按其它方法求得的應(yīng)變分量，則必須校驗(yàn)其是否滿足連續(xù)性條件。七、應(yīng)變增量和應(yīng)變速率張量全量應(yīng)變與增量應(yīng)變的概念前面所討論的應(yīng)變是反映單元體在某一變形過程終了時(shí)的變形大小，稱作全量應(yīng)變增量應(yīng)變張量應(yīng)變速率張量設(shè)某一瞬間起dt時(shí)間內(nèi)，產(chǎn)生位移增量dUi，則應(yīng)有dUi=Vidt。其中Vi為相應(yīng)位移速度。代入增量應(yīng)變張量，有：令即為應(yīng)變速率張量八、塑性加工中常用的變形量計(jì)算方法絕對變形量

——指工件變形前后主軸方向上尺寸的變化量相對變形

——指絕對變形量與原始尺寸的比值，常稱為形變率真實(shí)變形量

——即變形前后尺寸比值的自然對數(shù)九、有限變形無限小變形問題小位移：位形變化無限小，平衡方程建立在變形前、變形后的位形上誤差很小小應(yīng)變：應(yīng)變無限小，幾何方程忽略高階項(xiàng)，只保留線性項(xiàng)有限變形問題有限位移：變形后的平衡位置遠(yuǎn)離初始位形，平衡方程、邊界條件需要建立在變形后的平衡位置有限應(yīng)變：幾何方程不能忽略高階項(xiàng)，在變形前、變形后的位形上重新定義應(yīng)變、應(yīng)力第三節(jié)

平面問題和軸對稱問題一、平面應(yīng)力問題

應(yīng)力分量與某一坐標(biāo)無關(guān)。平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力摩爾圓。平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力摩爾圓如圖純剪應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力摩爾圓

在兩相應(yīng)力狀態(tài)中有一種“純剪”狀態(tài)，它的特點(diǎn)是在主剪平面上的正應(yīng)力為零，所示。按上述方法作出純剪狀態(tài)的應(yīng)力莫爾圓所示。由圖可以看出，純剪應(yīng)力τ

就是最大剪應(yīng)力，主軸與坐標(biāo)軸成45°角，主應(yīng)力的特點(diǎn)是σ1=σ2

。平面應(yīng)力狀態(tài)力平衡微分方程平面應(yīng)力狀態(tài)的力平衡微分方程：二、平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力狀態(tài)的力平衡微分方程：

在塑性成形中經(jīng)常遇到旋轉(zhuǎn)體。當(dāng)旋轉(zhuǎn)體承受的外力為對稱于旋轉(zhuǎn)軸的分布力而且沒有周向力時(shí)，則物體內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)就處于軸對稱應(yīng)力狀態(tài)。一般采用圓柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)。三、軸對稱問題用圓柱坐標(biāo)時(shí)的應(yīng)力張量為：用圓柱坐標(biāo)時(shí)的平衡微分方程為：一、屈服準(zhǔn)則的基本概念

1.Conceptofyieldcriterion第四節(jié)屈服準(zhǔn)則材料的屈服與屈服準(zhǔn)則

Yieldandyieldcriterionofmaterial材料的屈服材料在外力的作用下由彈性狀態(tài)進(jìn)入塑性狀態(tài)，稱為材料的屈服。屈服準(zhǔn)則在一定的變形條件下，當(dāng)各應(yīng)力分量之間滿足一定關(guān)系時(shí)，質(zhì)點(diǎn)才開始進(jìn)入塑性狀態(tài)，這種關(guān)系稱為屈服準(zhǔn)則，又稱為塑性條件。屈服函數(shù)彈性狀態(tài)塑性狀態(tài)實(shí)際變形中不存在

有關(guān)屈服函數(shù)的討論

Discussiononyieldfunction關(guān)于材料性質(zhì)的基本概念

Conceptonmaterialpropertiesb理想彈塑性a實(shí)際金屬材料②①d彈塑性硬化c理想剛塑性e剛塑性硬化真實(shí)應(yīng)力真實(shí)應(yīng)變有物理屈服點(diǎn)無明顯物理屈服點(diǎn)1、實(shí)際金屬材料在比例極限以下2、金屬在慢速熱變形時(shí)3、金屬在冷變形時(shí)4、金屬在冷變形屈服平臺部分實(shí)際對材料模型的處理

Actualmaterialmodel理想彈性材料理想塑性材料彈塑性硬化材料理想塑性二、Tresca屈服準(zhǔn)則

Trescayieldcriterion屈雷斯加屈服準(zhǔn)則屈雷斯加屈服準(zhǔn)則的內(nèi)容(1864)

DefinitionofTrescayieldcriterion當(dāng)材料中的最大切應(yīng)力達(dá)到某一定值時(shí)，材料就屈服。又稱為最大切應(yīng)力不變條件。材料單向拉伸時(shí)的應(yīng)力Stressofuniaxialstretch屈雷斯加屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式MathematicalrepresentationofTrescayieldcriterion單向拉伸時(shí)的Tresca屈服準(zhǔn)則

Trescayieldcriterioninuniaxialstretchtest如果不知主應(yīng)力大小順序，則屈雷斯加表達(dá)式為任意應(yīng)力狀態(tài)下的Tresca屈服準(zhǔn)則

Trescayieldcriterionofanystressstate屈雷斯加屈服準(zhǔn)則可寫成平面變形狀態(tài)的Tresca屈服準(zhǔn)則

Trescayieldcriterionofplanestrainstate或者三、

Mises屈服準(zhǔn)則

Misesyieldcriterion米塞斯/米席斯屈服準(zhǔn)則Mises屈服準(zhǔn)則的內(nèi)容(1913)

ContentsofMisesyieldcriterion

在一定的塑性變形條件下，當(dāng)受力物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力偏張量的第二不變量達(dá)到某一定值時(shí)，該點(diǎn)就進(jìn)入塑性狀態(tài)。單向拉伸

幾種應(yīng)力狀態(tài)下的Mises屈服準(zhǔn)則

Misesyieldcriterionofseveralstressstates純切應(yīng)力狀態(tài)

Mises屈服準(zhǔn)則下單向拉伸屈服強(qiáng)度與剪切屈服強(qiáng)度的關(guān)系Mises屈服準(zhǔn)則的等效形式Mises屈服準(zhǔn)則與等效應(yīng)力

Misesyieldcriterionandequivalentstress1、相同點(diǎn)

1)屈服準(zhǔn)則的表達(dá)式都和坐標(biāo)的選擇無關(guān)，等式左邊都是不變量的函數(shù)。2)三個(gè)主應(yīng)力可以任意置換而不影響屈服，拉應(yīng)力和壓應(yīng)力作用是一樣的。3)各表達(dá)式都和應(yīng)力球張量無關(guān)。2、不同點(diǎn)

屈雷斯加屈服準(zhǔn)則未考慮中間應(yīng)力使用不方便米塞斯屈服準(zhǔn)則考慮中間應(yīng)力使用方便Tresca、Mises屈服準(zhǔn)則的比較

ComparisonofTresca&MisesYieldCriterion變形體單位體積內(nèi)的總彈性變形能1924年漢基（H.Hencky）在一定的變形條件下，當(dāng)材料的單位體積形狀改變的彈性變形能達(dá)到某一常數(shù)時(shí)，材料開始屈服。Mises屈服準(zhǔn)則的物理意義(P109)

PhysicalmeaningofMiesesYC體積變化引起的單位體積彈性變形能形狀變化引起的單位體積彈性變形能

Deformationenergyperunitvolumeinducedbyshapechange形狀變化引起的單位體積彈性變形能廣義胡克定律Mises屈服準(zhǔn)則又稱為能量準(zhǔn)則或能量條件Mises屈服準(zhǔn)則的能量性質(zhì)

EnergypropertyofMisesyieldcriterion應(yīng)力偏張量第二不變量的能量性質(zhì)等效應(yīng)力的能量性質(zhì)Mises屈服準(zhǔn)則的能量性質(zhì)形狀變化引起的單位體積彈性變形能例題p2rtzp一兩端封閉的薄壁圓筒，半徑為r，壁厚為t，受內(nèi)壓力p的作用，試求此圓筒產(chǎn)屈服時(shí)的內(nèi)壓力p。（設(shè)材料單向拉伸時(shí)的屈服應(yīng)力為）解：先求各應(yīng)力分量（在內(nèi)表面）（在外表面）例題外表面的屈服條件1）由Mises屈服準(zhǔn)則例題2）由Tresca屈服準(zhǔn)則兩種屈服準(zhǔn)則所算出氣壓的大小比較？四、屈服準(zhǔn)則的幾何描述

Geometricalrepresentationofyieldcriterion屈服表面與屈服軌跡Yieldsurfaceandyieldlocus主應(yīng)力坐標(biāo)系下應(yīng)力對等傾線的分解

Stressdecomposedtoisoclineinprincipalstresscoordinates在等傾線上分解出了靜水應(yīng)力矢量等傾線定義任意應(yīng)力矢量在等傾線上的分量應(yīng)力對等傾線垂面的分解

Stressdecomposedtoorthogonalplaneofisocline在等傾線垂面上分解出等效應(yīng)力、應(yīng)力偏量由等傾線垂面內(nèi)應(yīng)力分量表示的屈服條件

YieldconditionsrepresentedinthestresscomponentontheorthogonalplaneofisoclineMises屈服準(zhǔn)則與PM長度的關(guān)系點(diǎn)屈服以O(shè)M為軸心、以為半徑的空間曲面Mises屈服表面圓Tresca屈服準(zhǔn)則在主應(yīng)力空間的幾何表述

GeometricalrepresentationofTrescayieldcriterioninprincipalstressspaceTresca屈服準(zhǔn)則兩個(gè)互相平行平面之間的區(qū)域平面和與直線的距離同理適用于其它兩對表面在主應(yīng)力坐標(biāo)系中的幾何意義Mises、Tresca屈服表面的關(guān)系

RelationofMisesyieldsurfaceandTrescayieldsurface三對Tresca屈服區(qū)域的交集是一正六棱柱。Tresca正六棱柱的邊長Tresca正六棱柱的中心軸線Mises屈服表面的半徑Mises屈服表面的中心軸線Tresca屈服表面內(nèi)接于Mises屈服表面。Mises、Tresca屈服表面的關(guān)系屈服表面的幾何意義

Geometricalmeaningofyieldsurface若主應(yīng)力空間中一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)矢量的端點(diǎn)位于屈服表面，則該點(diǎn)處于塑性狀態(tài)；若在屈服表面內(nèi)部，則處于彈性狀態(tài)。對于理想塑性材料，應(yīng)力狀態(tài)矢量的端點(diǎn)不能在屈服表面之外。兩向應(yīng)力狀態(tài)下的屈服方程

Theyieldequationatbidirectionalstressstate橢圓內(nèi)接于橢圓的六邊形Mises屈服表面Tresca屈服表面兩向應(yīng)力狀態(tài)下的屈服軌跡

YieldlocusatbidirectionalstressstateTresca屈服表面Mises屈服表面σ2σ3σ10ABCDEFGHIJKI1C1NL兩向應(yīng)力狀態(tài)下的屈服軌跡

YieldlocusatbidirectionalstressstateBDHJACEGIKFLP重合點(diǎn)與差別最大點(diǎn)平面上的屈服軌跡op純剪切線

π平面上的屈服軌跡

Yieldlocusonπplane在主應(yīng)力空間中，通過坐標(biāo)原點(diǎn)并垂直于等傾線ON的平面稱為平面。平面平面上應(yīng)力狀態(tài)的特點(diǎn)屈服軌跡的幾何意義

Geometricalmeaningofyieldlocus若兩向主應(yīng)力平面中一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)矢量的端點(diǎn)位于屈服軌跡內(nèi)部，則該點(diǎn)處于彈性狀態(tài)；若在屈服軌跡上，則處于塑性狀態(tài)。對于理想塑性材料，應(yīng)力狀態(tài)矢量的端點(diǎn)不能在屈服軌跡之外。五、屈服準(zhǔn)則

的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與比較Testonyieldcriterions羅德(Lode)屈服準(zhǔn)則實(shí)驗(yàn)1926

Lode’stestonyieldcriterions薄壁圓管拉伸膨脹羅德(Lode)參數(shù)

LodeparameterTresca準(zhǔn)則Mises準(zhǔn)則Lode參數(shù)羅德(Lode)實(shí)驗(yàn)(1926)

Lodetest鋼銅鎳1.301.251.201.151.101.051.0012-1.0-0.6-0.20.200.60.40.81.0-0.8-0.4Lode實(shí)驗(yàn)資料(1926)1—米塞斯準(zhǔn)則2—屈雷斯加準(zhǔn)則泰勒-奎乃屈服準(zhǔn)則實(shí)驗(yàn)1931

Taylor-Quinneyyieldcriteriontest薄壁圓管拉伸扭轉(zhuǎn)Drawingandtorsionofthinwalltube泰勒(Taylor)與奎乃(Quinney)實(shí)驗(yàn)(1931)Tresca準(zhǔn)則Mises準(zhǔn)則Taylor-Quinney實(shí)驗(yàn)結(jié)果鋼銅鋁0.10.20.30.40.50.600.10.20.30.40.50.60.70.80.91.021

Taylor及Quinney實(shí)驗(yàn)資料(1931)1-Mises準(zhǔn)則2-Tresca準(zhǔn)則關(guān)于屈服準(zhǔn)則的一般結(jié)論

Generalconclusions1)多數(shù)金屬符合Mises屈服準(zhǔn)則2)當(dāng)主應(yīng)力大小已知時(shí)，Tresca屈服函數(shù)是線性的，使用起來方便。用修正系數(shù)表示中間應(yīng)力的影響，Mises屈服準(zhǔn)則可寫成簡記為應(yīng)力修正系數(shù)簡化的能量條件六、應(yīng)變硬化材料的屈服準(zhǔn)則

Yieldcriterionofstrainhardeningmaterials應(yīng)變硬化材料的屈服準(zhǔn)則

Yieldcriterionofstrainhardeningmaterials

初始屈服服從上述屈服準(zhǔn)則硬化后，屈服準(zhǔn)則發(fā)生變化（變形過程每一刻都在變化）其軌跡或表面稱為后繼屈服表面或后續(xù)屈服軌跡。

初始屈服軌跡后繼屈服軌跡各向同性應(yīng)變硬化材料的后繼屈服軌跡各向同性硬化，即等向強(qiáng)化：1)：材料硬化后仍保持各向同性2）應(yīng)變硬化后屈服軌跡的中心位置和形狀不變屈服準(zhǔn)則的一般表述對于應(yīng)變硬化材料，應(yīng)力狀態(tài)有三種不同的情況：加載卸載中性變載應(yīng)變硬化中的加載卸載條件

Loadingandunloadingconditionsofstrainhardening引言

本章則要討論應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)之間的關(guān)系。這種關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式也稱物理方程，它也是求解彈性或塑性問題的補(bǔ)充方程。對于理想彈性材料，應(yīng)力與全量應(yīng)變之間有確定的關(guān)系，這就是廣義虎克定律。在塑性變形時(shí)，主要研究應(yīng)力和應(yīng)變增量或應(yīng)變速率之間的關(guān)系。這種關(guān)系叫做增量理論，也稱流動理論，其中包括密席斯方程、塑性流動方程和勞斯方程等，前兩者適應(yīng)于理想剛塑性材料，后者適用于彈塑性材料。在小塑性變形時(shí)，在外載荷按比例增加等條件下，物體內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)內(nèi)容能夠做到簡單加載（各應(yīng)力分量按比例增加），這時(shí)也可以建立起應(yīng)力和全量應(yīng)變之間的關(guān)系，這種關(guān)系叫全理論量，也叫形變理論。第五節(jié)塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系一、彈性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

一）、廣義虎克定律單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系就是熟知的虎克定律將它推廣到一般應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的各向同性材料，就叫廣義虎克定律：E-彈性模數(shù)；υ-泊松比；G-剪切模數(shù)，G=E/2（1+υ）。上式相加可得彈性體積變化和平均應(yīng)力也即靜水應(yīng)力的關(guān)系彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系同理彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系塑性變形時(shí)假設(shè)比例系數(shù)為未知,并求之.

廣義虎克定律的張量表達(dá)式：進(jìn)行整理得：屈服時(shí)的彈性變形能為,這就是密席斯屈服準(zhǔn)則的物理意義。二）、彈性變形能物體在外力作用下產(chǎn)生彈性變形，如物體保持平衡且無溫度變化，則外力所做的功將全部轉(zhuǎn)換成彈性勢能。單位體積中的彈性能等于各個(gè)對應(yīng)的應(yīng)力、應(yīng)變分量乘積之和的一半，即:

二、塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn)

彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系具有如下特點(diǎn)：1）應(yīng)力與應(yīng)變成線形關(guān)系；2）由于彈性變形是可逆的，所以應(yīng)力與應(yīng)變之間是單值關(guān)系；3）應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合；4）應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生彈性體積變化，所以泊松υ<0.5。

塑性變形時(shí)全量應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系則完全不同：1）塑性變形可以認(rèn)為體積不變。應(yīng)變球張量為零，泊松比

υ=0.5；2）應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系是非線性的；3）全量應(yīng)變與應(yīng)力的主軸不一定重合；4）塑性變形是不可恢復(fù)的，應(yīng)力與應(yīng)變之間沒有一般的單值關(guān)系，而是與加載歷史或應(yīng)變路線有關(guān)。三、增量理論（流動理論）

增量理論又稱流動理論，是描述材料處于塑性狀態(tài)時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變增量或應(yīng)變速率之間關(guān)系的理論，它是針對加載過程中的每一瞬間的應(yīng)力狀態(tài)所確定的該瞬間的應(yīng)變增量，這樣就撇開了加載歷史的影響。

1)列維-密席斯方程該理論包含以下假定：（1）材料是理想剛塑性材料，也即彈性應(yīng)變增量為零，塑性應(yīng)變增量就是總的應(yīng)變增量。（2）材料符合密席斯屈服準(zhǔn)則；（3）塑性變形時(shí)體積不變，即;

(4)應(yīng)力主軸和應(yīng)變增量的主軸重合；（5）應(yīng)變增量和應(yīng)力偏張量成正比，即;式中dλ為瞬時(shí)的非負(fù)比例系數(shù)，它在變形過程中是變化的，但在卸載時(shí)，dλ=0。上式就是密席斯方程的關(guān)鍵性的表達(dá)式。1/2就是體積不變時(shí)的泊松比。

2)應(yīng)力-應(yīng)變速率方程（圣維南塑性流動方程）

由dεij/dt=σ′ijdλ/dt可得應(yīng)力-應(yīng)變速率方程也可以寫成:

3)普郎特-勞斯方程

:分析上式可知，如dεij為已知，則應(yīng)力張量σij是確定的，但對于理想塑性材料，仍然不能由σij求得確定的dεij值。對于硬化材料，變形過程每瞬時(shí)的dλ是定植，因此，勞斯方程中的dεij和σij之間完全是單值關(guān)系。

四、全量理論（形變理論）

在簡單加載時(shí)，也即各應(yīng)力分量按同一比例增加時(shí)，應(yīng)力主軸的方向?qū)⒐潭ú蛔?。由于?yīng)變增量的主軸是和應(yīng)力重合的，所以它的主軸也將始終不變，這種變形也稱簡單變形。在這種條件下，可以對勞斯方程進(jìn)行積分得到全量應(yīng)變和應(yīng)力之間的關(guān)系，叫做全量理論。所以得到以下的漢基方程和全量方程：平面變形時(shí),

在上述各種理論中，勞斯方程是普遍適應(yīng)的，在彈性變形可以忽略的情況下，密席斯方程和塑性流動方程也是普遍適應(yīng)的。它們也可以推廣到硬化材料。在塑性成形中由于難以保證簡單加載，所以一般都采用增量理論其中主要是密席斯方程或流動方程。但應(yīng)指出，塑性成形理論中很重要的問題之一是求變形力，這時(shí)一般只須研究變形過程中某一特定瞬間的極其短暫的變形，如果我們以變形體在該瞬時(shí)的形狀、尺寸及性能作為原始狀態(tài)，那么小變形全量理論和增量理論可以認(rèn)為是一致的。當(dāng)時(shí)，為拉應(yīng)變；時(shí)，為壓應(yīng)變；時(shí)，為平面應(yīng)變狀態(tài)。當(dāng)當(dāng)五、應(yīng)變與應(yīng)力順序的對應(yīng)關(guān)系

應(yīng)變與應(yīng)力順序的對應(yīng)關(guān)系

塑性變形應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系

六、屈服橢圓圖形上的盈利分區(qū)及其與塑性成形時(shí)工件尺寸變化的關(guān)系在研究塑性變形時(shí)，必須考慮卸載問題。卸載過程：彈性變形恢復(fù)，塑性變形保持不變。以單向拉伸為例：拉伸：開始→OAB應(yīng)力應(yīng)變卸載：B→C應(yīng)力應(yīng)變殘余應(yīng)變與應(yīng)力：卸載時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變符合彈性變形規(guī)律，即即：——開始卸載時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變——卸載終了時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變七、卸載問題非線性彈性體與塑性體卸載特點(diǎn)比較：一、基于拉伸實(shí)驗(yàn)確定真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線條件：室溫，應(yīng)變速率<10-3/s，退火狀態(tài)低碳鋼，準(zhǔn)靜力拉伸試驗(yàn)1、標(biāo)稱應(yīng)力（名義應(yīng)力、條件應(yīng)力）-應(yīng)變曲線標(biāo)稱應(yīng)力：相對線應(yīng)變：

P——拉伸載荷；

A0——試樣原始橫截面積

l0——試樣標(biāo)距的原始長度Δl——試樣標(biāo)距的伸長量第七節(jié)真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線基于拉伸實(shí)驗(yàn)確定真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線1、標(biāo)稱應(yīng)力（名義應(yīng)力、條件應(yīng)力）-應(yīng)變曲線標(biāo)稱應(yīng)力-應(yīng)變曲線上的三個(gè)特征點(diǎn)oc(彈性變形階段）——cb(均勻塑性變形階段）——bk（局部塑性變形階段）屈服點(diǎn)c:彈性變形與均勻塑性變形的分界點(diǎn)，對應(yīng)應(yīng)力為屈服點(diǎn)，或屈服強(qiáng)度基于拉伸實(shí)驗(yàn)確定真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線1、標(biāo)稱應(yīng)力（名義應(yīng)力、條件應(yīng)力）-應(yīng)變曲線標(biāo)稱應(yīng)力-應(yīng)變曲線上的三個(gè)特征點(diǎn)oc(彈性變形階段）——cb(均勻塑性變形階段）——bk（局部塑性變形階段）縮頸點(diǎn)b:均勻塑性變形和局部塑性變形的分界點(diǎn)，載荷達(dá)到最大值，開始出現(xiàn)縮頸，對應(yīng)應(yīng)力為抗拉強(qiáng)度基于拉伸實(shí)驗(yàn)確定真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線1、標(biāo)稱應(yīng)力（名義應(yīng)力、條件應(yīng)力）-應(yīng)變曲線標(biāo)稱應(yīng)力-應(yīng)變曲線上的三個(gè)特征點(diǎn)oc(彈性變形階段）——cb(均勻塑性變形階段）——bk（局部塑性變形階段）破壞點(diǎn)k:試樣發(fā)生斷裂，是單向拉伸塑性變形的終止點(diǎn)?；诶鞂?shí)驗(yàn)確定真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線1、標(biāo)稱應(yīng)力（名義應(yīng)力、條件應(yīng)力）-應(yīng)變曲線產(chǎn)生縮頸后，雖然載荷下降，但橫截面面積急劇下降，所以標(biāo)稱應(yīng)力σ并不反映單向拉伸時(shí)試樣橫截面上的實(shí)際應(yīng)力。同樣，相對應(yīng)變也并不反映單向拉伸變形瞬時(shí)的真實(shí)應(yīng)變，因試樣標(biāo)距長度存拉伸變形過程中是不斷變化的。所以，標(biāo)稱應(yīng)力—應(yīng)變曲線不能真實(shí)地反映材料在塑性變形階段的力學(xué)特征?；诶鞂?shí)驗(yàn)確定真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線2、真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線分類真實(shí)應(yīng)力，簡稱真應(yīng)力，也就是瞬時(shí)的流動應(yīng)力Y，用單向均勻拉伸(或壓縮)時(shí)各加載瞬間的載荷P與該瞬間試樣的橫截面積A之比來表示，則真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線可分為三類：基于拉伸實(shí)驗(yàn)確定真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線2、真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的繪制Y-ε曲線，Y-ψ曲線：以σ-ε曲線為基礎(chǔ)由及算出Y、ψ基于拉伸實(shí)驗(yàn)確定真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線2、真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線Y-∈曲線a．求出屈服點(diǎn)σs(一般略去彈性變形)b．找出均勻塑性變形階段各瞬間的真實(shí)應(yīng)力Y和對數(shù)應(yīng)變∈或基于拉伸實(shí)驗(yàn)確定真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線2、真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線Y-∈曲線c.找出斷裂時(shí)的真實(shí)應(yīng)力Yk'及其對應(yīng)的對數(shù)應(yīng)變∈k'或Ak'—試樣斷裂處的橫截面面積（直接測量出）。d.在Y-∈坐標(biāo)平面內(nèi)確定出Y-