預(yù)備知識(shí)-行列式1

預(yù)備知識(shí)（行列式）

內(nèi)容

行列式的定義行列式的性質(zhì)行列式的展開克萊姆法則綜合練習(xí)行列式的定義

a11a12a21a22a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22-a12a21=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31即所有可能項(xiàng)可表示為：a1

p1.a2

p2.a3

p3行列式的定義

【定義1】對(duì)于兩個(gè)自然數(shù)，如果大的排在前面，小的排在后面，則稱這兩個(gè)自然數(shù)之間有一個(gè)“逆序”。例如：排列“34152”的逆序數(shù)為：0+0+2+0+3=5

排列“53926”的逆序數(shù)為：0+1+0+3+1=5【定義2】一個(gè)排列中所有“逆序”的總和稱為“逆序數(shù)”（τ）。行列式的定義

【定義3】逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為“奇排列”，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為“偶排列”。對(duì)于三階行列式：

正符號(hào)：前三行列標(biāo)為123（0）、231（2）、312（2）—偶排列負(fù)符號(hào)：后三行列標(biāo)為132（1）、213（1）、321（3）—奇排列a11a12a13a21a22a23a31a32a33=∑（－1）τa1

p1.a2

p2.a3

p3行列式的定義

下面，將上述情況推廣到n階行列式?！径x4】有n2個(gè)數(shù)aij（i，j=1，2，3，…，n），將它們排列成

n行n列的數(shù)，即：a11a12a13…a1na21a22a23…a2n……an1an2an3…ann行列式的定義

（1）作出表中不同行、不同列的n個(gè)數(shù)的乘積：a1

p1.a2p2.a3

p3…an

pn（2）每個(gè)乘積前所帶的符號(hào)由排列p1p2p3…pn

的逆序數(shù)τ決定，即為：（-1）τa1p1.a2

p2.a3p3…an

pn（3）將n!這種數(shù)的代數(shù)和：∑（-1）τa1

p1.a2

p2.a3

p3…an

pn

稱為“n階行列式”，記為：a11a12a13…a1na21a22a23…a2n……an1an2an3…annDn==∑（-1）τa1

p1.a2

p2.a3

p3…an

pn

=∑（-1）τap1

1.ap2

2.ap3

3…apn

n行列式的定義——特殊的行列式λ1λ2λ3…λn對(duì)角行列式Dn==λ1.λ2.λ3….λn

Dn==（-1）n(n-1)/2λ1.λ2.λ3….λnλ1λ2λ3…λn行列式的定義——特殊的行列式a11a12a13…a1na22a23…a2na33…a3n

…ann三角行列式Dn==a11.a22.a33….ann

Dn==a11.a22.a33….anna11a21a22a31a32a33……an1an2an3…ann上（下）三角行列式的值與對(duì)角行列式相等

行列式的性質(zhì)a11a12a13…a1na21a22a23…a2na31a32a33…a3n……………an1an2an3ann（1）行列式與其轉(zhuǎn)置的行列式相等。Dn=Dn’=a11a21a31…an1a12a22a32…an2a13a23a33…an3……………a1na2na3n…annDn=Dn’行列式的性質(zhì)a11a12a13…a1na21a22a23…a2n……kai1kai2kai3…kain……an1an2an3…ann（2）用K乘上行列式中的某行（或某列），等于K乘上該行列式。Dn==Ka11a12a13…a1na21a22a23…a2n……ai1ai2ai3…ain……an1an2an3…ann行列式的性質(zhì)a11a12ka13…a1na21a22ka23…a2n……ai1ai2kai3…ain……an1an2kan3…ann或：Dn==Ka11a12a13…a1na21a22a23…a2n……ai1ai2ai3…ain……an1an2an3…ann【推論1】行列式中某行（或某列）的所有公因子均可提到行列式符號(hào)的外面。【推論2】若行列式中某行（或某列）的所有元素皆為零，則該行列式等于零。行列式的性質(zhì)a11a12a13…a1na21a22a23…a2n……bi1+ci1bi2+ci2bi3+ci3…bin+cin……an1an2an3…ann（3）若行列式中某行（或某列）的所有元素皆為兩數(shù)之和，則該行列式等于兩個(gè)行列式之和。Dn=行列式的性質(zhì)a11a12a13…a1na21a22a23…a2n……bi1bi2bi3…bin……an1an2an3…ann=+a11a12a13…a1na21a22a23…a2n……ci1ci2ci3…cin……an1an2an3…ann行列式的性質(zhì)a11a12…b1j+c1j…a1na21a22…b2j+c2j…a2n……ai1ai2…bij+cij…ain……an1an2…bn

j+cnj…ann或：Dn=行列式的性質(zhì)a11a12…b1j…a1na21a22…b2j…a2n……ai1ai2…bij…ain……an1an2…bnj…ann=+a11a12…c1j…a1na21a22…c2j…a2n……ai1ai2…cij…ain……an1an2…cnj…ann上面兩個(gè)公式也可以推廣到多個(gè)元素之和行列式的性質(zhì)（4）若互換行列式的兩行（或兩列），則行列式變號(hào)?；Qi、j兩行，記為：ri←→rj

互換i、j兩列，記為：ci←→cj【推論1】如果行列式有兩行（或兩列）的元素完全相同，則該行列式等于零?！就普?】如果行列式有兩行（或兩列）的元素成比例，則該行列式等于零。行列式的性質(zhì)a11a12a13…a1n……ai1ai2ai3…ain……aj1aj2aj3…ajn……an1an2an3…ann（5）若用數(shù)值k乘行列式某行（或某列）的所有元素，加到另一行（或另一列）的對(duì)應(yīng)元素之上，則行列式值不變a11a12a13…a1n……ai1+kaj1ai2+kaj2ai3+kaj3…ain+

kajn……aj1aj2aj3…ajn……an1an2an3…ann=行列式的性質(zhì)1021011-1-1120-20111021011-1014100531021011-100320053利用上述性質(zhì)可以簡化行列式的計(jì)算。如：r1←→r2011-11021-1120-20111021011-10032000-1/3D=-r3+r1r4+2r1r3-r2r4-5/3r3---=1行列式按行（或列）展開

a11a12a13a21a22a23a31a32a33（以低階行列式來表示高階行列式）【定義5】在n階行列式Dn中，劃去元素aij所在的第i行和第j列所在的元素，剩下的元素按原來的次序構(gòu)成一個(gè)n-1階行列式Dn-1，該行列式稱為“元素aij的余子式”，記為“Mij”，而稱Aij

=（-1）i+j

Mij為“元素aij的代數(shù)余子式”?！祭纭紻=

余子式：M11=a22a23a32a33M23=a11a12a31a32代數(shù)余子式：A11=（-1）1+1M11=M11，A23=（-1）2+3M23=-M23

行列式按行（或列）展開

21-3-13107-124-210-15【定理】（行列式展開定理）行列式等于它的任一行（或任一列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。即：

D=ai1

Ai1

+ai2

Ai2+ai3

Ai3+…+ain

Ain

或：D=a1jA1j+a2j

A2j+a3j

A3j

+…+anj

Anj〖應(yīng)用〗D=21-1-11313-8-12331000C3+C1C4-5C1按4行展開行列式按行（或列）展開

1-1-1113-82331-1-11043052543525r2-r1r3-2r1（-1）4+1按1列展開--（-1）1+1=-85【推論】行列式任一行（或任一列）的元素與另一行（或另一列）對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即：

D=ai1Aj1+ai2Aj2+ai3Aj3+…+ain

Ajn

（i≠j）或：D=a1iA1j+a2iA2j+a3iA3j+…+ani

Anj

（i≠j）克萊姆法則

（應(yīng)用n階行列式的理論來解n個(gè)變量、n個(gè)方程的線性方程組）【定義6】若變量X1、X2、X3、…、Xn

有n個(gè)線性方程組：a11X1+a12X2+a13X3+…+a1nXn=b1a21X1+a22X2+a23X3+…+a2nXn=b2……an1X1+an2X2+an3X3+…+annXn

=bn則稱由它的系數(shù)aij組成的n階行列式：a11a12a13…a1na21a22a23…a2n……an1an2an3…annD

=為該方程組的“系數(shù)行列式”。如果方程組右邊的常數(shù)項(xiàng)均為零，則稱對(duì)應(yīng)的方程組為“齊次線性方程組”?？巳R姆法則

【定理】（克萊姆法則）如果線性方程組的系數(shù)行列式D不等于零，則方程組有唯一的解。即：X1=D1/D，X2=D2/D，X3=D3/D，…，Xn

=Dn/DDj=其中，Dj（j=1，2，3…，n）是將D的第j列元素a1j，a2j，a3j，…anj

分別換成常數(shù)項(xiàng)b1，b2，b3，…，bn所得到的n階行列式，即：a11a12…a1(j-1)b1a1(j+1)…a1na21a22…a2(j-1)b2a2(j+1)…a2na31a32…a3(j-1)b3a3(j+)…a3n………an1an2…an(j-1)bnan(j+1)…ann克萊姆法則

2115221054281166221375422815662101374

〖應(yīng)用〗

求下述方程組的解：D=2X1+X2+X3=285X1+2X2+2X3=6610X1+5X2+4X3=13721285266105137=16+20+25–20-20–20=1≠0。方程有解！D1=D2=D3==10=5=3X1=D1/D=10，X2=D2/D=5，X3=D3/D=3克萊姆法則

【推論】當(dāng)系數(shù)行列式D不等于零時(shí)，則齊次線性方程組只有唯一的零解。（因?yàn)楫?dāng)b1=b2=b3…=bn

=0時(shí)，D1=D2=D3…=Dn

=0）反之，如果某一齊次