人教版初中數(shù)學(xué)2011課標(biāo)版九年級上冊第二十二章22.2 二次函數(shù)與一元二次方程2

22.2二次函數(shù)與一元二次方程（第1課時）問題:如圖以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，球的飛行路線將是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有關(guān)系h=20t－5t2考慮以下問題：（1）球的飛行高度能否達到15m？如能，需要多少飛行時間？（2）球的飛行高度能否達到20m？如能，需要多少飛行時間？（3）球的飛行高度能否達到20.5m？為什么？（4）球從飛出到落地需要用多少時間？

所以可以將問題中h的值代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于t的一元二次方程，如果方程有合乎實際的解，則說明球的飛行高度可以達到問題中h的值；否則，說明球的飛行高度不能達到問題中h的值．解：（1）解方程15＝20t－5t2t2－4t＋3=0t1=1，t2=3當(dāng)球飛行1s和3s時，它的高度為15m．分析：由于球的飛行高度h與飛行時間t的關(guān)系是二次函數(shù)h=20t－5t2t1=1st2=3s15m15m（2）解方程20＝20t－5t2t2－4t＋4=0t1=t2=2當(dāng)球飛行2s時，它的高度為20m．t1=2s20m（3）解方程20.5＝20t－5t2t2－4t＋4.1=0因為（－4）2－4×4.1＜0，所以方程無解．球的飛行高度達不到20.5m．20m（4）解方程0＝20t－5t2t2－4t=0t1=0,t2=4當(dāng)球飛行0s和4s時，它的高度為0m，即0s時球從地面發(fā)出，4s時球落回地面．0ｓ４ｓ

從上面可以看出，二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系密切．一般地，我們可以利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c

深入討論一元二次方程ax2+bx+c=0例如，已知二次函數(shù)y=－x2＋4x的值為3，求自變量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反過來，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函數(shù)y=x2－4x+3的值為0，求自變量x的值．小組合作，類比探究問題1：下列二次函數(shù)的圖象與

x軸有公共點嗎？如果有，公共點的橫坐標(biāo)是多少？

y=x

2

-

x+1y=x

2

+

x-2y=x

2

-6x+9y

654321-1-2-3-2-1

1

2

3

4

5

6xO小組合作，類比探究問題2

當(dāng)

x取上述公共點的橫坐標(biāo)時，相應(yīng)的函數(shù)值分別是多少？

y=x

2

-

x+1y=x

2

+

x-2y=x

2

-6x+9y

654321-1-2-3-2-1

1

2

3

4

5

6xO小組合作，類比探究問題3

由二次函數(shù)的圖象，你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎？二次函數(shù)與一元二次方程具有怎樣的聯(lián)系？

x

2

+

x-2=0x

2

-6x+9=0x

2

-

x+1=0y=x

2

-

x+1y=x

2

+

x-2y=x

2

-6x+9y

654321-1-2-3-2-1

1

2

3

4

5

6xO①二次函數(shù)y＝x2＋x－2的圖象與x軸有______個交點，則一元二次方程x2＋x－1＝0的根的判別式Δ______0.2>②二次函數(shù)y＝x2－6x＋9的圖像與x軸有______個公共點，則一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判別式Δ______0.1＝③二次函數(shù)y＝x2－x＋1的圖象與x軸________公共點，則一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判別式Δ______0.無<

歸納：(1)如果拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸有公共點，公共點的橫坐標(biāo)是x0，那么當(dāng)x＝x0

時，函數(shù)的值是____，因此x＝x0

就是方程______________的一個根；反之，一元二次方程的解就是相應(yīng)二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．

0ax2＋bx＋c＝0小組合作，類比探究歸納(2)：2兩1兩00以a>0為例列表如下：歸納(3)：

【例1】已知二次函數(shù)y＝mx2－6x＋1(m是常數(shù))的圖象與x軸只有一個公共點，求m的值．

解：∵二次函數(shù)y＝mx2－6x＋1的圖象與x軸只有一個公共點， ∴二次方程mx2－6x＋1＝0有兩個相等的實數(shù)根． ∴(－6)2－4m＝0且

，解得m＝9.

故m的值為9.變式：把題中“二次”兩字去掉，即題目是：已知函數(shù)y＝mx2－6x＋1(m是常數(shù))的圖象與x軸只有一個公共點，求m的值．【例2】已知拋物線y=2(k+1)x2+4kx+2k-3.

（1）當(dāng)k為何值時，拋物線與x軸有兩個公共點？（2）當(dāng)k為何值時，拋物線與x軸只有一個公共點？（3）當(dāng)k為何值時，拋物線與x軸沒有公共點？【例3】已知拋物線y=x2+mx+m-2．求證：無論m取何值，拋物線總與x軸有兩個交點．【跟蹤訓(xùn)練】C1．函數(shù)y＝x2－2x－1的圖象與x軸的交點個數(shù)有()A．0個B．1個C．2個D．3個2．若拋物線y＝(a－1)x2＋2x＋1與x軸只有一個公共點，則a的值為________．23．若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則m=

，此時拋物線y=x2-2x+m與x軸有

個公共點．4．已知拋物線y=x2-8x+c的頂點在x軸上，則c=

．5．一元二次方程3x2+x-10=0的兩個根是x1=-2，x2=，那么二次函數(shù)y=

3x2+x-10的圖象與x軸的交點坐標(biāo)是

．6．拋物線y=

x2-3x-4與y軸交于點

，與x軸交于點

．1116（-2,0）、（5/3,0）（-1,0）、（4,0）（0，-4）今天我的收獲……一般地，從二次函數(shù)

y=ax

2

+bx+c的圖象可知：

（1）如果拋物線

y=ax

2

+bx+c與

x

軸有公共點，

公共點的橫坐標(biāo)是

x0，那么當(dāng)

x=x0

時，函數(shù)值是

0，

因此

x=

x0

是方程

ax

2

+bx+c=0的一個根．反之，一元二次方程的解就是二次函