241拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

會(huì)計(jì)學(xué)1241拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程生活中存在著各種形式的拋物線第1頁(yè)/共59頁(yè)我們對(duì)拋物線已有了哪些認(rèn)識(shí)？第2頁(yè)/共59頁(yè)yxo

二次函數(shù)是開口向上或向下的拋物線。第3頁(yè)/共59頁(yè)第4頁(yè)/共59頁(yè)問題探究：當(dāng)|MF|=|MH|

，點(diǎn)M的軌跡是什么？探究？

可以發(fā)現(xiàn),點(diǎn)M隨著H運(yùn)動(dòng)的過程中,始終|MF|=|MH|,即點(diǎn)M與點(diǎn)F和定直線l的距離相等.點(diǎn)M生成的軌跡是曲線C的形狀.(如圖)M·Fl·e=1我們把這樣的一條曲線叫做拋物線.第5頁(yè)/共59頁(yè)M·Fl·e=1

在平面內(nèi),與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.點(diǎn)F叫拋物線的焦點(diǎn),直線l叫拋物線的準(zhǔn)線|MF|=dd為M到l的距離準(zhǔn)線焦點(diǎn)d拋物線的定義:想一想在拋物線定義中，若去掉條件“l(fā)不經(jīng)過點(diǎn)F”，點(diǎn)的軌跡還是拋物線嗎？注：當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)F且垂直于定直線l的一條直線；l不經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)的軌跡是拋物線．注：定義可歸結(jié)為“一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，一個(gè)定點(diǎn)F（拋物線的焦點(diǎn)），一條定直線l（拋物線的準(zhǔn)線），一個(gè)定值（點(diǎn)M與點(diǎn)F到定直線l的距離之比為1）.第6頁(yè)/共59頁(yè)2、橢圓、雙曲線的第二定義MM與一個(gè)定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)M的軌跡當(dāng)

時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是橢圓；

當(dāng)_______時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線0<e<1e>1

當(dāng)_______時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是拋物線e=1

HMFl第7頁(yè)/共59頁(yè)如何建立直角坐標(biāo)系？想一想探索研究推出方程求曲線方程的基本步驟·FL第8頁(yè)/共59頁(yè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：M.F.設(shè)|FK|=p(p>0),M(x,y)由拋物線定義知：|MF|=d即：第9頁(yè)/共59頁(yè).，叫作焦點(diǎn)在X軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.說明：

焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，簡(jiǎn)稱焦準(zhǔn)距，故p>0.x它所表示的拋物線的焦點(diǎn)Ｆ在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是（），它的準(zhǔn)線方程是.yoLFp的幾何意義:第10頁(yè)/共59頁(yè)

已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，

求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.

標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程鞏固練習(xí)1第11頁(yè)/共59頁(yè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程:關(guān)鍵：確定P的值反思總結(jié)第12頁(yè)/共59頁(yè).，叫作焦點(diǎn)在X軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.xyoLF一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其它形式.想一想:拋物線的位置及其方程還有沒有其它的形式？第13頁(yè)/共59頁(yè)FlFlFlFl

問題：仿照前面求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，你能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求下列后三幅圖中拋物線的方程嗎?(1)(2)(3)(4)第14頁(yè)/共59頁(yè)

圖

形焦點(diǎn)位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程

不同位置的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程

x軸的正方向

x軸的負(fù)方向

y軸的正方向

y軸的負(fù)方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(----（P＞0）第15頁(yè)/共59頁(yè)06:55:59尋找：區(qū)別與聯(lián)系一、四種形式標(biāo)準(zhǔn)方程的共同特征1、二次項(xiàng)系數(shù)都化成了_______2、四種形式的方程一次項(xiàng)的系數(shù)都含2p1O3、四種拋物線都過____點(diǎn)，且焦點(diǎn)與準(zhǔn)線分別位于此點(diǎn)的兩側(cè).焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為一次項(xiàng)系數(shù)的，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離都是p.第16頁(yè)/共59頁(yè)06:55:591、一次項(xiàng)(X或Y)定焦點(diǎn)2、一次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)定開口方向.

正號(hào)朝正向，負(fù)號(hào)朝負(fù)向。二、四種形式標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)別尋找：區(qū)別與聯(lián)系第17頁(yè)/共59頁(yè)拋物線方程左右型標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=±2px(p>0)開口向右:y2=2px(x≥0)開口向左:y2=-2px(x≤0)標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=±2py(p>0)開口向上:x2=2py(y≥0)開口向下:x2=-2py(y≤0)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程上下型第18頁(yè)/共59頁(yè)1、一次項(xiàng)的變量如為x（或y），則x軸（或y軸）為拋物線的對(duì)稱軸，焦點(diǎn)就在對(duì)稱軸上。2、一次項(xiàng)的系數(shù)符號(hào)決定了開口方向。【小結(jié)】3、拋物線的開口大小取決于p值得大小，p值越大，開口越大.4、注意拋物線方程y2=2px(p>0)與二次函數(shù)y=ax2(a>0)的區(qū)別.第19頁(yè)/共59頁(yè)數(shù)形共同點(diǎn):(1)原點(diǎn)在拋物線上;(2)對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸;(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離均為P；(4)焦點(diǎn)與準(zhǔn)線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

口訣:

對(duì)稱軸要看一次項(xiàng),符號(hào)確定開口方向;

（看x的一次項(xiàng)系數(shù),正時(shí)向右,負(fù)向左;

看y的一次項(xiàng)系數(shù),正時(shí)向上,負(fù)向下.）想一想

求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程時(shí)，關(guān)鍵是求什么？求P！第20頁(yè)/共59頁(yè)練習(xí)：判斷下列拋物線的開口方向、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.方程x2=32yx2=-2yy2=-32xy2=2xy+8x2=0x+8y2=0開口方向向上向下向左向右向下向左焦點(diǎn)坐標(biāo)F（0,8）F（0,-1/2）F（-8,0）F（1/2,0）F（0,-1/32）F（-1/32，0）準(zhǔn)線方程y=-8y=1/2x=8x=-1/2y=1/32x=1/32是一次項(xiàng)系數(shù)的是一次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)第21頁(yè)/共59頁(yè)練習(xí)1：請(qǐng)判斷下列拋物線的開口方向第22頁(yè)/共59頁(yè)練習(xí)2：請(qǐng)判斷下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F(0,8)F(0,)F(-8,0)F(,0)F(0,)F(,0)是一次項(xiàng)系數(shù)的第23頁(yè)/共59頁(yè)練習(xí)3：請(qǐng)判斷下列拋物線的準(zhǔn)線方程F(0,8)F(0,)F(-8,0)F(,0)F(0,)F(,0)是一次項(xiàng)系數(shù)的的相反數(shù)第24頁(yè)/共59頁(yè)▲如何確定各曲線的焦點(diǎn)位置？拋物線：1.看一次項(xiàng)(X或Y)定焦點(diǎn)

2.一次項(xiàng)系數(shù)正負(fù)定開口橢圓：看分母大小雙曲線：看符號(hào)第25頁(yè)/共59頁(yè)P(yáng)58思考：

二次函數(shù)的圖像為什么是拋物線？當(dāng)a>0時(shí)與當(dāng)a<0時(shí)，結(jié)論都為：思考：拋物線方程y2=2px(p>0)與y=ax2(a>0)的區(qū)別.第26頁(yè)/共59頁(yè)06:55:59例1

已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；解:∵2P=6,∴P=3∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（，0）準(zhǔn)線方程是x=是一次項(xiàng)系數(shù)的是一次項(xiàng)系數(shù)的的相反數(shù)第27頁(yè)/共59頁(yè)06:55:59例2已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，-2）求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。解:因?yàn)榻裹c(diǎn)在y的負(fù)半軸上,所以設(shè)所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2py

由題意得，即p=4∴所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-8y第28頁(yè)/共59頁(yè)F（5，0）F（0，-2）x=-5y=2y=-（課本67頁(yè)練習(xí)2）求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：（1）y2=20x（2）x2=y（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0F（0，）x=F（-，0）第29頁(yè)/共59頁(yè)（課本67頁(yè)練習(xí)1）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（1）焦點(diǎn)是（3，0）； （2）準(zhǔn)線方程是x=-；（3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2；y2=12xy2=xy2=4xy2=-4xx2=4yx2=-4y第30頁(yè)/共59頁(yè)題型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為；（2）過點(diǎn)A(2，3)；（3）焦點(diǎn)在直線x－2y－4＝0上；（4）拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的左頂點(diǎn)；（5）拋物線的焦點(diǎn)在x軸，直線y=-3與拋物線交于點(diǎn)A，且【例1】[思路探索]求拋物線方程要先確定其類型，并設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)已知求出系數(shù)p.若類型不能確定，應(yīng)分類討論．第31頁(yè)/共59頁(yè)oF例2：一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如下圖所示。衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處。已知接收天線的徑口（直徑）為4.8m，深度為0.5m。建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)。xyAB4.8m0.5m題型二

拋物線的實(shí)際應(yīng)用第32頁(yè)/共59頁(yè)解：如上圖，在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使接收天線的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合。

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

,由已知條件可得,點(diǎn)A的坐標(biāo)是所以，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是代入方程，得焦點(diǎn)的坐標(biāo)是第33頁(yè)/共59頁(yè)一輛卡車高3m，寬1.6m，欲通過斷面為拋物線型的隧道，已知拱口寬恰好是拱高的4倍，若拱口寬為am，求使卡車通過的a的最小整數(shù)值．OyxBA

【解析】利用方程練習(xí)1：第34頁(yè)/共59頁(yè)

第35頁(yè)/共59頁(yè)跟蹤訓(xùn)練某河上有一座拋物線形的拱橋，當(dāng)水面距拱頂5米時(shí)，水面寬8米，一木船寬4米，高2米，載貨的木船露在水面上的部分為0.75米，當(dāng)水面上漲到與拱頂相距多少時(shí)，木船開始不能通航？解:以橋的拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，拱高所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線的方程是x2＝－2py(p>0)由題意知A(4，－5)在拋物線上，第36頁(yè)/共59頁(yè)跟蹤訓(xùn)練

第37頁(yè)/共59頁(yè)例3點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)的距離比它到直線l:x+2=0的距離小1，求點(diǎn)P的軌跡方程。|PF|+1=|x+2|ly..oxPF解（直接法）：設(shè)P(x，y)，則由已知，得另解(定義法)：由已知，得點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)的距離等于它到直線l:x+1=0的距離.由拋物線定義知：點(diǎn)P的軌跡是以F(1，0)為焦點(diǎn)的拋物線.點(diǎn)P在直線l的左邊，則點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離必大于P到直線l的距離。題型三

與拋物線有關(guān)的軌跡方程即為點(diǎn)P的軌跡方程.即為點(diǎn)P的軌跡方程.第38頁(yè)/共59頁(yè)變式1：點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，求點(diǎn)P的軌跡方程。例3點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)的距離比它到直線l:x+2=0的距離小1，求點(diǎn)P的軌跡方程。題型三

與拋物線有關(guān)的軌跡方程1

第39頁(yè)/共59頁(yè)變式方程

＝|x－y＋3|表示的曲線是(

)A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線解析原方程變形為

，它表示點(diǎn)M(x，y)與點(diǎn)F(－3,1)的距離等于點(diǎn)M到直線x－y＋3＝0的距離.根據(jù)拋物線的定義，知此方程表示的曲線是拋物線.D練習(xí)：過點(diǎn)A（3,0）且與y軸相切的圓的圓心的軌跡為▁▁▁▁▁.第40頁(yè)/共59頁(yè)跟蹤訓(xùn)練若動(dòng)圓與圓(x－2)2＋y2＝1相外切，又與直線x＋1＝0相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡是方程為

.分析動(dòng)圓與定圓相外切，則兩圓的圓心距為兩圓的半徑之和，動(dòng)圓與直線相切，則動(dòng)圓圓心到直線的距離等于動(dòng)圓的半徑，設(shè)動(dòng)圓圓心為M，半徑為r，動(dòng)圓與圓(x－2)2＋y2＝1相外切，則點(diǎn)M到定點(diǎn)(2,0)的距離為r＋1，動(dòng)圓與直線x＝－1相切，則點(diǎn)M到定直線x＝－1的距離是r，所以點(diǎn)M到定點(diǎn)(2,0)和定直線x＝－2的距離相等，故軌跡為拋物線.答案

D第41頁(yè)/共59頁(yè)

題型四

拋物線定義的最值問題例4（1）點(diǎn)A(3,2)為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線y2＝4x上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)|PA|+|PF|取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.（2）點(diǎn)P是拋物線y2＝4x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影點(diǎn)是點(diǎn)M，點(diǎn)A(4,a)，則當(dāng)|a|>4時(shí)，|PA|+|PM|的最小值為

.（3）已知點(diǎn)P是拋物線y2＝4x上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)(1,0),A(4,5),B(4,3),則|PA|+|PF|的最小值為

，|PB|-|PF|的最大值為

，|PB|-|PF|的最小值為

.（4）已知直線l的方程為x-y+4=0,在拋物線y2＝4x上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2,

則d1+d2的最小值為

.（5）拋物線y2＝x和圓C:(x-3)2+y2=1上最近兩點(diǎn)間的距離為

.第42頁(yè)/共59頁(yè)

如圖，已知拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

題型四

拋物線定義的最值問題【例4】[思路探索]解題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義得到|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|，由圖可知當(dāng)A、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)取最小值．解如圖，作PQ⊥l于Q，由定義知，拋物線上點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離d，由圖可知，求|PA|＋|PF|的最小值的問題可轉(zhuǎn)化為求|PA|＋d的最小值的問題．第43頁(yè)/共59頁(yè)規(guī)律方法拋物線的定義在解題中的作用，就是靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的轉(zhuǎn)化，另外要注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如兩點(diǎn)之間線段最短，三角形中三邊間的不等關(guān)系，點(diǎn)與直線上點(diǎn)的連線垂線段最短等．第44頁(yè)/共59頁(yè)練習(xí)：1、拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，A（2,2），試求|MA|+|MF|的最小值.2、拋物線y2＝4x的點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d，點(diǎn)A（2,4），試求|MA|+d的最小值.3、試求拋物線y2＝x和圓（x-3）2+y2＝1上最近兩點(diǎn)間的距離.4、定長(zhǎng)為3的線段AB的端點(diǎn)A,B在拋物線y2＝x上移動(dòng)，求AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值，并求出此時(shí)AB中點(diǎn)的坐標(biāo).第45頁(yè)/共59頁(yè).F第46頁(yè)/共59頁(yè)變式訓(xùn)練已知點(diǎn)P是拋物線y2＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值．FlOyxAP

第47頁(yè)/共59頁(yè)

題型五

拋物線的綜合應(yīng)用例5定長(zhǎng)為3的線段AB的端點(diǎn)A,B在拋物線y2＝x上移動(dòng)，求AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值，并求出此時(shí)AB中點(diǎn)的坐標(biāo).

第48頁(yè)/共59頁(yè)

第49頁(yè)/共59頁(yè)（四）課堂小結(jié)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F的距離和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。一個(gè)定義：兩類問題：三項(xiàng)注意：四種形式：求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；已知方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。定義的前提條件：直線l不經(jīng)過點(diǎn)F;p的幾何意義：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；標(biāo)準(zhǔn)方程表示的是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線。拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種：y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)第50頁(yè)/共59頁(yè)活頁(yè)規(guī)范訓(xùn)練第51頁(yè)/共59頁(yè)1．若拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為10，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

)．A．(8，8)B．(8，－8)C．(8，±8)D．(－8，±8)解析設(shè)P(xP，yP)，∵點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線x＝－2的距離，∴xP＝8，yP＝±8，故選C.答案C第52頁(yè)/共59頁(yè)2．設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是________．解析由拋物線的方程得，再根據(jù)拋物線的定義，可知所求距離為4＋2＝6.答案6第53頁(yè)/共59頁(yè)3、拋物線y2=4x上一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于5,則該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為____,該點(diǎn)坐標(biāo)為__________.5

第54頁(yè)/共59頁(yè)4、

拋物線上有一點(diǎn)M,其橫坐標(biāo)為-9,它到焦點(diǎn)的距離為10,求拋物線方程和M點(diǎn)的坐標(biāo).第55頁(yè)/共59頁(yè)5