241拋物線及其標準方程

會計學1241拋物線及其標準方程生活中存在著各種形式的拋物線第1頁/共59頁我們對拋物線已有了哪些認識？第2頁/共59頁yxo

二次函數(shù)是開口向上或向下的拋物線。第3頁/共59頁第4頁/共59頁問題探究：當|MF|=|MH|

，點M的軌跡是什么？探究？

可以發(fā)現(xiàn),點M隨著H運動的過程中,始終|MF|=|MH|,即點M與點F和定直線l的距離相等.點M生成的軌跡是曲線C的形狀.(如圖)M·Fl·e=1我們把這樣的一條曲線叫做拋物線.第5頁/共59頁M·Fl·e=1

在平面內(nèi),與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫拋物線.點F叫拋物線的焦點,直線l叫拋物線的準線|MF|=dd為M到l的距離準線焦點d拋物線的定義:想一想在拋物線定義中，若去掉條件“l(fā)不經(jīng)過點F”，點的軌跡還是拋物線嗎？注：當直線l經(jīng)過點F時，點的軌跡是過定點F且垂直于定直線l的一條直線；l不經(jīng)過點F時，點的軌跡是拋物線．注：定義可歸結為“一動三定”：一個動點M，一個定點F（拋物線的焦點），一條定直線l（拋物線的準線），一個定值（點M與點F到定直線l的距離之比為1）.第6頁/共59頁2、橢圓、雙曲線的第二定義MM與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)的點M的軌跡當

時，點M的軌跡是橢圓；

當_______時，點M的軌跡是雙曲線0<e<1e>1

當_______時，點M的軌跡是拋物線e=1

HMFl第7頁/共59頁如何建立直角坐標系？想一想探索研究推出方程求曲線方程的基本步驟·FL第8頁/共59頁拋物線的標準方程：M.F.設|FK|=p(p>0),M(x,y)由拋物線定義知：|MF|=d即：第9頁/共59頁.，叫作焦點在X軸正半軸上的拋物線的標準方程.說明：

焦點到準線的距離，簡稱焦準距，故p>0.x它所表示的拋物線的焦點Ｆ在x軸的正半軸上，焦點坐標是（），它的準線方程是.yoLFp的幾何意義:第10頁/共59頁

已知拋物線的標準方程，

求其焦點坐標和準線方程.

標準方程焦點坐標準線方程鞏固練習1第11頁/共59頁拋物線的標準方程拋物線的焦點坐標和準線方程:關鍵：確定P的值反思總結第12頁/共59頁.，叫作焦點在X軸正半軸上的拋物線的標準方程.xyoLF一條拋物線，由于它在坐標平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標準方程還有其它形式.想一想:拋物線的位置及其方程還有沒有其它的形式？第13頁/共59頁FlFlFlFl

問題：仿照前面求拋物線標準方程的方法，你能建立適當?shù)淖鴺讼?，求下列后三幅圖中拋物線的方程嗎?(1)(2)(3)(4)第14頁/共59頁

圖

形焦點位置標準方程焦點坐標準線方程

不同位置的拋物線標準方程

x軸的正方向

x軸的負方向

y軸的正方向

y軸的負方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(----（P＞0）第15頁/共59頁06:55:59尋找：區(qū)別與聯(lián)系一、四種形式標準方程的共同特征1、二次項系數(shù)都化成了_______2、四種形式的方程一次項的系數(shù)都含2p1O3、四種拋物線都過____點，且焦點與準線分別位于此點的兩側.焦點到原點的距離為一次項系數(shù)的，焦點到準線的距離都是p.第16頁/共59頁06:55:591、一次項(X或Y)定焦點2、一次項系數(shù)符號定開口方向.

正號朝正向，負號朝負向。二、四種形式標準方程的區(qū)別尋找：區(qū)別與聯(lián)系第17頁/共59頁拋物線方程左右型標準方程為y2=±2px(p>0)開口向右:y2=2px(x≥0)開口向左:y2=-2px(x≤0)標準方程為x2=±2py(p>0)開口向上:x2=2py(y≥0)開口向下:x2=-2py(y≤0)拋物線的標準方程上下型第18頁/共59頁1、一次項的變量如為x（或y），則x軸（或y軸）為拋物線的對稱軸，焦點就在對稱軸上。2、一次項的系數(shù)符號決定了開口方向?！拘〗Y】3、拋物線的開口大小取決于p值得大小，p值越大，開口越大.4、注意拋物線方程y2=2px(p>0)與二次函數(shù)y=ax2(a>0)的區(qū)別.第19頁/共59頁數(shù)形共同點:(1)原點在拋物線上;(2)對稱軸為坐標軸;(3)焦點到準線的距離均為P；(4)焦點與準線和坐標軸的交點關于原點對稱。

口訣:

對稱軸要看一次項,符號確定開口方向;

（看x的一次項系數(shù),正時向右,負向左;

看y的一次項系數(shù),正時向上,負向下.）想一想

求拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程時，關鍵是求什么？求P！第20頁/共59頁練習：判斷下列拋物線的開口方向、焦點坐標、準線方程.方程x2=32yx2=-2yy2=-32xy2=2xy+8x2=0x+8y2=0開口方向向上向下向左向右向下向左焦點坐標F（0,8）F（0,-1/2）F（-8,0）F（1/2,0）F（0,-1/32）F（-1/32，0）準線方程y=-8y=1/2x=8x=-1/2y=1/32x=1/32是一次項系數(shù)的是一次項系數(shù)的相反數(shù)第21頁/共59頁練習1：請判斷下列拋物線的開口方向第22頁/共59頁練習2：請判斷下列拋物線的焦點坐標F(0,8)F(0,)F(-8,0)F(,0)F(0,)F(,0)是一次項系數(shù)的第23頁/共59頁練習3：請判斷下列拋物線的準線方程F(0,8)F(0,)F(-8,0)F(,0)F(0,)F(,0)是一次項系數(shù)的的相反數(shù)第24頁/共59頁▲如何確定各曲線的焦點位置？拋物線：1.看一次項(X或Y)定焦點

2.一次項系數(shù)正負定開口橢圓：看分母大小雙曲線：看符號第25頁/共59頁P58思考：

二次函數(shù)的圖像為什么是拋物線？當a>0時與當a<0時，結論都為：思考：拋物線方程y2=2px(p>0)與y=ax2(a>0)的區(qū)別.第26頁/共59頁06:55:59例1

已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標和準線方程；解:∵2P=6,∴P=3∴拋物線的焦點坐標是（，0）準線方程是x=是一次項系數(shù)的是一次項系數(shù)的的相反數(shù)第27頁/共59頁06:55:59例2已知拋物線的焦點坐標是F（0，-2）求它的標準方程。解:因為焦點在y的負半軸上,所以設所求的標準方程為x2=-2py

由題意得，即p=4∴所求的標準方程為x2=-8y第28頁/共59頁F（5，0）F（0，-2）x=-5y=2y=-（課本67頁練習2）求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：（1）y2=20x（2）x2=y（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0F（0，）x=F（-，0）第29頁/共59頁（課本67頁練習1）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程；（1）焦點是（3，0）； （2）準線方程是x=-；（3）焦點到準線的距離是2；y2=12xy2=xy2=4xy2=-4xx2=4yx2=-4y第30頁/共59頁題型一求拋物線的標準方程

分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程：（1）焦點到準線的距離為；（2）過點A(2，3)；（3）焦點在直線x－2y－4＝0上；（4）拋物線的焦點是雙曲線的左頂點；（5）拋物線的焦點在x軸，直線y=-3與拋物線交于點A，且【例1】[思路探索]求拋物線方程要先確定其類型，并設出標準方程，再根據(jù)已知求出系數(shù)p.若類型不能確定，應分類討論．第31頁/共59頁oF例2：一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如下圖所示。衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點處。已知接收天線的徑口（直徑）為4.8m，深度為0.5m。建立適當?shù)淖鴺讼?，求拋物線的標準方程和焦點坐標。xyAB4.8m0.5m題型二

拋物線的實際應用第32頁/共59頁解：如上圖，在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標系，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點重合。

設拋物線的標準方程是

,由已知條件可得,點A的坐標是所以，所求拋物線的標準方程是代入方程，得焦點的坐標是第33頁/共59頁一輛卡車高3m，寬1.6m，欲通過斷面為拋物線型的隧道，已知拱口寬恰好是拱高的4倍，若拱口寬為am，求使卡車通過的a的最小整數(shù)值．OyxBA

【解析】利用方程練習1：第34頁/共59頁

第35頁/共59頁跟蹤訓練某河上有一座拋物線形的拱橋，當水面距拱頂5米時，水面寬8米，一木船寬4米，高2米，載貨的木船露在水面上的部分為0.75米，當水面上漲到與拱頂相距多少時，木船開始不能通航？解:以橋的拱頂為坐標原點，拱高所在的直線為y軸建立直角坐標系．設拋物線的方程是x2＝－2py(p>0)由題意知A(4，－5)在拋物線上，第36頁/共59頁跟蹤訓練

第37頁/共59頁例3點P到點F(1，0)的距離比它到直線l:x+2=0的距離小1，求點P的軌跡方程。|PF|+1=|x+2|ly..oxPF解（直接法）：設P(x，y)，則由已知，得另解(定義法)：由已知，得點P到點F(1，0)的距離等于它到直線l:x+1=0的距離.由拋物線定義知：點P的軌跡是以F(1，0)為焦點的拋物線.點P在直線l的左邊，則點P到點F的距離必大于P到直線l的距離。題型三

與拋物線有關的軌跡方程即為點P的軌跡方程.即為點P的軌跡方程.第38頁/共59頁變式1：點P到點F(1，0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，求點P的軌跡方程。例3點P到點F(1，0)的距離比它到直線l:x+2=0的距離小1，求點P的軌跡方程。題型三

與拋物線有關的軌跡方程1

第39頁/共59頁變式方程

＝|x－y＋3|表示的曲線是(

)A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線解析原方程變形為

，它表示點M(x，y)與點F(－3,1)的距離等于點M到直線x－y＋3＝0的距離.根據(jù)拋物線的定義，知此方程表示的曲線是拋物線.D練習：過點A（3,0）且與y軸相切的圓的圓心的軌跡為▁▁▁▁▁.第40頁/共59頁跟蹤訓練若動圓與圓(x－2)2＋y2＝1相外切，又與直線x＋1＝0相切，則動圓圓心的軌跡是方程為

.分析動圓與定圓相外切，則兩圓的圓心距為兩圓的半徑之和，動圓與直線相切，則動圓圓心到直線的距離等于動圓的半徑，設動圓圓心為M，半徑為r，動圓與圓(x－2)2＋y2＝1相外切，則點M到定點(2,0)的距離為r＋1，動圓與直線x＝－1相切，則點M到定直線x＝－1的距離是r，所以點M到定點(2,0)和定直線x＝－2的距離相等，故軌跡為拋物線.答案

D第41頁/共59頁

題型四

拋物線定義的最值問題例4（1）點A(3,2)為定點，點F是拋物線y2＝4x的焦點，點P在拋物線y2＝4x上運動，則當|PA|+|PF|取最小值時，點P的坐標為

.（2）點P是拋物線y2＝4x上的動點，點P在y軸上的射影點是點M，點A(4,a)，則當|a|>4時，|PA|+|PM|的最小值為

.（3）已知點P是拋物線y2＝4x上的動點，F(xiàn)(1,0),A(4,5),B(4,3),則|PA|+|PF|的最小值為

，|PB|-|PF|的最大值為

，|PB|-|PF|的最小值為

.（4）已知直線l的方程為x-y+4=0,在拋物線y2＝4x上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2,

則d1+d2的最小值為

.（5）拋物線y2＝x和圓C:(x-3)2+y2=1上最近兩點間的距離為

.第42頁/共59頁

如圖，已知拋物線y2＝2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此時P點坐標．

題型四

拋物線定義的最值問題【例4】[思路探索]解題的關鍵是利用拋物線的定義得到|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|，由圖可知當A、P、Q三點共線時取最小值．解如圖，作PQ⊥l于Q，由定義知，拋物線上點P到焦點F的距離等于點P到準線l的距離d，由圖可知，求|PA|＋|PF|的最小值的問題可轉(zhuǎn)化為求|PA|＋d的最小值的問題．第43頁/共59頁規(guī)律方法拋物線的定義在解題中的作用，就是靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的轉(zhuǎn)化，另外要注意平面幾何知識的應用，如兩點之間線段最短，三角形中三邊間的不等關系，點與直線上點的連線垂線段最短等．第44頁/共59頁練習：1、拋物線y2＝4x的焦點為F，點M在拋物線上運動，A（2,2），試求|MA|+|MF|的最小值.2、拋物線y2＝4x的點M到準線的距離為d，點A（2,4），試求|MA|+d的最小值.3、試求拋物線y2＝x和圓（x-3）2+y2＝1上最近兩點間的距離.4、定長為3的線段AB的端點A,B在拋物線y2＝x上移動，求AB中點到y(tǒng)軸距離的最小值，并求出此時AB中點的坐標.第45頁/共59頁.F第46頁/共59頁變式訓練已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，求點P到點A(0,2)的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值．FlOyxAP

第47頁/共59頁

題型五

拋物線的綜合應用例5定長為3的線段AB的端點A,B在拋物線y2＝x上移動，求AB中點到y(tǒng)軸距離的最小值，并求出此時AB中點的坐標.

第48頁/共59頁

第49頁/共59頁（四）課堂小結平面內(nèi)與一個定點F的距離和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。一個定義：兩類問題：三項注意：四種形式：求拋物線標準方程；已知方程求焦點坐標和準線方程。定義的前提條件：直線l不經(jīng)過點F;p的幾何意義：焦點到準線的距離；標準方程表示的是頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線。拋物線的標準方程有四種：y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)第50頁/共59頁活頁規(guī)范訓練第51頁/共59頁1．若拋物線y2＝8x上一點P到其焦點的距離為10，則點P的坐標為(

)．A．(8，8)B．(8，－8)C．(8，±8)D．(－8，±8)解析設P(xP，yP)，∵點P到焦點的距離等于它到準線x＝－2的距離，∴xP＝8，yP＝±8，故選C.答案C第52頁/共59頁2．設拋物線y2＝8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是________．解析由拋物線的方程得，再根據(jù)拋物線的定義，可知所求距離為4＋2＝6.答案6第53頁/共59頁3、拋物線y2=4x上一點與焦點的距離等于5,則該點到準線的距離為____,該點坐標為__________.5

第54頁/共59頁4、

拋物線上有一點M,其橫坐標為-9,它到焦點的距離為10,求拋物線方程和M點的坐標.第55頁/共59頁5