A空間解幾與向量代數(shù)

會計學(xué)1A空間解幾與向量代數(shù)

本章重點：

向量的數(shù)量積與向量積

平面方程及其求法

向量的運算

空間直線方程及其求法

旋轉(zhuǎn)曲面方程

空間直線與平面的關(guān)系

空間曲線在坐標面上的投影

二次曲面方程及其圖形第1頁/共73頁§1向量及其線性運算一、空間直角坐標系與向量的坐標表示1.向量箭頭所指的方向就是向量的方向。向量：有大小也有方向的量。一向量起點M1，終點M2，M1M2aM1M2則用有向線段或a表示。線段的長度表示M1M2的大小，稱為向量的模,記為M1M2或

。第2頁/共73頁零向量：單位向量：共線向量：相等向量：自由向量：模為1的向量，記為a0

或M1M20

。模為0的向量,記為0,與始點位置無關(guān)的向量，可保持大小、方向不變進行平移。又稱平移向量，以下研究的向量均為自由向量。

兩向量經(jīng)過平移可重合(在一條直線上)a//b,且指向一致。第3頁/共73頁向量夾角：s把其中一向量繞s旋轉(zhuǎn)，使其正向與另一向量的正向重合，這個旋轉(zhuǎn)的角度φ，顯然，記作或若把一條軸u看作向量，類似可定義向量與軸u的夾角或空間兩軸u1,u2的夾角第4頁/共73頁注意：空間沒有順時針方向與逆時針方向的概念。空間無負角;空間一點A

在軸u

上的投影:過點A

作垂直于軸u

的平面,則平面與軸u

的交點A’稱為點A

在軸u

上的投影。.A.A’u向量AB

在軸u

上的投影:向量AB

的起點A與終點B在軸u

上的投影為A’與B’，則A’B’的數(shù)值稱為AB

在軸u

上的投影。u.A.B第5頁/共73頁取正；取負。記作軸u稱為投影軸。定理1：uA..B——投影定理u’第6頁/共73頁定理2：定理3：2.向量的坐標表示在平面直角坐標系中，點M1

(x1,y1),M2

(x2,y2)xy0M1

(x1,y1).M2

(x2,y2).M1M2x2–x1為在x

軸上的投影(長度)或坐標M1M2y2–y1為在y

軸上的投影(長度)或坐標y2–y1為在y

軸上的投影(長度)或坐標M1M2x1x2y1y2第7頁/共73頁M1M2稱為向量的坐標表達式，M1M2稱為向量的坐標表達式的分解式。M1M2——平面兩點間的距離第8頁/共73頁3.空間直角坐標系對空間的向量,建立空間直角坐標系：一個原點o,三個坐標軸(x,y,z軸兩兩垂直)規(guī)定正向：符合右手法則。構(gòu)成三個坐標平面：xoy,yoz,zox分空間為八個卦限:IIIIIVVIII空間點P有序數(shù)組(x,y,z).p原點坐標:(0,0,0)(x,y,z)xyz0IIVVI第9頁/共73頁卦限：III

IIIIV點的符號:VVIVIIVIII坐標面:xoyyozzox點的坐標:(x,y,0)(o,y,z)(x,0,z)坐標軸:x

y

z點的坐標:(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)第10頁/共73頁xyz0在空間直角坐標系中:向量M1M2點M1

(x1,y1,z1),M2

(x2,y2,z1)M1(x1,y1,z1).M2(x2,y2,z2).在x

軸上的投影為:在y

軸上的投影為:在z軸上的投影為:M1M2=第11頁/共73頁坐標。分向量?！獢?shù)量——向量xyz0方向角。

方向余弦?？杀硎鞠蛄康姆较?。第12頁/共73頁xyz0

方向余弦：由投影定理，為方向余弦的坐標表示式。滿足：第13頁/共73頁特別，向量的始點為原點O，={x,y,z}稱為點M的位置向量或點M的向徑。第14頁/共73頁二、向量的運算1.加減法：(1)向量用有向線段表示：有平行四邊形法則與三角形法則。且滿足加法的交換律與結(jié)合律。(2)向量用坐標表示：第15頁/共73頁2.數(shù)乘(仍是一向量)0方向相同方向相反滿足數(shù)乘的結(jié)合律與分配律。(1)向量用有向線段表示：(2)向量用坐標表示：第16頁/共73頁定理：常用的三個充要條件。()(1)(2)(3)若bx,by,bz均不為0，則(3)即為(2)。若bx,by,bz

中有一個或兩個為0，說明：①第17頁/共73頁若bx,by,bz

中有一個或兩個為0，②它們的對應(yīng)坐標必須同時為0或同時不為0。第18頁/共73頁例題討論例1：解：由此可知，可表示為它的模(大小)與其單位向量(方向)的乘積。第19頁/共73頁——向量的單位化一般，特別，第20頁/共73頁例2：一向量的起點是p1(2,-2,5),終點是p2(-1,6,7)，求：(1)p1p2的方向余弦；(2)p1p2的單位向量。解：p1p2p1p2(1)p1p2的方向余弦：(2)p1p20第21頁/共73頁例3：求點M(1,-1,4)(1)與原點o的距離；(2)到ox

軸的距離；(3)關(guān)于原點、xoy

平面、ox

軸的對稱點。解：(1)(2)∵x

軸上的點的坐標：(x,0,0)空間上點(x,y,z)到x軸的距離：∴點M到ox

軸的距離：第22頁/共73頁

關(guān)于原點、xoy

平面、ox

軸的對稱點。求點M(1,-1,4)(3)點M(1,-1,4)為卦限上的點，VI上的點：關(guān)于原點對稱的點應(yīng)為卦限IIIIIIVVVIIIxyz0IM1(-1,1,4);關(guān)于xoy

平面的對稱點為卦限VIII上的點：

M.M2(1,-1,-4);關(guān)于ox

軸的對稱點為卦限V上的點：M3(1,1,-4)。IV第23頁/共73頁例4：設(shè)M1(0,2,1),M2(3,1,3),M3(1,-1,2)，M1M2M2M3在x,y,z軸上的投影及在y

軸上的分向量。解：(1)(2)(3)在x,y,z軸上的投影分別是在y

軸上的分向量是第24頁/共73頁ABCDE例5：求證：三角形兩邊中點的連線平行于第三邊，且長度是第三邊的一半。證：如圖作△ABC，DE為兩邊中點的連線。法1：用向量加法：法2：用向量減法：∴得證。第25頁/共73頁例6：設(shè)點A

(x1,y1,z1),B

(x2,y2,z2),M是AB連線上的一點，求分AM與MB的比值為定比λ(λ≠-1)的點M的坐標。解：A.B.xyz0.M設(shè)點M

(x,y,z),—定比分點公式即為中點公式第26頁/共73頁例7：以M(2,-1,7)為起點,沿向量a={8,9,-12}的方向作一向量MN,使|MN|=34，求MN的坐標表示式及點N的坐標。M.N34解：設(shè)點N

(x,y,z),=34，第27頁/共73頁∴N(18,17,-17)第28頁/共73頁課外作業(yè)

習(xí)題7—11，4，8，

習(xí)題7—2（A）1，3，4，5，6，7，9，10

習(xí)題7—2（B）2，9第29頁/共73頁三、兩向量的數(shù)量積

向量的數(shù)量積與向量積是向量特有的運算,它們并不是憑空想象出來的,而是從物理模型中抽象出來的,有它們各自的實際意義。例：所作的功W=.M1.M2第30頁/共73頁1.定義

：(P.302)，又稱為向量的點積

或內(nèi)積。的乘積，數(shù)量積。記作即說明：數(shù)量積是一個數(shù)量（而不是向量）。(1)(2)數(shù)量積的正負取決于第31頁/共73頁2.幾何意義由此又得到投影公式：同理，第32頁/共73頁

一個向量的模和另一個向量在這個向量方向上的投影的乘積。數(shù)量積的幾何意義：第33頁/共73頁3、基本性質(zhì)及其運算規(guī)律：性質(zhì)：(1)(2)說明：零向量方向不定,

可省略。(3)基本單位向量的正交性=1，=0.第34頁/共73頁(4)運算規(guī)律：——交換律——分配律——數(shù)乘運算的結(jié)合律注意：(1)無運算符號，無意義。(2)數(shù)與向量不可相加，無意義。第35頁/共73頁4、數(shù)量積的坐標表示法第36頁/共73頁由此可得：===第37頁/共73頁=的三個方向角，的三個方向角，顯然，第38頁/共73頁例題討論例1：解：無坐標表示形式，用定義計算。=28.第39頁/共73頁例2：設(shè)點A(1,-2,3),B(4,-4,-3),C(2,4,3),D(8,6,6)，求：解：(1)3,6,2,3(2)第40頁/共73頁3,A(1,-2,3)B(4,-4,-3)C(2,4,3)第41頁/共73頁例3：解：=？=0第42頁/共73頁第43頁/共73頁例4：試用向量證明：菱形的對角線互相垂直。證：如圖作菱形：ABCD菱形相鄰兩邊長相等，第44頁/共73頁課外作業(yè)

習(xí)題7—3（A）2，3，4，5，6，8，9，10第45頁/共73頁二、兩向量的向量積向量積是兩個向量的又一種乘積，也是向量特有的運算,也有其物理模型：設(shè)

O為杠桿

L的支點，L有一個力

F作用于桿上

P點，PO則力

F對支點

O

所產(chǎn)生的力矩為一向量

M，H其大小等于O點到

F的距離

OH與力

F的大小的乘積。第46頁/共73頁在實際中是非常有用的。即右手四指從OP

握向F時,大拇指的指向為M的正向。顯然，力矩向量M由F與OP

完全確定。這樣有兩個向量來確定另一個向量的法則Fp第47頁/共73頁1、定義：(P.305)按下列條件確定新向量c:(1)(2)(3)向量積，記作,又稱為向量的叉積

或外積。按“右手法則”垂直于所在平面的單位向量。第48頁/共73頁2、幾何意義：(1)向量積平行四邊形的面積。顯然，第49頁/共73頁(2)c

按“右手法則”垂直于所在平面，若一向量c

同時垂直a

與b

，則必有：(3)第50頁/共73頁3、性質(zhì)與運算規(guī)律：性質(zhì)：(1)=0(2)零向量方向不定,可省略。第51頁/共73頁(3)基本單位向量的向量積：第52頁/共73頁運算規(guī)律：(P.306)(1)－不滿足交換律(2)滿足分配律(3)滿足數(shù)乘的結(jié)合律第53頁/共73頁4、向量積的坐標表示法

(P.306-307)第54頁/共73頁兩向量平行(共線)的充要條件是

對應(yīng)坐標成比例。第55頁/共73頁補充：有關(guān)行列式的計算法1：第56頁/共73頁法2：第57頁/共73頁行列式的有關(guān)性質(zhì)：－第58頁/共73頁例題討論例1：(4)以a,b

為鄰邊的平行四邊形的面積S。解：(1)10-1-1-2101(2)第59頁/共73頁例2:已知三角形ABC的頂點坐標為A(1,2,0),B(3,0,-3),C(5,2,6)