材料力學第七章 應力狀態(tài)和強度理論

第七章

應力狀態(tài)和強度理論◆

概述◆

平面應力狀態(tài)的應力分析·主應力◆

空間應力狀態(tài)的概念◆

應力與應變間的關(guān)系◆

空間應力狀態(tài)下的應變能密度◆

強度理論及其相當應力◆

莫爾強度理論及其相當應力◆

各種強度理論的應用§7-1

概述強度條件沒有也不需要考慮材料失效（斷裂或屈服）的原因同一截面上不同點的應力各不相同同一點不同方位截面上的應力各不相同鏈接1鏈接2拉壓、對稱彎曲問題中：

危險點的正應力是該點所有方位截面上的最大正應力

單軸應力狀態(tài)建立強度條件直接由試驗測得的極限應力除以安全因數(shù)得到矩形截面梁彎曲時stFSM同一截面上不同點的應力各不相同

——

應力的點的概念返回1同一點不同方位截面上的應力各不相同

——

應力的面的概念桿拉伸時圓桿扭轉(zhuǎn)時返回2ssataasatatta圓桿扭轉(zhuǎn)、對稱彎曲問題中：

危險點的切應力是該點所有方位截面上的最大切應力

純切應力狀態(tài)建立強度條件一般情況下：受力構(gòu)件內(nèi)任一點處，既有正應力又有切應力。對該點進行強度計算，不能分別按正應力、切應力來建立強度條件，要綜合考慮正應力和切應力的影響。一方面要研究通過點不同方位截面上應力的變化規(guī)律，以確定最大正應力和最大切應力及其所在截面的方位。過一點所有不同方位截面上應力的集合（即過一點所有不同方位截面上應力的全部情況）點的應力狀態(tài)要研究另一方面，由于點的應力狀態(tài)較復雜，而應力的組合形式又有無限多的可能性，故不能用直接試驗的方法來確定每一種應力組合情況下材料的極限應力。①致力于觀察和分析材料破壞的規(guī)律，找出引起材料破壞的共同因素；②利用單向應力狀態(tài)的試驗結(jié)果，確定該共同因素的極限值，建立相應的強度條件。關(guān)于材料破壞規(guī)律的假說強度理論要研究一點應力狀態(tài)微元（單元體）⑴每個面上的應力都是均勻分布的；⑵在相互平行的一對面上，應力大小相等，正負號相同?！?-2

平面應力狀態(tài)的應力分析·主應力ssttttttstts平面應力狀態(tài)求斜截面上的應力求最大正應力及其所在截面的方位正應力以拉為正一、斜截面上的應力txtysysxxyztxtysysxxytxtysysxaana

從x

軸量起，以逆時針轉(zhuǎn)為正。切應力以繞單元體順時針轉(zhuǎn)為正平面應力狀態(tài)

的普遍形式a

截面斜截面面積：dAtxtysysxxytxtysysxaanatysytxsxnttasa斜截面面積：dAtxtysysxxytxtysysxaanatysytxsxnttasasa

＝sx＋sy

2sx－sy

2＋cos2a

－tx

sin2ata

＝sx－sy

2sin2a

＋tx

cos2asa

＋sa＋90°＝

sx＋sy

＝

常數(shù)ta

＝－ta＋90°任意兩個相互垂直截面上的正應力之和為常數(shù)，切應力服從切應力互等定理。二、應力圓sa

＝sx＋sy

2sx－sy

2＋cos2a

－tx

sin2ata

＝sx－sy

2sin2a

＋tx

cos2a(sa

－sx＋sy

2)2＋ta

＝2sx－sy

2()2＋tx2應力圓（莫爾圓）Osttxtysysxxytxtysysx應力圓a2aE

(sa

,ta)Cna點面對應關(guān)系角度對應關(guān)系D2(sy,ty)D1(sx,tx)tasa

與單元體一一對應關(guān)系三、主應力與主平面txtysysxxy主應力單元體s1s2OstCD2(sy,ty)D1(sx,tx)A1A22a

0a

0s1s2鏈接主平面主應力通過一點的各個不同的方向面中，一定存在三個相互垂直的截面，在這些截面上只有正應力而沒有切應力。主平面有3個主應力有3個s1

s2

s3≥

≥第二主應力第三主應力（最小主應力）第一主應力（最大主應力）返回僅有一個主應力不為零

—-

單向應力狀態(tài)有二個主應力不為零

—-

二向應力狀態(tài)三個主應力都不為零

—-

三向應力狀態(tài)空間應力狀態(tài)平面應力狀態(tài)s1s2OstCD2(sy,ty)D1(sx,tx)A1A22a

0＝sx＋sy

2±＋txs1s2sx－sy

2√()22sx－sy

－2txtan2a

0＝a

0的確定是個難點同主慣性軸的確定Ost例1：單元體如圖示，求主應力的大小和主平面的位置。6MPa3MPaCD1(-6,-3)A1A2D2(0,3)2a

0s1＝1.3MPas3＝－7.2MPaa

0＝67.5°s3s1a

0例2：一兩端密封的圓柱形壓力容器，圓筒部分由壁厚為d

，寬度為b的塑條滾壓成螺旋狀并熔接而成。圓筒的內(nèi)徑為D，且d

<<

D，如圖所示。容器承受的內(nèi)壓的壓強為p，若熔接部分承受的拉應力不得超過塑條中最大拉應力的80％，試求塑條的許可寬度b。P217例7-1qbs

s

圓筒及其受力關(guān)于軸線極對稱圓筒橫截面上正應力均勻分布d

<<

D軸向應力將圓筒沿橫截面截開qb①圓筒上任一點的應力狀態(tài)圓筒上、下部分關(guān)于縱向直徑平面對稱圓筒縱截面上沒有切應力將圓筒沿縱向直徑平面截開s

s

d

<<

D正應力均勻分布取單位長度研究qb①圓筒上任一點的應力狀態(tài)環(huán)向應力在圓筒內(nèi)表面上任取一點，則沿徑向s2=s

s1=s

qb比較②確定許可寬度bs

s

圓筒上各點qaqbs

s

qa得熔接縫拉應力qp

Db塑條熔接縫空間應力狀態(tài)的普遍形式y(tǒng)xztxytyx

txz

tzxtzytyzszsysxsx、sy、sztxy＝tyxtxz＝tzxtzy＝tyz§7-3

空間應力狀態(tài)的概念最大正應力？

最大切應力？有6個獨立的應力分量aas1s1s2s2s3s3s1s2s3s3asatas1s21．平行s3

的截面sataOstC1asatas1s2

平行s3

的所有截面對應于應力圓AE上的各點。As1Es2aas3s3s1s1s2s2s3s1s2s2asatas3s12．平行s2

的截面sataasatas3s1

平行s2

的所有截面對應于應力圓AF上的各點。s2s1OstC1AEs3FC2aas3s3s2s2s1s1s3s2s1s1asatas3s23．平行s1

的截面sataasatas3s2

平行s1

的所有截面對應于應力圓FE上的各點。s3s2s1OstC1AEC2FC3ABCs1s1s2s2s3s3xyzOpxpy

pz外法線n與坐標軸的夾角為a、b、g任意截面上的應力？ABCs1s1s2s2s3s3xyzOpxpypzpsntn任意截面上的應力？可以證明：任意截面上的應力都可用這三個應力圓所圍成的陰影面中的點的坐標來決定。s3s2s1OstC1AEC2FC3空間應力狀態(tài)下：smax=s1smin=s3tmax

=s1

－s32

tmax

所在截面與s2平行，與s1、s3所在的主平面成

45°角。s3s2s1OstC1AEC2FC3B90°12.52512.512.5例1：圖示單元體處于何種應力狀態(tài)？繪出應力圓，求其主應力和最大切應力。應力單位為MPa12.52512.512.5sx＝12.5MPa，tx＝12.5MPasy＝12.5MPa，ty＝－12.5MPaOstA1(25,0)D2(12.5,-12.5)D1(12.5,12.5)s1＝25MPa，s2＝0，s3＝－25MPa二向應力狀態(tài)C§7-4

應力與應變間的關(guān)系空間應力狀態(tài)下：有6個獨立的應力分量相應的有6個獨立的應變分量應力分量與應變分量之間的關(guān)系

——廣義虎克定律單軸應力狀態(tài)下：空間應力狀態(tài)下：？純切應力狀態(tài)下：yxztxytyx

txz

tzxtzytyzszsysx空間應力狀態(tài)下，外法線與坐標軸正向一致的平面——正面外法線與坐標軸負向一致的平面——負面正應力分量——拉應力為正；切應力分量——正面上切應力與坐標軸正向一致為正，負面上切應力與坐標軸負向一致為正；線應變分量——以伸長為正；切應變分量——使直角減小者為正。一、各向同性材料的廣義虎克定律yxztxytyx

txz

tzxtzytyzszsysx重新規(guī)定切應變與切應力正負號一致s1s2s31．已知s1、s2、s3平行si

的邊

——

第

i

棱邊(

i=1,2,3

)第一棱邊的

e1第二棱邊的

e2第三棱邊的

e3s1引起s2引起s3引起在線彈性范圍內(nèi)研究各向同性材料小變形主應變與主應力之間的關(guān)系廣義虎克定律2．已知sx、sy、sz

、txy、tyz、tzx

在小變形的條件下，切應力t

引起的線應變比起正應力s

引起的線應變小得多，是高階微量，可以略去不計。sxsysztxytzxtyz廣義虎克定律sxsysztxytzxtyz線應變與正應力之間的關(guān)系注意：①對于切應力和切應變，它們之間也有一定的關(guān)系。②廣義虎克定律也適用于單向應力狀態(tài)、二單向應力狀態(tài)。③在線彈性范圍內(nèi)，各向同性材料的三個材料常數(shù)滿足例1：在一槽形鋼塊內(nèi)放置一邊長為10mm的立方鋁塊，鋁塊與槽壁間無空隙，如圖。當鋁塊上受到合力為

F=6kN

的均布壓力時，試求鋁塊內(nèi)任一點處的應力，設(shè)鋁塊的泊松比為n=0.33。xyzsxsy例2：用電阻應變儀測得空心圓軸表面上某點處與母線成45O

方向上的正應變e=2.0×10-4，已知

E=2.0×105

MPa，n

=0.3，試求軸所傳遞的扭矩。MeMeMeMets3s1s1＝t，s2＝0，s3＝－tt

＝TWpe1

＝[s1－n

(s2＋s3)]E1＝

1＋nEtMe＝8.38kN·mπD3(1－a4)tMe

＝161單元體邊長：dx、dy、dz體積：V0=

dx

·

dy

·

dz二、各向同性材料的體應變s1s2s3dxdydzdx

→

dx

+△dxdy

→

dy

+△dy

=

dy

+

e2dy

=

(1

+

e2)

dydz

→

dz

+△dz

=

dz

+

e3dz

=

(1

+

e3)

dz=

dx

+

e1dx=

(1

+

e1)

dx體積：V

=

(1

+

e1)

dx

·

(1

+

e2)

dy

·

(1

+

e3)

dz=

V0

(1

+

e1)

(1

+

e2)

(1

+

e3)小變形

→

略去二、三階微量V

=

V0

(1

+

e1+

e2

+

e3

)體積的絕對增量：△V

=

V－V0

=

V0

(e1+

e2+

e3)單位體積增量：體應變體積的相對增量討論：⒈若

s1

+

s2

+

s3＞0，則

q

＞0

→△V

＞0，即體積增大；若

s1

+

s2

+

s3＜0，則q

＜0

→△V＜

0，即體積減小；⒉若

s1

+

s2

+

s3

=

0，則q

=

0

→△V

=

0，即體積不改變。①n

=

0.5

；②純切應力狀態(tài)q

=

0

，但一般n＜0.5。s1

=

ts2

=

0s3

=－t→q

=

0

→△V

=

0Ost90°ts1s345°體積不改變，但并不表示單元體不變形。討論：體積不改變，但并不表示單元體不變形。單元體形狀變成切應力只引起形狀改變，不引起體積改變。正應力只引起體積改變，不引起形狀改變。sxsysztxytzxtyz§7-5

空間應力狀態(tài)下的應變能密度物體受外力作用產(chǎn)生變形時，將在物體內(nèi)部積蓄能量應變能密度ve單位體積物體所積蓄的應變能單軸應力狀態(tài)下：在線彈性、小變形的條件下，應變能的大小取決于外力的最終值，與外力作用的先后次序無關(guān)。應變能Ves1s2s3鏈接空間應力狀態(tài)下三向應力狀態(tài)的應變能密度：dxdydzs1s2s3力：s1

d

y

d

z位移：e1

d

x力：s2

d

z

d

x位移：e2

d

y力：s3

d

x

d

y位移：e3

d

z返回s1s2s3smsmsms1－sms2－sms3－sm＝＋主應力相同主應變相同單元體形狀不改變主應力之和不為零單元體體積改變主應力之和為零單元體體積不改變但單元體形狀改變體積改變形狀改變體積改變能密度：s1s2s3smsmsms1－sms2－sms3－sm＝＋體積改變形狀改變形狀改變能密度：s1s2s3smsmsms1－sms2－sms3－sm＝＋體積改變形狀改變應變能密度ve＝體積改變能密度vV＋形狀改變能密度vd空間應力狀態(tài)yxztxytyx

txz

tzxtzytyzszsysx小變形對應每個應力分量的應變能密度該應力分量與相應的應變分量的乘積的一半＝材料破壞的形式有兩種：

脆性斷裂破壞和塑性屈服破壞強度理論大體分為兩類：有關(guān)脆性斷裂破壞的強度理論有關(guān)塑性屈服破壞的強度理論鑄鐵拉伸時，在橫截面上斷裂；鑄鐵扭轉(zhuǎn)時，在與桿軸線成

45O

的螺旋面上斷裂。低碳鋼拉伸時，在與桿軸線成

45O

的方向上產(chǎn)生滑移線；低碳鋼扭轉(zhuǎn)時，在縱向、橫向產(chǎn)生滑移線?！?-6

強度理論及其相當應力一、關(guān)于脆性斷裂的強度理論最大拉應力s1是引起材料斷裂破壞的原因1.最大拉應力理論（第一強度理論）當構(gòu)件內(nèi)危險點的最大拉應力達到某一極限值時，材料就會發(fā)生脆性斷裂破壞。材料單向拉伸時，發(fā)生斷裂破壞的極限應力sb。破壞條件：s1＝sb強度條件：s1≤[s

]最大伸長線應變e1是引起材料斷裂破壞的原因2.最大伸長線應變理論（第二強度理論）當構(gòu)件內(nèi)危險點的最大伸長線應變達到某一極限值時，材料就會發(fā)生脆性斷裂破壞。材料單向拉伸時，發(fā)生斷裂破壞的極限應變eu。破壞條件：e1＝eu強度條件：stsbs1－n

(s2＋s3)

≤

[s

]二、關(guān)于屈服的強度理論最大切應力tmax是引起材料屈服破壞的原因1.最大切應力理論（第三強度理論）當構(gòu)件內(nèi)危險點的最大切應力達到某一極限值時，材料就會發(fā)生屈服破壞。材料單向拉伸時，發(fā)生屈服破壞時的切應力tS。破壞條件：tmax＝tS強度條件：s1

－

s3

≤[s

]stsStS形狀改變能密度vd是引起材料屈服破壞的原因2.形狀改變能密度理論（第四強度理論）當構(gòu)件內(nèi)危險點的形狀改變能密度達到某一極限值時，材料就會發(fā)生屈服破壞。材料單向拉伸時，發(fā)生屈服破壞時的形狀改變能密度vdu。破壞條件：vd＝vdu強度條件：sr

相當應力強度條件：sr

≤[s

]與主應力有關(guān)§7-7

莫爾強度理論及其相當應力材料發(fā)生剪斷破壞的原因主要是切應力t

，但也和同一截面上的正應力s

有關(guān)。三向應力狀態(tài)下，不考慮s2

對破壞的影響。st極限應力圓極限應力圓的包絡(luò)線材料破壞的臨界線stO工程上①畫出單向拉伸、單向壓縮的極限應力圓；sbtsbc②作這兩個極限應力圓的公切線；③將此公切線作為近似的包絡(luò)線。s1s3構(gòu)件內(nèi)某點剛好處于剪斷破壞狀態(tài)PNMKLC1C3C2△C1NC3∽△C1PC2C3NC2PC3

C1C2

C1＝C3N

＝

C3K

－

C1LC2P

＝

C2M

－

C1LC3C1

＝

OC1

＋

OC3C2C1

＝

OC1

＋

OC2(s1－s3)

－＝1212sbtsbc

－＝1212sbt(s1＋s3)＝1212sbt

－sbt

＋＝1212sbc破壞條件強度條件：s1－s3

＝