實(shí)對稱矩陣的對角化

1§4.3

實(shí)對稱矩陣的對角化實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)二、求正交矩陣的方法三.小結(jié)與思考題2實(shí)對稱矩陣是一類特殊的矩陣,它們一定可以對角化.即存在可逆矩陣P,使得T

，使得定理4.6

實(shí)對稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).注：①任意實(shí)n階矩陣的特征值不一定是實(shí)數(shù)．一.實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)②由于實(shí)對稱矩陣A的特征值都是實(shí)數(shù),故方程組設(shè)為實(shí)系數(shù)方程組，所以它必有實(shí)特征向量．,更可找到正交矩陣3定理4.6的意義表明：實(shí)對稱矩陣A的特征值為實(shí)數(shù),所以齊次線性方程又因為組是實(shí)系數(shù)方程組.有實(shí)的基礎(chǔ)解系,從而對應(yīng)的特征向量可以取實(shí)向量.,可知該齊次線性方程組一定定理4.7

實(shí)對稱矩陣A的對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交.證

設(shè)1,

2是實(shí)對稱矩陣A的兩個特征值,且分別是A對應(yīng)于1,2的特征向量．即4則即因為A為實(shí)對稱矩陣，用X2

右乘上式兩端,得

由于1不等于2，所以故X1

與X2

正交．5定理4.8設(shè)

A實(shí)對稱矩陣，0為A的k重特征值，則推論任意實(shí)對稱陣必與對角陣相似．定理4.8另一種表述為：實(shí)對稱矩陣A的屬于k重特征值0的線性無關(guān)的特征向量恰有k

個.定理4.9

對于任意一個n階實(shí)對稱陣A，都存在一個n階正交矩陣Q，使對角陣

定義4.4

設(shè)A、B是兩個n階矩陣，若存在正交矩陣Q，使得則稱矩陣A與B正交相似．6二、求正交矩陣的方法將n階實(shí)對稱矩陣A的每個k重特征值對應(yīng)的k個線性無關(guān)的特征向量用施密特方法正交化后,它們?nèi)允茿的屬于特征值的特征向量.可見,

n階實(shí)對稱矩陣A一定有n個正交的特征向量,再將這n個正交向量單位化,得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,用其構(gòu)成正交矩陣Q,有其中為A的n個特征值.于是得出7求正交矩陣Q,把實(shí)對稱矩陣A

化為對角陣的方法：1.解特征方程求出對稱陣A的全部不同的特征值(根).即求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.3.將屬于每個i的特征向量先正交化，再單位化.2.對每個特征值i,求出對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量,這樣共可得到n個兩兩正交的單位特征向量為列向量構(gòu)成正交矩陣8即必須注意:對角陣中有的順序要與特征向量的排列順序一致.9例1設(shè)矩陣求正交變換矩陣Q使A相似于對角陣．解將矩陣A的特征值i分別代入齊次線性方程組為10求解可得相應(yīng)的線性無關(guān)且正交的特征向量為將它們單位化，得由于這是三個不同的特征值,對應(yīng)的齊次線性方程組分別為：11因此正交變換陣Q為12則13例2設(shè)矩陣求正交變換矩陣Q使A正交相似于對角陣．解由解得矩陣A的全部特征值為14得A的屬于特征值8的線性無關(guān)特征向量為將X1

單位化得15解齊次線性方程組

得A的屬于特征值2的線性無關(guān)特征向量得用施密特方法正交化并單位化得兩個長度為1且相互正交的向量為16于是得正交變換矩陣17則例3

設(shè)矩陣求正交矩陣Q,使得Q-1AQ為對角陣.18解由19解得基礎(chǔ)解系只需把X1

單位化，得20解得基礎(chǔ)解系只需把

X2

單位化,得21解得基礎(chǔ)解系只需把X3單位化，得得正交矩陣Q有22

設(shè)3階實(shí)對稱方陣A的特征值為1,2,3,A的屬于特征值1,2的特征向量分別是

X1=(-1,-1,1)T

,X2=(1,-2,-1)T,求方陣A和A的屬于特征值3的特征向量.三.小結(jié)與思考題思考題11.了解實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì).2.掌握求正交矩陣Q

把n階實(shí)對稱矩陣對角化的方法.23設(shè)A的特征值3所對應(yīng)的特征向量為因?qū)崒ΨQ矩陣的屬于不同特征值的特征向量相互正交,于是思考題1解答24即解得基礎(chǔ)解系則A的屬于特征值3的全部特征向量為25由26判斷n階矩陣A、B是否相似,其中思考題227由即因為A是實(shí)對稱矩陣,故存在可逆矩陣P1，使得思考題2解答28又可見,B與A有相同的特征值.對于B的n-1重特征根因為R