第二章-控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型教學(xué)目的通過本章學(xué)習(xí)使同學(xué)們加深理解：所謂數(shù)學(xué)模型(Mathematicalmodels)就是用數(shù)學(xué)表達式來描述的實物控制系統(tǒng)這個基本概念。了解對于同一個控制系統(tǒng)，由于所取的變量不同，其模型形式也不同，并使同學(xué)們掌握如何建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的方法。教學(xué)重點與教學(xué)學(xué)時1、復(fù)域模型－－傳遞函數(shù)(Transferfunction)2、傳遞函數(shù)的零、極點對系統(tǒng)性能的影響3、三種數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換5、教學(xué)學(xué)時：三次課共6個學(xué)時。教學(xué)內(nèi)容

1、時域模型：本節(jié)分別通過從簡單的電學(xué)電路和力學(xué)系統(tǒng)講解如何建立數(shù)學(xué)模型。由于有關(guān)電機拖動的課還未講到電機模型內(nèi)容，故本章中有關(guān)電動機模型只介紹結(jié)論，不詳細推導(dǎo)。

2、時域模型－－微分方程求解，簡單講解復(fù)習(xí)微分方程求解方法

3、非線性系統(tǒng)的線性化，重點講清楚線性化的條件，以及如何線性化（泰勒展開式）教學(xué)內(nèi)容

4、復(fù)域模型：重點介紹傳遞函數(shù)的概念，通過例題復(fù)習(xí)如何用拉普拉斯變換求解系統(tǒng)。

5、對比時域系統(tǒng)的解，講解傳遞函數(shù)的極點對系統(tǒng)性能的影響。

6、介紹典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

7、系統(tǒng)的信號流圖和梅遜(Meson)公式

8、結(jié)構(gòu)圖及化簡

9、閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和誤差傳遞函數(shù)

10、自學(xué)讀書內(nèi)容：數(shù)學(xué)模型測定方法。第二章第一次課：時域模型一、通過一個電學(xué)、力學(xué)系統(tǒng)討論如何建立數(shù)學(xué)模型，并總結(jié)建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟：

1、確定輸入，輸出變量

2、根據(jù)元件本身所遵循的客觀運動規(guī)律，列寫運動方程

3、消除中間變量二、復(fù)習(xí)拉普拉斯變換的幾個定理，用拉氏變換求解微分方程三、非線性元件的線性化問題。作業(yè)：1、復(fù)習(xí)本課內(nèi)容；2、預(yù)習(xí)復(fù)域模型；3、2－3

2－6思考題：2－1

2－8第二章第二次課：復(fù)域模型一、傳遞函數(shù)的定義：要點：線性定常系統(tǒng)，零初始條件二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)：

1、是復(fù)變量s的真分式，具有復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)，系數(shù)為實數(shù)

2、只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式無關(guān)，只反映系統(tǒng)輸出量與輸入量之的關(guān)系

3、傳遞函數(shù)與微分方程的關(guān)系

4、傳遞函數(shù)的拉氏變換是脈沖響應(yīng)g(t)

三、函數(shù)的零、極點對輸出的影響第二章第一次課：復(fù)域模型自學(xué)：1、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

2、例題2－12（a），如何求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)作業(yè)：1、復(fù)習(xí)復(fù)域模型內(nèi)容

2、預(yù)習(xí)2－3控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

3、2－10

2－11（1）2－12（6）思考題：p37

兩相伺服電機模型建立

P38

單容槽模型建立

p40

雙容水槽模型建立第二章第三次課：結(jié)構(gòu)圖

1、結(jié)構(gòu)圖的組成

2、如何建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，以p42例2－11為例講解如何建立系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（本課重點），以p44例2－12為例進一步加深映象。

3、信號流圖與結(jié)構(gòu)圖之間的關(guān)系

4、如何畫信號流圖

5、梅遜公式

容易出錯點：在應(yīng)用梅遜公式時，遺漏前向通路和閉合加環(huán)。

6、用Matlab求解數(shù)學(xué)模型自學(xué)：結(jié)構(gòu)圖化簡與等效變換作業(yè)：2－19(d)(e)(c)2－15

2－20

思考題：2－16

數(shù)學(xué)模型實驗測定方法；2、2－23。重點內(nèi)容：閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)三種形式(a)輸入信號作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)、(b)擾動作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)、(c)閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。要求：熟練地寫出閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和傳遞函數(shù)的特征式。注意：在各種信號作用下，輸出量c(s)或誤差量e(s)可以應(yīng)用疊加原理，但閉環(huán)傳遞函數(shù)不適用疊加原理。第二章第五次課內(nèi)容一、閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)三種形式(a)輸入信號作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)、(b)擾動作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)、(c)閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。要求：能熟練地寫出閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和傳遞函數(shù)的特征式。注意：在各種信號作用下，輸出量c(s)或誤差量e(s)可以應(yīng)用疊加原理，但閉環(huán)傳遞函數(shù)不適用疊加原理。二、三、有關(guān)本章習(xí)題中出現(xiàn)的問題討論

數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。二種數(shù)學(xué)模型：

a.靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：在靜態(tài)條件下（變量各階導(dǎo)數(shù)為零），描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程和。如：

R1R2UiUO

b.動態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。

分析一個系統(tǒng)就是具分析、求解該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，從中找出系統(tǒng)運動的規(guī)律性。如何建立數(shù)學(xué)模型

建立數(shù)學(xué)模型用二種方法：1.分析法2.實驗法分析法：根據(jù)系統(tǒng)運動本身的物理、化學(xué)規(guī)律，列出相應(yīng)的運動方程。如：電工學(xué)中的克?；舴蚨?；力學(xué)中的牛頓定律等。實驗法：對于運動規(guī)律很復(fù)雜的系統(tǒng)或一個未知的系統(tǒng)無法用一個準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述時，可用實驗法。數(shù)學(xué)模型有多種形式1.以時間為變量所建立的模型稱為時域模型——微分方程。2.在復(fù)平面內(nèi)建立的模型稱為復(fù)域模型——傳遞函數(shù)。3.以頻率為變量所建立的模型稱為頻域模型——頻率特性。

同一系統(tǒng)所取變量不同，其模型也不同，因此同一系統(tǒng)可用多種方法去研究。2－1時域分析法例2-1如圖所示為一由電感L、電阻R和電容C組成的電路輸入為Ur(t)，輸出為Uo(t)，輸入電流為i(t)，求輸入與輸出關(guān)系。LRCUiUoi(t)解：由元件本身的電壓和電流關(guān)系：電感：電阻：

電容：例：2-6解2-1題的微分方程設(shè)：L=1；C=1；R=1；

Uc(0)=0.1；i(0)=0.1；Ur(0)=1(t)因為：代入數(shù)據(jù)：根據(jù)KVL：UL(t)+UR(t)+UC(t)=Ur(t)

所以：

用代入，消去中間變量i(t)

得到描述電路的輸入－輸出關(guān)系的微分方程，即數(shù)學(xué)模型：

mF(t)kF2(t)=kx(t)X(t)阻尼器例2－3建立彈簧－質(zhì)量－阻尼器組成的機械位移系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型圖中：F(t):外加力，方向向下F1(t):阻尼器阻尼力，方向向上圖中：f：阻尼器阻尼系數(shù)

k：彈簧彈性系數(shù)

m:物體質(zhì)量求：在外力F(t)作用下，物體位移的運動方程。物體的位移是：x(t)；

運動速度是：速度是位移量的一階導(dǎo)數(shù)

加速度是：加速度是位移量的二階導(dǎo)數(shù)

分析：物體m受到F(t)、F1(t)、F2(t)的共同作用下，由牛頓定律：代入各元件的關(guān)系特性得：

由此得到位移x(t)與外力F(t)的關(guān)系。

X(t)是輸出量，F(xiàn)(t)是輸入量

從以上的兩例子，我們總結(jié)出建立數(shù)學(xué)模型的步驟：

1.根據(jù)元件的工作特性及其在控制系統(tǒng)中的作用，確定輸入量和輸出量。輸入量：外界加在系統(tǒng)的控制約束量；輸出量：所關(guān)心的或需測量的系統(tǒng)狀態(tài)。

2.分析元件工作中所遵循的物理規(guī)律或化學(xué)規(guī)律，列寫相應(yīng)的微分方程。

3.消去中間變量，得到輸出量與輸入量之間關(guān)系的微分方程，即是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。線性定常微分方程求解

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立后，需要對其進行分析，即求解微分方程，求解微分方程一般有兩種方法：經(jīng)典法即解微分方程和拉氏變換方法，在控制理論中多用后者。常用的幾個拉氏變換公式及定律1.階躍函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)3.三角函數(shù)4.脈沖函數(shù)拉氏變換的幾個性質(zhì)1.線性定理：2.微分定理：若：

則：

3.積分定理：

4.初值定理：

5.終值定理：例：2-6：解2-1題設(shè)：因為：代入數(shù)據(jù)：根據(jù)Laplace變換：由電容的特性：

即：

用Laplace變換求解線性常微分方程過程考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進行Laplaec變換，將微分方程轉(zhuǎn)換為變量為s的代數(shù)方程。求出輸出量的Laplac函數(shù)的表達式。如：對輸出量的Laplace變換函數(shù)求反變換，即為微分方程的解。非線性元件微分方程的線性化將非線性元件線性化有二種方法：

1.在某一定條件下，忽略非線性因素的影響，將它們視為線性元件，如：電阻、電容、電感都是在一定的條件下忽略周圍環(huán)境(溫度、濕度、壓力等)對其的影響；電動機忽略摩擦、死區(qū)等非線性因素；線性放大器忽略死區(qū)、飽和的影響。

2.切線法或小信號分析法，如晶體管放大電路的小信號分析法。ΔuQΔiiu

設(shè)非線性函數(shù)為y=f(x)在工作點(x0，y0)連續(xù)可導(dǎo)，則在工作點附近用泰勒級數(shù)展開：式中(x-x0)是自變量在x軸上的增量，當(dāng)增量很小時，可忽略高次冪項，則：

令：

2-2.復(fù)域數(shù)學(xué)模型

控制系統(tǒng)的另一個分析方法是：“傳遞函數(shù)”。傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)性能，而且可以研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)的影響。傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念。定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，是在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。設(shè)：線性定常系統(tǒng)由n階線性常微分方程描述

例：求下示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的性質(zhì)

1.傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，且具有復(fù)變量函數(shù)的性質(zhì)(s=δ+jβ)且m≤n，所有的系數(shù)均為實數(shù)。

2.傳遞函數(shù)是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達式，它只取決于系統(tǒng)的和參數(shù)，而與輸入量的形式無關(guān)，也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息(即工作狀態(tài))。如傳遞函數(shù)：式中，L、R、C均是系統(tǒng)參數(shù)。因此，可以用方框圖來表示一個具有傳遞函數(shù)為G(s)的線性系統(tǒng)。

G(s)R(s)C(S)3.傳遞函數(shù)與微分方程有互通性：

a)傳遞函數(shù)分子多項式系統(tǒng)和分母多項式系數(shù)，分別與相應(yīng)的微分方程的右邊和左邊的系數(shù)相對應(yīng)。

b)將微分方程中的用s替換即得到傳遞函數(shù)，反之將傳遞函數(shù)中的變量s用替換即得到微分方程。例：由傳遞函數(shù)

求系統(tǒng)微分方程。

解：

用替換s變量，即得微分方程。

4.傳遞函數(shù)G(s)拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t)

設(shè)：單位脈沖δ(t)作用于系統(tǒng)G(s)，其輸出為C(s)

傳遞函數(shù)的零點和極點

設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

zi：傳遞函數(shù)零點，是G（s)的分子多項式等于零時的根

Pj：傳遞函數(shù)極點，是G(s)的分母多項式（特征多項式等于零的根（特征根）如何確定傳遞函數(shù)的零點、極點1.將傳遞函數(shù)的分子、分母多式分解成因式之積，并消去公因子，即得傳遞函數(shù)的零點、極點。2.零點在分子，極點在分母。3.零點和極點可以是實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。4.在s平面上：零點用“○”表示。極點用“×”表示。jS平面

5.傳遞函數(shù)有時也分解成為：

6.當(dāng)S＝0時，

7.區(qū)別零、極點與時間常數(shù)

在（Ts+1)尾1型表達式中，T為時間常數(shù)；

在T（s+1/T）首1型表達式中，－1/T為零、極點。

8.區(qū)別根軌跡增益k*與系統(tǒng)增益K

K*=b0/a0

a0、b0為分子、分母的最高項系數(shù)

K=bm/anan

、bm為常數(shù)項。傳遞函數(shù)的極點、零點對輸出的影響

1、傳遞函數(shù)的極點就是微分方程的特征根

由上例分析可知，方程的通解由特征根決定，其運動形態(tài)，稱為模態(tài)。特征根是由系統(tǒng)的固有特性（元件、結(jié)構(gòu)）決定，它反映了系統(tǒng)運行的固有特征－－自由運動模態(tài)。

如上例中的：e-t、e-2t。

而系統(tǒng)的特解反映的是系統(tǒng)運行的穩(wěn)定狀態(tài)。將上式取拉氏變換，求其傳遞函數(shù)

所以，系統(tǒng)的極點決定著系統(tǒng)運動的自由運動模態(tài)，決定系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線的運動規(guī)律。2、零點不形成自由運動的模態(tài)，但影響著系統(tǒng)響應(yīng)曲線的形狀。

例：對比下述傳遞函數(shù)，

在c1(t)、c2(t)中，它們的自由模態(tài)相同這是因為他們有相同的極點，它們按相同的規(guī)律衰減，但它們的衰減系數(shù)不同，這是因為它們的零點不同從曲線圖上所示看，盡管c1(t)、c2(t)的模態(tài)相同，e-t、e-2t，但它們在c1(t)、c2(t)所占的比重不同。在c1(t)中模態(tài)的比重較c2(t)大，即極點的影響比零點大。tC(t)1C1(t)C2(t)從復(fù)數(shù)平面上分析

在G1(s)中零點z距兩極點的距離較遠，對極點的影響較?。辉贕2(s)中零點z距兩極點的距離較近，對極點的影響較大。推論：如果系統(tǒng)中某一零點和某一極點重疊，p=z，則該極點的影響消失。即零、極點對消。jG1(s)-2-1-0.5jG2(s)-2-1-1.33

從零、極點的相互關(guān)系看，分析的性能，可通過分析零、極點的相互作用進行，如第四章介紹的根軌跡法。

改變系統(tǒng)的性能，也可以通過增加或改變零點在s平面上的分布來校正，如第六章介紹的系統(tǒng)校正。

典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

1、電位器：電位器是一種把線位移（直線型電位器）或角位移（旋轉(zhuǎn)型電位器）變換為電壓量的裝置。忽略非線性因素，空載時，電位器的電刷位移θ(t)與輸出電壓u(t)的關(guān)系：式中：E：電源電壓；

k1：傳遞系數(shù)；

θmax：電位器最大角位移U(t)θ(t)0典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)對取拉氏變換，得：上式表明，電位器的傳遞函數(shù)是一個常量，輸出量與輸入量成正比。這個環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié)，G(s)=kKθ(S)U(S)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2、測速發(fā)電機：用來測量角速度，并將角速度轉(zhuǎn)換成電壓量，典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)所以，測速發(fā)電機，在以角速度為輸入量是比例環(huán)節(jié)；以角位移為輸入量是微分環(huán)節(jié)。ktΩ(s)U(s)ktsθ(s)U(s)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)3、伺服電動機：伺服電動機根據(jù)其輸入、輸出變量不同有幾種模型。a.以角速度ω(s)與電樞電壓的關(guān)系ua(s)，是慣性環(huán)節(jié)。b.以角位移θ(s)與ua(s)關(guān)系，是慣性加積分環(huán)節(jié)。c.以角位移θ(s)與電磁力矩Mc(s)的關(guān)系，是慣性環(huán)節(jié)。Ua(s)ω(s)Ua(s)θ(s)Mc(s)ω(s)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

1比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為：

2慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)又稱非周期環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為：

3積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：任何一個復(fù)雜的控制系統(tǒng)都可分解成由幾個簡單的環(huán)節(jié)組成，稱為典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)4微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：5二階環(huán)節(jié)

二階環(huán)節(jié)又稱為振蕩環(huán)節(jié)，其的傳遞函數(shù)為6延遲環(huán)節(jié)

延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：

2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖控制系統(tǒng)是由若干個具有一定函數(shù)關(guān)系的環(huán)節(jié)組成，并標(biāo)明信號流向的系統(tǒng)方框圖。2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖如：飛機示意圖給定裝置放大器舵機飛機

反饋電位器

垂直陀螺儀θ0θc擾動俯仰角控制系統(tǒng)方塊圖飛機方塊圖2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的繪制結(jié)構(gòu)圖包含四個基本單元（1）信號線：用帶箭頭的直線表示，箭頭表示信號流向，直線旁標(biāo)記表示信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。（2）引出點：表示信號引出或測量的位置。（3）比較點：表示對二個以上信號進行加加、減運算。（4）方框：方框表示對信號進行的數(shù)學(xué)變換，方框中寫入元件的傳遞函數(shù)。Ur(t)/ur(s)Ur(t)/ur(s)Ur(t)/ur(s)如何繪制結(jié)構(gòu)圖

1）考慮負(fù)載效應(yīng)，分別列出系統(tǒng)各元件的微分方程或傳遞函數(shù)。

2）根據(jù)信號流向用信號線依次將各方框連接起來。注意：結(jié)構(gòu)圖中方框與實際系統(tǒng)元件并非絕對一一對應(yīng)，有時一個實際元件可以用一個方框或幾個方框表示，而一個方框也可以代表幾個元件或一個子系統(tǒng)，或是一個大的復(fù)雜系統(tǒng)。2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖講解P41例2－11題1、分別寫出各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)a、比較電路：將指令值與反饋值進行比較，產(chǎn)生偏差，注意標(biāo)上e1、e2的極性。E(s)=E1(S)-E2(S)(1)b、調(diào)制器：將直流信號轉(zhuǎn)化為交流信號。U~(s)=E(s)(2)c、放大器：將控制信號放大以驅(qū)動伺服電機。Ua(s)=KAU~(s)=E(s)(3)2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖d、伺服電動機：模型見（2－49）、（2－50）e、繩輪傳動機構(gòu)L(s)=rθ(s)(7)說明：滑輪轉(zhuǎn)一圈，L＝2πrθ°為f、測量電位器：E2(s)=k1L(s)(8)2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖

2、由1－8式畫出各環(huán)節(jié)方框圖由⑴式：由⑶式：由⑷式：由⑸式：E1(s)E(s)E2(s)－kAE(S)Ua(s)MsMmθ(s)cmUa(S)Ms2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖

2、由1－8式畫出各環(huán)節(jié)方框圖(續(xù)）Jms2fmsθ(s)Mm+rθ(s)L(s)k1L(s)E2(s)由⑹式：由⑺式：由⑻式：將各環(huán)節(jié)連系起來，連接時注意依次順序fmsJms2kAcmk1rE1EE2－UaMsMm－＋θ(s)L(s)E2電機2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖

2、由1－8式畫出各環(huán)節(jié)方框圖(續(xù)）圖中，伺服電機單元用了四個方框圖表示，伺服電動機模型可合并成：則系統(tǒng)圖可以簡化為：k1kArE1EUaθ(s)L(s)E2－2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖

2、由1－8式畫出各環(huán)節(jié)方框圖(續(xù)）

對于簡單的結(jié)構(gòu)圖，其輸入、輸出關(guān)系一目了然，而對復(fù)雜的結(jié)構(gòu)圖，其連接關(guān)系是復(fù)雜的。

方框圖的基本連接，只有串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接三種。

根據(jù)方框圖的基本連接特點，對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖化簡，在化簡過程中，遵循變換前后的變量關(guān)系保持等效的原則，即：結(jié)構(gòu)圖經(jīng)變換后，雖然結(jié)構(gòu)圖發(fā)生了變化，但輸入－輸出關(guān)系不能變。2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖

結(jié)構(gòu)圖的等效變換和化簡2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖方塊圖表示的三種常見形式1、串聯(lián)形式：如等效的傳遞函數(shù)：2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖2、并聯(lián)形式，如等效的傳遞函數(shù)：2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖3、反饋聯(lián)接閉環(huán)傳遞函數(shù)2相鄰綜合點可互換位置、可合并結(jié)構(gòu)圖等效變換方法1三種典型結(jié)構(gòu)可直接用公式3相鄰引出點可互換位置、可合并

注意事項：1不是典型結(jié)構(gòu)不可直接用公式2引出點綜合點相鄰，不可互換位置比較點和引出點的移動1.比較點前移。注意區(qū)分前、后關(guān)系。注意：比較點前移，比較環(huán)節(jié)除以被越過環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。G(s)R(s)C1(s)C(s)±Q(s)G(s)R(s)C(s)±Q(s)比較點和引出點的移動2.比較點后移：比較點后移時，比較環(huán)節(jié)乘以被越過環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。R(s)G(s)±Q(s)C(s)R(s)±G(s)G(s)R(s)Q(s)C(s)比較點和引出點的移動其余的移動方法見P47表2－1引出點移動G1G2G3G4H3H2H1G41abG1G2G3G4H3H2H1請你寫出結(jié)果,行嗎？G2H1G1G3比較點移動錯！G1G2G3H1G2無用功向同類移動G1G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1比較點和引出點的移動方塊圖的簡化

Note:只有當(dāng)一個方塊的輸出量不受其后的方塊影響時，才能夠?qū)⑺麄兇?lián)連接。如果在這些環(huán)節(jié)之間存在著負(fù)載效應(yīng)，就必須將這些環(huán)節(jié)合并為一個單一的方塊。方塊圖代數(shù)法則1、比較點前移2、輸出點前移3、輸出點后移4、等效為單位反饋方塊圖簡化過程中，應(yīng)記住以下兩條原則（1）前向通道中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變；（2）回路中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變比較點和引出點的移動舉例說明方塊圖的變換和簡化：將圖(a)中的比較點前移將圖(b)中最里層的反饋環(huán)節(jié)化簡（a）（b）比較點和引出點的移動將圖（C）中內(nèi)環(huán)的反饋環(huán)節(jié)消去簡化（c）（d）（e）

信號流圖的組成以及性質(zhì)信號流圖是研究線性系統(tǒng)的信號流向的另一種形式信號流圖由節(jié)點和支路二個要素組成，節(jié)點用“”表示，支路用定向線段“”表示。節(jié)點表示系統(tǒng)方程式中的變量－類似于結(jié)構(gòu)圖中的信號線。支路表示兩個變量之間的因果關(guān)系－類似于結(jié)構(gòu)圖中的方框。如：U=RI

用信號流圖表示：對于歐姆定律，也可以表示為:所以，對于同一系統(tǒng)，信號流圖不是惟一的。IRUU1/RI2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖(Link1)如右圖的信號流圖，圖中有6個變量，9條支路組成。

6個變量：x1、x2、x3、x4、x5、X6。

9條支路：1、a、b、c、d、e、f、g、1。(Link2)

(Link3)dx6x11abcx2x3x4efgx51

信號流圖表示的相互關(guān)系：

X1=x1X2=x1+ex3X3=ax2+fx4X4=bx3X5=cx4+dx2+gx5X6=x52-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖信號流圖的基本性質(zhì)

1、節(jié)點標(biāo)志系統(tǒng)的變量，節(jié)點自左向右順序設(shè)置，每個節(jié)點標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點的信號之代數(shù)和。從同一個節(jié)點流向各支路的信號都用該節(jié)點的變量表示。如節(jié)點x3標(biāo)志的變量是來自節(jié)點x4和節(jié)點x2的信號之和，x3=ax2+fx4

再如：x2節(jié)點既流向x3節(jié)點，又流向x5節(jié)點。

2、支路相當(dāng)于乘法器，當(dāng)信號流經(jīng)支路時，信號被乘以支路增量，就變換成為另一信號。如，x4=bx3；x3乘以b后變成x4。2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖3、信號在支路上只能沿箭頭傳遞。4、對于給定的系統(tǒng)，信號流圖不是唯一的（原因前面已講過）2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖名詞術(shù)語：

1、源節(jié)點（輸入節(jié)點）：在源節(jié)點上，只有信號輸出的支路，沒有信號輸入支路。如節(jié)點：x12、阱節(jié)點（輸出節(jié)點）：在阱節(jié)點上只有輸入支路，而沒有輸出支路，如節(jié)點：x63、混合節(jié)點：既有輸入支路，又有輸入出支路，如節(jié)點：x2、x3、x4、x5。

4、前向通路：信號從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點傳遞過程中，每個節(jié)點只通過一次的通路。2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖(Link2)前向通路上各支路增益之積，稱為前向通路總增益。如上圖有兩條前向通路：一條為：x1－x2－x3－x4－x5－x6

其總增益：p1=abc

另一條為：x1－x2－x5－x6

總增益為：p2=d(Link1)2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖(Link3)5、回路：起點和終點在同一節(jié)點，回路中所有支路的增益之積稱為回路增益。如：回路1

x2－x3－x2

增益：La=ae

回路2

x3－x4－x3

增益：Lb=bf回路3

x5－x5

增益：Lc=g6、不接觸回路：沒有公共節(jié)點的回路。如：x2－x3－x2

回路與x5－x5回路沒有公共節(jié)點

x3－x4－x3

回路與x5－x5回路也沒有公共節(jié)點而：x2－x3－x2與x3－x4－x3有公共節(jié)點（Link1)2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖信號流圖的繪制

1、由微分方程繪制信號流圖

a.首先將微分方程進行拉氏變換

b.對系統(tǒng)的每一個變量指定一個節(jié)點

c.按照變量的因果關(guān)系，從左向右排列

d.用標(biāo)明支路增益的支路，根據(jù)數(shù)學(xué)方程式將各個節(jié)點變量正確連接。2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖例：求電路的信號流圖，設(shè)電容器的初始電壓值為uc(0)。列方程：i2Ci1R1iR2uiuo2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖ui1I1SR1CUc(0)-c1II2R2Uo-11ui－uc2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖

由結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖由結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖按以下步驟：a.變量在結(jié)構(gòu)圖上是用信號線表示，在信號流圖上是用圓圈表示；所以在結(jié)構(gòu)圖上的信號線上用小圓圈標(biāo)志出傳遞信號，便是節(jié)點。b.變量之間的因果關(guān)系（即傳遞函數(shù)）在結(jié)構(gòu)圖上是用方框表示；在信號流圖上是用支路表示。c.所以在方框圖上的信號傳遞線上用“°”標(biāo)志變量，作為信號流圖的節(jié)點。d.用支路表示方框中的函數(shù)關(guān)系。2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖

為了簡化信號流圖，圖上支路增益為1的相鄰的兩個節(jié)點一般可以合并為一個節(jié)點，但對于源節(jié)點或阱節(jié)點不能合并，同時。有比較關(guān)系的節(jié)點也不能合并。由結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)化為信號流圖時要注意

1、在結(jié)構(gòu)圖上，比較點之前沒有引出點，只需要在比較點后設(shè)置一個節(jié)點即可。G1(s)G4(s)G3(s)G2(s)e1e2e3－G1(s)-G2(s)G3(s)G4(s)由結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)化為信號流圖時要注意

2、在比較點之前有引出點時，需要在引點和比較點各設(shè)置一個節(jié)點分別標(biāo)志兩個變量，而這二個節(jié)點之間的支路增益是1。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)e1－e3G1(s)G4(s)1e1e3G3(s)-G2(s)梅遜（Mason)公式用梅遜公式可以直接求出從源節(jié)點到阱節(jié)點的傳遞函數(shù)。梅遜公式是根據(jù)克萊姆法則求解線性方程組，將解的分子多項式和分母多項式與信號流圖相聯(lián)系，得出來的結(jié)果。如右信號流圖：從輸入到輸出端有二條前向通道：p1=abcd和p2=e有三個閉環(huán)：La=bf、Lb=gc和Lc=dh有二個不接觸回環(huán)：La=bf與Lc=dhabcd1efghurucx1x2x3x4梅遜（Mason)公式根據(jù)信號流圖列出方程組x1=fx2+aurx2=bx1+gx3x3=cx2+hx4x4=dx3+eur整理得：X1－fx2

=aurbx1－x2+gx3

=0

cx2－x3+hx4=0

－dx3+x4=eur梅遜（Mason)公式用克萊姆法則求出x4(即變量uc)梅遜（Mason)公式分析這個傳遞函數(shù)表達式：分母：dh、gc、bf分別是三個閉環(huán)的增益，而fbdh是二個不接觸閉環(huán)bf與dh之積分子：abcd是一條前向通道

e(1－gc－bf)中，e是另一條前向通道，而1－gc－bf中，gc、bf分別是與e不相接觸的二個回環(huán)的增益。Pk—從R(s)到C(s)的第k條前向通路傳遞函數(shù)梅遜公式介紹R-CC(s)R(s)=∑Pk△k△:△稱為系統(tǒng)特征式△=其中:—所有單獨回路增益之和∑La∑LbLc—所有兩兩互不接觸回路增益乘積之和∑LdLeLf—所有三個互不接觸回路增益乘積之和△k稱為第k條前向通路的余子式△k求法:去掉第k條前向通路后所求的△-∑La+∑LbLc-∑LdLeLf+…1△k=1-∑LA+∑LBLC-∑LDLELF+…R(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)H3(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)G4(s)G3(s)梅遜公式例R-C

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)P2=G4G3P1=G1G2G3△1=1△2=1+G1H1C(s)R(s)=?請你寫出答案，行嗎？四個單獨回路，兩個回路互不接觸e1abcdfghC(s)R(s)C(s)R(s)=1––––++前向通路兩條信號流圖afbgchefhgahfced(1g)–bdabc應(yīng)用梅遜公式的要點從信號流圖上：1、找出所有的前向通道數(shù)n；2、找出所有的前向通道求pk；3、找所有的回環(huán)，求ΣLa；4、在所有的回環(huán)中區(qū)分出不接觸回路求：ΣLbLc、以及ΣLdLeLf……；5、按式子Δ=1-Σla+ΣLbLc-ΣLdLeLf+…，求出Δ；6、區(qū)分所有與第k條前向通道不接觸的回環(huán)求Δk；7、代入公式：閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)典型的閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖：圖中，R(s)，N(s)都是作用于系統(tǒng)的外加信號。R(s)是有用輸入信號，研究有用作用R(s)對系統(tǒng)輸出C(s)的影響要求傳遞函數(shù)N(s)是擾動信號，擾動作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)有時還常涉及R(s)與N(s)共同作用下的輸出C(s)。B(s)G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)－N(s)C(s)以及在R(s)或N(s)作用下，以誤差信號E(s)作為輸出量的閉環(huán)誤差傳遞函數(shù):閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1．輸入R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)，令：N(s)=0

只考慮R(s)的作用G1(s)H(s)G2(s)R(s)C(s)－閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2．在擾動作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)，令：R(s)=0

只考慮

N(s)的作用H(s)G1(s)G2(s)N(s)C(s)G1(s)H(s)G2(s)N(s)C(s)－閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)3．由疊加原理，當(dāng)R(s)和N(s)同時作用于系統(tǒng)時的輸出：結(jié)論：反饋系統(tǒng)的輸出信號近似對輸入信號完全復(fù)現(xiàn)，且對擾動具有較強的抑制能力閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

4．由R(s)作用下的誤差傳遞函數(shù)：以E(s)作為輸出量，R(s)為輸入量，N(s)=0閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)5．由N(s)作用下的誤差傳遞函數(shù)：以E(s)作為輸出量，N(s)為輸入量，R(s)=0H(s)G1(s)G2(s)N(s)C(s)E(s)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)討論：在以上幾種形式的閉環(huán)傳遞函數(shù)中，它們的分母都相同，Δ＝1＋G1(s)G2(s)H(s)，這是因為它們的結(jié)構(gòu)圖都相同。式中：G1(s)G2(s)H(s)是回路增益，它等效為主反饋斷開時，前向通道與反饋通道傳遞函數(shù)之積，稱為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。在研究各種信號作用下的輸出量C(s)或誤差量E(s)時，可應(yīng)用疊加原理求ΣC(s)或ΣE(s)。但絕不允許將各種閉環(huán)傳遞函數(shù)進行疊加后求其輸出響應(yīng)。ΣC(s)＝CR(s)+CN(s)ΣE(s)=ER(s)+EN(s)但：Φ’(s)≠Φ(s)+ΦN(s)2-4數(shù)學(xué)模型測定方法一、模型模型有三種測定方法

1、時域測定法：對被測系統(tǒng)或?qū)ο笤谳斎攵耸┘与A躍信號而在輸出端測繪響應(yīng)曲線。

2、頻域測定法：對被測對象施加不同頻率的正弦波，測出輸入信號與輸出信號之間的幅值比和相位差，繪出被測對象的頻率特性。

3、統(tǒng)計相關(guān)測定法。2-4數(shù)學(xué)模型測定方法二、輸入測試信號的選擇：在試驗中首選階躍輸入信號作為時域測定方法的輸入信號，因為階躍響應(yīng)比較直觀地反映了系統(tǒng)的動態(tài)特性，并從響應(yīng)曲線容易求出其對應(yīng)的傳遞函數(shù)。2-4數(shù)學(xué)模型測定方法三、實驗結(jié)果的處理：響應(yīng)曲線測定后，為了分析和設(shè)計控制系統(tǒng)，要將響應(yīng)曲線轉(zhuǎn)化為函數(shù)，在轉(zhuǎn)化過程中，首選要選定模型結(jié)構(gòu)，工業(yè)過程常用典型函數(shù)有：2-4數(shù)學(xué)模型測定方法一般來說，常將測試到的階躍響應(yīng)曲線與標(biāo)準(zhǔn)的一階或二階階躍響應(yīng)曲線相比較，以決定相近的傳遞函數(shù)形式，然后再對實驗數(shù)據(jù)處理，求得相應(yīng)的傳遞函數(shù)參數(shù)。對于同一條響應(yīng)曲線而言，采用低階傳遞函數(shù)擬合，其數(shù)據(jù)處理簡單，但準(zhǔn)確度較低，而用高階傳遞函數(shù)擬合，則數(shù)據(jù)處理復(fù)雜，但擬合精度也較高。對于常用的PID控制閉環(huán)系統(tǒng)，并不要求非常準(zhǔn)確的模型，因此，在滿足精度要求的情況下，常用低階傳遞函數(shù)來擬合。2-4數(shù)學(xué)模型測定方法⑴有延遲一階慣性環(huán)節(jié)擬合近似法。(2)設(shè)階躍輸入幅值為Δu，則增益KABτTy(∞)ty(t)拐點P時間常數(shù)T及延遲時間τ可用作圖法確定，在拐點P作切線，切線交于時間軸于A點，而與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)值的漸近線交于B點。

0A對應(yīng)于延遲時間，AB則對應(yīng)于時間常數(shù)T。這種擬合精度較差，但方法簡便，故應(yīng)用較為廣泛。2-4使用Matlab求解系統(tǒng)模型一、如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表達式G（s），分子、分母多項式表示，在Matlab環(huán)境下（1）創(chuàng)建兩個行向量，按降階順序分別包含分子和分母多項式中s各次冪的系數(shù)。（2）使用tf命令建立傳遞函數(shù)。建立分子多項式向量：num=[43]建立分母多項式向量：den=[165]建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)命令：G=tf(num,den)2-4使用Matlab求解系統(tǒng)模型運行結(jié)果：2-4使用Matlab求解系統(tǒng)模型二、如果如