第五章自動控制原理線性系統(tǒng)的頻域分析

第五章線性系統(tǒng)的頻域分析在正弦信號作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量稱為頻率響應(yīng)。系統(tǒng)頻率響應(yīng)與正弦信號之間的關(guān)系成為頻率特性。

頻率特性不僅能夠反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，而且還可以用來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性和暫態(tài)性能。頻域分析法是一種圖解分析法，其特點是可以根據(jù)開環(huán)頻率特性去判斷閉環(huán)系統(tǒng)的性能，并能方便地分析系統(tǒng)中的參量對系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的影響，從而進一步指出改善系統(tǒng)性能的途徑。1/16/2023頻率特性有明確的物理意義，許多元件和穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性可用實驗方法測定，這對于一些難于采用分析方法的情況，這一特點具有特別重要的意義。

頻率特性主要適用于線性定常系統(tǒng)，在線性定常系統(tǒng)中，頻率特性與輸入正弦信號的幅值和相位無關(guān)。

頻率特性的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)為傅立葉變換。

本章學(xué)習(xí)頻率特性的基本概念、典型環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的頻率特性，乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)及系統(tǒng)相對穩(wěn)定性，系統(tǒng)性能的頻域分析方法，頻率特性的實驗確定方法等.1/16/2023頻率特性的概念設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。給系統(tǒng)輸入一個幅值不變頻率不斷增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲線如下:40結(jié)論給穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個正弦，其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦，幅值隨ω而變，相角也是ω的函數(shù)。不1/16/20231/16/2023第一節(jié)頻率特性對圖5-1-1所示電路，當(dāng)輸出阻抗足夠大時，可以得出此電路的傳遞函數(shù)為：1/16/2023§５－１頻率特性設(shè)輸入其拉氏變換為則輸出的拉氏變換為求拉氏反變換，得其中暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量1/16/2023§５－１頻率特性RC電路的頻率響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：RC電路的頻率特性為：式中為幅頻特性為相頻特性1/16/20231/16/2023§５－１頻率特性（１）幅頻特性反映系統(tǒng)對不同頻率正弦信號的穩(wěn)態(tài)衰減（或放大）特性．（２）相頻特性表示系統(tǒng)在不同頻率正弦信號下輸出的相位移．（３）已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，令，可得系統(tǒng)的頻率特性。（４）頻率特性包含了系統(tǒng)的全部動態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，反映了系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì)．1/16/2023G(jω)可以分為實部和虛部：X(ω)稱為實頻特性，Y(ω)稱為虛頻特性1/16/2023２．頻率特性的圖形表示幅相頻率特性：幅頻特性相頻特性實頻特性虛頻特性相互關(guān)系：1/16/2023當(dāng)頻率ω從零至無窮大變化時，頻率特性的模和幅角也隨之變化，矢量端點在復(fù)數(shù)平面上畫出一條曲線。該曲線表示了以ω為參變量，模與幅角之間的關(guān)系。這條曲線通常被稱為幅相頻率特性曲線或奈奎斯特(Nyquist)曲線，該曲線連同坐標(biāo)一起稱為幅相頻率特性圖或極坐標(biāo)圖或奈奎斯特圖。1/16/2023§５－１頻率特性例１．繪制慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性，其中解：這里規(guī)定幅相頻率特性圖的實軸正方向為相位的零度線，矢量逆時針轉(zhuǎn)過的角度為正，順時針轉(zhuǎn)過的角度為負(fù)。圖中用箭頭標(biāo)明ω從小到大的方向。由于幅頻特性為ω的偶函數(shù)，相頻特性為ω的奇函數(shù)，則ω從0變化+∞和ω從-∞變化到0的幅相頻率特性曲線關(guān)于實軸對稱，因此一般只繪制山從0到+∞的幅相頻率特性曲線。1/16/2023§５－１頻率特性描點后可得慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性圖列表1/16/2023幅相頻率特性曲線的優(yōu)點是在一張圖上同時給出了整個頻率域的幅頻特性和相頻特性。它比較簡潔直觀地表明了系統(tǒng)的頻率特性。主要缺點是不能明顯地表示出系統(tǒng)傳遞函數(shù)中各個環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中的作用。

幅相曲線主要用于判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，故只需要概略地繪制。1/16/2023………………1乃氏圖的繪制（1）基本法1）作表格2）在復(fù)平面上找到相應(yīng)的點，用光滑曲線連起來。表5-1

幅相表………………1/16/2023（2）求實部、虛部分別計算的實部和虛部，在復(fù)平面上找到相應(yīng)點，用光滑曲線連起來。1/16/2023

（3）找特殊點找到幾個特殊點繪制大致圖形若存在漸近線，找出漸近線，繪出幅相頻率特性圖，如果需要另半部分，可以用鏡像原理，做出全頻段的幅像特性圖1/16/2023

典型環(huán)節(jié)的乃氏圖（幅相頻率圖）的繪制1比例環(huán)節(jié)1/16/2023

2積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)1/16/2023

3慣性環(huán)節(jié)和一階微分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)：1/16/2023

證明慣性環(huán)節(jié)的幅頻特性是一個半圓：寫出實部與虛部各自的參量方程如下：1/16/2023

一階微分環(huán)節(jié)：1/16/2023（2）對數(shù)頻率特性圖（伯德圖）對數(shù)幅頻特性曲線以頻率ω為橫坐標(biāo)，并采用對數(shù)分度；縱坐標(biāo)表示對數(shù)幅頻特性的函數(shù)，單位為分貝（dB），線性分度，對數(shù)相頻特性曲線的橫坐標(biāo)與對數(shù)幅頻特性曲線相同；縱坐標(biāo)表示相頻特性的函數(shù)值單位為度（°）線性分度，對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性組成的對數(shù)坐標(biāo)圖，稱之為伯德圖。1/16/2023§５－１頻率特性伯德圖由對數(shù)幅頻特性和相頻特性兩個圖組成，橫坐標(biāo)是對數(shù)坐標(biāo)，縱軸是線性坐標(biāo)。例２繪制慣性環(huán)節(jié)的伯德圖，其中慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性為：（單位分貝，記為dB）相頻特性為1/16/2023§５－１頻率特性伯德圖中的對數(shù)幅頻特性用近似曲線方法繪制。

b.當(dāng)?時，

（在半對數(shù)坐標(biāo)系中是直線方程，斜率為-20dB/dec,dec表示10倍頻程）a.當(dāng)

?

時，

（在半對數(shù)坐標(biāo)系中是和橫軸重合的水平線）-20dB/dec1/16/2023§５－１頻率特性稱為慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，水平線和斜率為－20dB/dec的直線在該處連接。1/16/2023§５－１頻率特性慣性環(huán)節(jié)近似曲線和精確曲線的最大誤差發(fā)生在處，為相頻特性可用描點方法繪制，其特點是曲線關(guān)于奇對稱。1/16/2023對數(shù)幅頻特性為一直線典型環(huán)節(jié)的伯德圖一、比例環(huán)節(jié):1/16/2023§５－２典型環(huán)節(jié)的頻率特性二．慣性環(huán)節(jié)

1/16/2023§５－２典型環(huán)節(jié)的頻率特性三．積分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù) 它的輸出量是輸入量對時間的積分． 幅相頻率特性上式表明，積分環(huán)節(jié)的幅頻特性與頻率成反比，而相頻特性恒為．1/16/2023§５－２典型環(huán)節(jié)的頻率特性轉(zhuǎn)折點1/16/2023§５－２典型環(huán)節(jié)的頻率特性四．微分環(huán)節(jié)１．理想微分環(huán)節(jié):1/16/2023§５－２典型環(huán)節(jié)的頻率特性２．比例微分:1/16/2023§５－２典型環(huán)節(jié)的頻率特性五．振蕩環(huán)節(jié)—時間常數(shù)—阻尼比，只討論欠阻尼情況，因為過阻尼可分解成兩個慣性環(huán)節(jié)

—自然振蕩角頻率1/16/2023§５－２典型環(huán)節(jié)的頻率特性1/16/2023§５－２典型環(huán)節(jié)的頻率特性在低頻段（?），．在高頻段（?），高頻段漸進線是一條斜率為－40dB/dec的直線．交接頻率為．在轉(zhuǎn)折頻率附近，實際幅頻特性與漸近線之間存在較大的誤差。誤差的大小取決于值。越小，誤差越大。當(dāng)時，在幅頻特性上出現(xiàn)峰值．振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性，可以在漸近線的基礎(chǔ)上，根據(jù)書上誤差校正曲線進行修正．1/16/2023-90°-180°1/16/20231/16/2023§５－２典型環(huán)節(jié)的頻率特性六．滯后環(huán)節(jié)相位滯后角與成正比。越大，相位滯后隨ω的增長越快．1/16/20231/16/2023一．極坐標(biāo)圖的繪制有兩種方法：逐點計算法和概略曲線繪制法

1、逐點計算法：

逐點計算法就是在研究的頻段內(nèi)，根據(jù)不同的ω值，依次代入系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的表達式，逐點計算出幅頻特性和相頻特性的值，并在選定的極坐標(biāo)上逐點繪制，然后用光滑的曲線連接各點，所得到的曲線即為系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線。顯然，這種方法是比較麻煩的。1/16/2023

2．概略曲線繪制法：概略幅相頻率特性曲線的繪制方法比較簡單。在一般情況下，只要概略曲線在要研究的點附近有足夠的精度，且概略曲線能保持準(zhǔn)確曲線的重要特征，頻率特性即可用概略幅相頻率特性曲線來描述。

下面先介紹幅相頻率特性曲線的一般規(guī)律和特點，然后舉例說明概略曲線的繪制方法。1/16/2023設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：式中為開環(huán)增益；為系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)系統(tǒng)的頻率特性為：（5-91）1/16/2023（1）起點在低頻段由式（5-19）可知，當(dāng)時：0型系統(tǒng)：起點由開環(huán)增益K決定，起始于（K，j0)非0型系統(tǒng)：起點由系統(tǒng)的型號決定。1型系統(tǒng)：起始于相角為-90°的無窮遠處；2型系統(tǒng)：起始于相角為-180°的無窮遠處；1/16/2023（2）終點在高頻段由式（5-19）可知，當(dāng)時，因為：可見，系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線將按角度終于坐標(biāo)原點1/16/20231/16/2023

1/16/2023§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制幅相頻率特性特點：（１），曲線起始于正實軸的（Ｋ，j０）點（２），曲線沿－(n－m)×90°的方向趨近于坐標(biāo)原點．其中n為傳遞函數(shù)分母階次，m為分子階次．１．０型系統(tǒng))(wjQ)(wP0=wwk0￥=w1/16/2023§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制２．Ⅰ型系統(tǒng)幅相頻率特性如圖。特點：（１）時，，是一條平行于虛軸，趨向無窮遠的直線．（２），曲線沿－(n－m)×90°的方向趨近于坐標(biāo)原點．1/16/2023§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制３．Ⅱ型系統(tǒng)特點：（１），，是一條和實軸平行伸向無窮遠的直線．（２），曲線沿－(n－m)×90°的方向趨近于坐標(biāo)原點．幅相頻率特性如圖。1/16/2023

3、曲線的拐點系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點和極點直接影響幅頻特性的凹凸特性，在式（5-91）中，如果系統(tǒng)無零點，即不存在超前環(huán)節(jié)，則系統(tǒng)在只有極點即滯后環(huán)節(jié)的作用下，幅頻特性曲線的相位將單調(diào)減小，曲線上無凹凸，如果系統(tǒng)有零點，由于超前環(huán)節(jié)的相位超前作用，曲線上將會出現(xiàn)拐點。此時，時間常數(shù)大的環(huán)節(jié)在相位上先起作用。1/16/20234、漸近線

1型系統(tǒng)的幅相特性曲線在低頻段的漸近線是平行于虛軸且交于點（x,j0)的直線，交點橫坐標(biāo)可根據(jù)下式計算：1/16/20235、與虛軸的交點幅相頻率特性曲線與虛軸的交點的頻率可由下式求出，即令（5-91）式的實部為零：將求出的頻率帶入（5-91）的實部，則的值即為幅相頻率特性曲線與虛軸交點的縱坐標(biāo)1/16/20236、與實軸的交點幅相頻率特性曲線與實軸的交點的頻率可由下式求出，即令（5-91）式的虛部為零：將求出的頻率帶入（5-91）的實部，則的值即為幅相頻率特性曲線與實軸交點的橫坐標(biāo)1/16/2023例題：已知某單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制其概略幅相頻率特性曲線．解：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：①曲線的起點：系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，所以曲線起始于相角為－９０°的無窮遠處②曲線的終點：系統(tǒng)的n=3、m=0，所以曲線將按-２７０°終止于坐標(biāo)原點。1/16/2023③曲線的拐點：該系統(tǒng)無零點，所以曲線無拐點。④漸近線：該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，所以其幅相頻率特性曲線的起點在平行于負(fù)虛軸的無窮遠處，低頻漸近線的橫坐標(biāo)為：⑤曲線與實軸的交點坐標(biāo)：得：帶入實部得：1/16/2023§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制二．系統(tǒng)伯德圖的繪制

設(shè)開環(huán)系統(tǒng)由n個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成：

可見，當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)由若干典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時，其對數(shù)幅頻特性和相頻特性分列為各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性之和．因此繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性的方法之一，就是畫出各環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性，然后相加．1/16/2023例5-3-1繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為的0型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的伯德圖，其中1/16/2023§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制°0°-90°-180)(wjw)(wLwKLlg201=11t21t)(2wL)(3wL)(wLdecdB/40-decdB/20-1/16/2023Ⅰ型系統(tǒng)：1/16/2023例5-3-21.為避免差錯，必須將化成如上標(biāo)準(zhǔn)形式，即典型環(huán)節(jié)頻率特性的乘積。寫出幅頻特性、對數(shù)幅頻特性和相頻特性表達式1/16/2023比例環(huán)節(jié)：４，20lg4=12dB2.分析組成系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)，并按轉(zhuǎn)折頻率從大到小的順序列出．積分環(huán)節(jié)：1/16/2023振蕩環(huán)節(jié)：３．選定伯德圖各坐標(biāo)軸的比例尺，和頻率范圍，一般取最低頻率為最小轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，最高頻率為最大轉(zhuǎn)折頻率的10倍左右，注意，軸是對數(shù)刻度，最低頻率不可能取作０．慣性環(huán)節(jié)：一階微分環(huán)節(jié)：從低頻到高頻畫出對數(shù)幅頻特性的漸近線．在取最低頻率為0.1，最高頻率為100．1/16/2023①低頻漸近線是斜率為-20vdB/dec的直線，其中v為積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，在處，漸近線通過20lgK這一點。 此處，v=1，20lg4=12dB，通過作斜率為-20dB/dec的直線．②在最小轉(zhuǎn)折頻率處，漸近線斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec，這是慣性環(huán)節(jié)起作用的結(jié)果．③當(dāng)頻率高于轉(zhuǎn)折頻率時，一階微分環(huán)節(jié)將起作用，漸近線斜率從-40dB/dec變?yōu)?/p>

-20dB/dec.

1/16/2023§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制④考慮振蕩環(huán)節(jié)的作用，在處，漸近線的斜率將有-40dB/dec的改變，形成斜率為-60dB/dec的漸近線．4．必要時，按誤差校正曲線，對漸近線進行修正，得到精確的對數(shù)幅頻特性。5．根據(jù)各環(huán)節(jié)的相頻特性，可以繪制系統(tǒng)的相頻特性．1/16/2023§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制 在分析和設(shè)計系統(tǒng)時，往往對對數(shù)幅頻特性曲線與ω軸交點頻率—稱剪切頻率附近的相頻特性比較感興趣．因此也可以在附近取幾個頻率點，代入的表達式，用解析的方法求出相頻特性的幾個點．低頻段和高頻段均可按的變化趨勢畫出．如此例有1/16/20231020304050600.11-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec斜率的確定1/16/2023°0°-90°-180°-270decdB/20-decdB/20-decdB/40-decdB/60-1.05.012810201010-20-)(wj)(wL12(1,20lgK)1/16/2023綜上所述，可以將繪制對數(shù)幅頻特性的步驟歸納如下

(4)從低頻段開始，隨著ω的增加，每遇著一個典型環(huán)節(jié)的交接頻率（慣性環(huán)節(jié)減小-20dB/dec，1階微分環(huán)節(jié)增加+20dB/dec。振蕩環(huán)節(jié)：減小-40dB/dec等原則改變一次斜率；(1)計算各典型環(huán)節(jié)的交接頻率：

(2)計算20lgK的分貝值；

(3)通過ω=1，L(ω)=20lgK之點，繪制斜率為-20vdB/dec的低頻段。其中v為開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)積分環(huán)節(jié)數(shù)。(5)必要時可利用誤差修正曲線，對交接頻率附近的曲線進行修正，以求得更準(zhǔn)確的特性。1/16/2023補充：系統(tǒng)類型和對數(shù)幅頻特性曲線之間的關(guān)系為了討論問題的方便，僅考慮單位反饋控制系統(tǒng)。靜態(tài)位置、速度和加速度誤差系數(shù)分別描述了0型、1型和2型系統(tǒng)的低頻特性，系統(tǒng)的類型確定了對數(shù)幅頻特性曲線低頻段的斜率。因此，在給定的輸入信號作用下，一個系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差，以及穩(wěn)態(tài)誤差的大小，都可以從對數(shù)幅頻特性曲線的低頻段的特性得到。1/16/20231．靜態(tài)位置誤差系數(shù)的確定設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的方框圖如圖5-41所示。設(shè)該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：頻率特性：1/16/2023圖5-42為一個0型系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性的曲線。在這個系統(tǒng)中，G(jω)的幅值在低頻時等于靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp,即因而系統(tǒng)的低頻漸近線是一條幅值為的水平線。0型系統(tǒng)頻率特性1/16/20232．靜態(tài)速度誤差系數(shù)的確定圖5-43為一個1型系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性的曲線。對于1型系統(tǒng)，在低頻段有：所以有：由上式可知，斜率為-20dB／dec的起始線段(或其延長線)，與ω=1的直線的交點處的幅值等于1/16/2023另外，從上圖可以看出，斜率為-20dB/dec的起始線段（或其延長線）與0dB線交點的頻率在數(shù)值上等于靜態(tài)速度誤差系數(shù)KV，設(shè)交點處的頻率為ωv，則：對數(shù)直線方程：1/16/20233．靜態(tài)加速度誤差系數(shù)的確定圖5-44為一個2型系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性的曲線。對于2型系統(tǒng)，在低頻段有：所以：由上式可知，斜率為-40dB／dec的起始線段(或其延長線)，與ω=1的直線的交點處的幅值等于1/16/2023另外，從上圖可以看出，斜率為-40dB/dec的起始線段（或其延長線）與0dB線交點的頻率在數(shù)值上等于靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka的平方根。設(shè)交點處的頻率為ωa

，則：1/16/20231/16/2023低頻段：在第一個轉(zhuǎn)折頻率頻率以前的區(qū)段低頻段斜率絕對值越大，位置越高，對應(yīng)于串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目越多（類型越高），開環(huán)增益越大。故閉環(huán)系統(tǒng)在滿足是穩(wěn)定的條件下，低頻段斜率絕對值越大，其穩(wěn)態(tài)誤差越小，動態(tài)響應(yīng)的最終精度越高。1/16/2023中頻段：在剪切頻率附近的區(qū)段，這一區(qū)段的特性反映了閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)定性和快速性1/16/2023由于遠離ωc,一般分貝值較低，對系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)影響不大，但從系統(tǒng)抗干擾性的角度看，高頻段是很重要的，它直接反映了系統(tǒng)對輸入端高頻干擾信號的抑制能力，分貝值越低，抗干擾能力越強。高頻段：中頻段以后的區(qū)段，這一區(qū)段的特性反映了閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)定性和快速性總之，在頻率特性的三個頻段中，低頻段決定了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度；中頻段決定了系統(tǒng)的平穩(wěn)性和快速性；高頻段決定了系統(tǒng)的抗干擾能力1/16/2023§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制三．最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)—系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點，零點都位于 左半Ｓ平面．非最小相位系統(tǒng)—在右半Ｓ平面存在極點，零點．最小相位系統(tǒng)的特點：１．不含有滯后環(huán)節(jié)，或不穩(wěn)定的環(huán)節(jié)２．對于具有相同幅頻特性的系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)的相角最?。常l特性和相頻特性之間存在著唯一的對應(yīng)關(guān)系，因此只要知道其對數(shù)幅頻特性，就可以畫出其相頻特性，也可以寫出其傳遞函數(shù)。而非最小相位系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性之間不存在這種唯一對應(yīng)關(guān)系．1/16/2023§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制例５－５有二個系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)分別為比較它們對數(shù)頻率特性．解：G2(s)中含有滯后環(huán)節(jié)，為非最小相位系統(tǒng)．1/16/2023最小相位系統(tǒng)，相角在時變?yōu)閚為極點數(shù)，m為零點數(shù)。對數(shù)幅值曲線的斜率為并且相角等于那么該系統(tǒng)就是最小相位系統(tǒng)。判斷最小相位系統(tǒng)的另一種方法時的斜率都等于兩個系統(tǒng)的對數(shù)幅值曲線在因此，為了確定系統(tǒng)是不是最小相位的既需要檢查對數(shù)幅值曲線高頻漸近線的斜率，又需檢查在時相角如果當(dāng)時1/16/2023§５－３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制最小相位系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性和相頻特性的關(guān)系：１．低頻段對數(shù)幅頻特性的斜率為-20υdB/dec時，相頻特性趨于－90°×υ２．高頻段對數(shù)幅頻特性的斜率-20（n－m）dB/dec時，相頻特性趨近于－90°×（n－m）1/16/2023例題3：已知最小相位開環(huán)系統(tǒng)的漸近對數(shù)幅頻特性如圖所示。試寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。繪制相應(yīng)的相頻特性圖。

020L(dB)

w20dB/dec-20dB/dec-60820-40-20dB/dec-2010640dB/dec-1/16/2023（3）圖中頻段上，對數(shù)幅頻特性斜率為，這意味著在出現(xiàn)了慣性環(huán)節(jié)，即:（1）由圖可知在頻率之前，對數(shù)幅頻特性斜率為這是積分環(huán)節(jié)解:(2)

020L(dB)

w20dB/dec-20dB/dec-60820-40-20dB/dec-2010640dB/dec-1/16/2023（4）圖中頻段上，對數(shù)幅頻特性由原來的變?yōu)椋闯霈F(xiàn)了一階微分環(huán)節(jié):（5）圖中頻段上，對數(shù)幅頻特性斜率為，即由原來的變?yōu)?，即出現(xiàn)了一階微分環(huán)節(jié)

020L(dB)

w20dB/dec-20dB/dec-60820-40-20dB/dec-2010640dB/dec-1/16/2023（6）圖中以后頻段上，對數(shù)幅頻特性斜率為，即出現(xiàn)了慣性環(huán)節(jié)，亦即因此:

020L(dB)

w20dB/dec-20dB/dec-60820-40-20dB/dec-2010640dB/dec-1/16/20231/16/2023思考題：102030400.1ω1ω2ω3ω410051/16/20231/16/20231/16/2023§5-4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性一、映射定理設(shè)有一復(fù)變函數(shù)為：S為復(fù)變量，以S復(fù)平面上的表示，F(xiàn)(S)為復(fù)變函數(shù)，以F(S)復(fù)平面上的表示對于s平面下除了有限奇點之外的任意點s，復(fù)變函數(shù)F(s)為解析函數(shù)，既單值、連續(xù)的正則函數(shù)，對于s平面上的每一點，在F(s)平面上必定有一個對應(yīng)的映射點。1/16/2023因此，如果在s平面畫一條封閉曲線，并使其不通過F(s)的任一奇點，則在F(S)平面上必有一條對應(yīng)的映射曲線，如圖5-4-1。若在S平面上的封閉曲線是沿著順時針方向運動的，則在F(s)平面上的映射曲線的運動方向可能是順時針的，也可能時針的，取決于F(s)函數(shù)的特性。人們感興趣的不是映射曲線的形狀，而是它包圍坐標(biāo)原點的次數(shù)和運動方向，因兩者與系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關(guān)。1/16/2023復(fù)變函數(shù)F(s)的相角可以表示為：假定在s平面上的封閉曲線包圍了F(s)的一個零點z1，而其他零極點都位于封線之外，則當(dāng)s沿著s平面上的封閉曲線順時針方向移動一周時，相量(s-z1)的相角變化-2π弧度，而其他各相量的相角變化為零。這意味著在F(s)平面上的映射曲線沿順時針方向圍繞著原點旋轉(zhuǎn)一周，也就是相量F(s)的相角變化了-2π弧度，如圖5-4-2所示。1/16/2023若s平面上的封閉曲線包圍著F(s)的Z個零點。則在F(s)平面上的映射曲線順時針方向圍繞著坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)z周。1/16/2023用類似分析方法可以推論，若s平面上的封閉曲線包圍了F(s)的P個極點，則沿著s平面上的封閉曲線順時針移動一周時，在F(s)平面上的映射曲線將按逆時針圍繞著原點旋轉(zhuǎn)P周。映射定理：設(shè)s平面上的封閉曲線包圍了復(fù)變函數(shù)F(s)的P個極點和z個零點，并且此曲線不經(jīng)過F(s)的任一零點和極點，則當(dāng)復(fù)變量s沿封閉曲線順時針方向移動一周時，F(xiàn)(s)平面上的映射曲線按逆時針方向包圍坐標(biāo)原點P-Z周。1/16/2023二、乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以寫為：代入特征方程：1/16/2023由上式可見，復(fù)變函數(shù)F(s)的零點為系統(tǒng)特征方程的根（閉環(huán)極點)s1，s2、…、sn。而F(s)的極點則為系統(tǒng)的開環(huán)極點P1、P2、…pn。

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是，特征方程的根即F(s)的零點，都位于s平面的左半部。為了判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要檢驗F(s)是否具有s平面右半部的零點。為此可以選擇一條包圍整個s平面右半部的按順時針方向運動的封閉曲線，通常稱為乃奎斯特回線，簡稱乃氏回線，1/16/2023如圖5-4-3所示。乃奎斯特回線由兩部分組成。一部分是沿著虛軸由下向上移動的直線段C1，在此線段上s=jω,

ω由-∞變到+∞。另一部分是半徑為無窮大的半圓C2。如此定義的封閉曲線肯定包圍了F(s)的位于s平面右半部的所有零點和極點。

1/16/2023設(shè)復(fù)變函數(shù)F(s)在s平面的右半部有Z個零點和P個極點。根據(jù)映射定理，當(dāng)s沿著s平面上的乃奎斯特回線順時針移動一周時，在F(s)平面上的映射曲線ΓF=1+G(jω)H(jω)將按逆時針方向圍繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)N=P-Z周。

由于閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，F(xiàn)(s)在s平面右半部無零點，即Z=0。因此得以下穩(wěn)定判據(jù)：如果在s平面上，s沿著乃奎斯特回線順時針方向移動一周時，在F(s)平面上的映射曲線ΓF圍繞坐標(biāo)原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)N=P周，則系統(tǒng)為穩(wěn)定的，。1/16/2023根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程有G(s)H(s)=F(s)-1

F(s)的映射曲線ΓF圍繞坐標(biāo)原點運動的情況，相當(dāng)于G(s)H(s)的封閉曲線ΓGH圍繞著(-1，j0)點的運動情況，如圖5-4-4所示。

1/16/2023閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是：當(dāng)ω從-∞變化到+∞時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)按逆時針方向包圍(-1，j0)點P周，P為位于s平面右半部的開環(huán)極點數(shù)目。

綜合上述，可將乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(簡稱乃氏判據(jù))表述如下：顯然，若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即位于s平面右半部的開環(huán)極點數(shù)P=0，則系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)不包圍（-1，j0)點.1/16/2023

§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性應(yīng)用的兩種情況１．不含有積分環(huán)節(jié)時例5-4-1解：系統(tǒng)穩(wěn)定Ｐ＝０由于系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性總是對稱于實軸的，因此在實際應(yīng)用中常常只畫ω從0變化到+∞的一部分。這時上述乃氏判據(jù)中的P周應(yīng)改為P/2周。

1/16/20232、虛軸上有開環(huán)極點時的情況虛軸上有開環(huán)極點的情況通常出現(xiàn)于在系統(tǒng)中有串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的時候，即在s平面的坐標(biāo)原點有開環(huán)極點。這時不能直接應(yīng)用圖5-4-3所示的乃奎斯特回線，因為映射定理要求此回線不經(jīng)過F(s)的奇點。為了在這種情況下仍能應(yīng)用乃奎斯特判據(jù)，可以選擇圖5-4-6a所示的乃氏回線，它與圖5-4-3中乃氏回線的區(qū)別僅在于，此回線經(jīng)過以坐標(biāo)原點為圓心，以無窮小量ε為半徑的，在s平面右半部的小半圓，繞過了開環(huán)極點所在的原點。當(dāng)ε趨于0時，此小半圓的面積也趨近于零。1/16/2023因此，F(xiàn)(s)的位于s平面右半部的零點和極點均被此乃氏回線包圍在內(nèi)。而將位于坐標(biāo)原點處的開環(huán)極點劃到了左半部。這樣處理是為了適應(yīng)乃奎斯特判據(jù)的要求，因為應(yīng)用乃氏判據(jù)時必須首先明確位于s平面右半部和左半部的開環(huán)極點的數(shù)目。1/16/2023當(dāng)s沿著上述小半圓移動時，有:當(dāng)ω從0-沿小半圓變到0+時，θ按逆時針方向旋轉(zhuǎn)了π，G(s)H(s)在其平面上的映射為：v為系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)數(shù)目0-0+-∞+∞1/16/2023§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性含有v個積分環(huán)節(jié)時 根據(jù)映射定理，Ｓ沿小半圓從變化到時，在平面上的映射曲線將沿著半徑為無窮大的圓弧按順時針方向從經(jīng)過０轉(zhuǎn)到例5-4-2Ｐ＝０，v=1,順時針轉(zhuǎn)過π弧度系統(tǒng)穩(wěn)定1/16/2023例5-7順時針包圍點兩周，，系統(tǒng)不穩(wěn)定，并有兩個閉環(huán)極點在右半Ｓ面．與實軸交點（-2.7，j0)Ｐ＝０，V=2，順時針從1/16/2023Ngquist圖和Bode圖的對應(yīng)的關(guān)系１．單位圓與０分貝線對應(yīng)，單位圓外,２．ＧＨ平面上的負(fù)實軸與的－180°線對應(yīng)．穿越：開環(huán)系統(tǒng)幅相頻率特性曲線G(jω)H(jω)通過GH平面（-1,j0)點以左的負(fù)實軸稱為穿越。正穿越：沿ω增加的方向，G(jω)H(jω)曲線自上而下通過（-1,j0)點以左的負(fù)實軸稱為正穿越，它意味著當(dāng)ω增加時幅相頻率特性的幅角增加；正穿越一次對應(yīng)G(jω)H(jω)曲線逆時針包圍（-1,j0)點一周。負(fù)穿越：沿ω增加的方向，G(jω)H(jω)曲線自下而上通過（-1,j0)點以左的負(fù)實軸稱為負(fù)穿越，它意味著當(dāng)ω增加時幅相頻率特性的幅角減小；負(fù)穿越一次對應(yīng)G(jω)H(jω)曲線順時針包圍（-1,j0)點一周。二．根據(jù)Bode圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性(-1,j0)正穿越負(fù)穿越開環(huán)系統(tǒng)幅相頻率特性對(-1,j0)點的包圍周數(shù)可表示為：N=正穿越數(shù)-負(fù)穿越數(shù)1/16/2023

上述正、負(fù)穿越在伯德圖上的反映為，在L(ω)>0的頻段內(nèi)，隨著ω的增加，相頻特性由上而下穿過-π線為負(fù)穿越，它表示滯后相角的增大。反之，φ(ω)由下而上穿過-π線為正穿越，它意味著相角的增加(或滯后相角的減少)。圖5-4-9乃氏圖和伯德圖的對應(yīng)關(guān)系1/16/2023當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)增益大為降低或提高時，系統(tǒng)之開環(huán)幅相特性曲線將在G(jω)H(jω)平面上按比例縮小和放大。圖5-4-9所示系統(tǒng)在這樣的開環(huán)增益下，閉環(huán)穩(wěn)定的，但在開環(huán)增益降低或提高到一定程度時，有可能將(-1，i0)點包圍在其開環(huán)相特性之內(nèi)，則閉環(huán)系統(tǒng)將不穩(wěn)定。通常將這種系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。圖5-4-91/16/2023§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性采用Bode圖的Ngquist判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)由０變到時，在的頻段內(nèi)，曲線穿越線的次數(shù)（正穿越與負(fù)穿越次數(shù)之差）為，Ｐ為Ｓ右半平面的開環(huán)極點個數(shù)．1/16/2023§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定（即最小相位系統(tǒng)），Ｐ＝０，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是曲線正、負(fù)穿越線的次數(shù)等于零．例5-6用伯德圖判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：①作系統(tǒng)伯德圖

②因為在的頻段內(nèi)，相頻特性 不穿越線．按照乃氏穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的．1/16/2023r=0n=2r為位于原點的開環(huán)極點數(shù)，n為右半平面的開環(huán)極點數(shù)穩(wěn)不穩(wěn)不穩(wěn)穩(wěn)穩(wěn)不穩(wěn)穩(wěn)不穩(wěn)穩(wěn)1/16/2023§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性的軌跡越接近于包圍點，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越差．因此，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性靠近點的程度可以用來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。至此為止我們討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題只涉及定性的概念，根據(jù)穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定?，F(xiàn)在要進一步討論系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性問題．穩(wěn)定裕量就是表征系統(tǒng)穩(wěn)定程度的量．它是描述系統(tǒng)特性的重要的量，與系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)有密切的關(guān)系。三．系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量用相角裕度和增益裕度來表示．1/16/2023§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性剪切頻率—對應(yīng)于的頻率，記為增益裕度

—在相角特性等于的頻率處，開環(huán)幅頻特性的倒數(shù)若系統(tǒng)增益Ｋ增大到，則系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)?；驗槭瓜到y(tǒng)穩(wěn)定，相角裕量必須為正值．相角裕量—在剪切頻率處，使系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所要附加的相角滯后量．穩(wěn)定的系統(tǒng)，為正．1/16/2023

§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性單位圓穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)1/16/20231/16/2023§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性考慮到系統(tǒng)中元件參數(shù)的變化可能對穩(wěn)定性帶來不利影響，系統(tǒng)必須具有適當(dāng)?shù)南嘟窃Ａ亢驮鲆嬖Ａ浚谠O(shè)計系統(tǒng)時，相角裕量常取30°～

60°，增益裕量應(yīng)大于６分貝。此時，系統(tǒng)將具有較滿意的暫態(tài)響應(yīng)特性。

最小相位系統(tǒng)幅頻特性與相頻特性存在唯一對應(yīng)關(guān)系，故可只計算相角裕量。為保證系統(tǒng)有足夠的相角裕量，要求開環(huán)對數(shù)幅頻特性在剪切頻率處的斜率為-20dB/dec，并且有相當(dāng)?shù)闹蓄l段長度.1/16/2023解:(1)作對數(shù)幅頻特性漸近線二個三角形例5-7求系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為:(2)求剪切頻率：局部放大圖5K-20dB/dec-40dB/dec伯特圖1/16/2023K1/16/2023§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性對應(yīng)的取幾點：

（３）求相角裕量（４）作相頻特性1/16/2023（５）求增益裕量

量得處的值系統(tǒng)穩(wěn)定，且即最小相位系統(tǒng)的相角裕度和增益裕度是對應(yīng)的。1/16/2023例題：系統(tǒng)如圖所示，試求當(dāng)k=10和k=100時相角裕度γ和幅值裕度ＧＭ解：方法一（圖解法）首先寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)并改寫成繪制Bode圖的標(biāo)準(zhǔn)形式1/16/2023相角裕度γ=20°幅值裕度ＧＭ=8dB系統(tǒng)穩(wěn)定1/16/2023相角裕度γ=-30°幅值裕度GM=-12dB系統(tǒng)不穩(wěn)定1/16/2023（方法二）計算法系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性：計算相角裕度和幅值裕度的基本思路為：首先令解出，然后利用計算出相角裕量系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性：再令虛部解出，計算出幅值裕量利用：1/16/2023具體地，當(dāng)K=10時令得：用試探法得：1/16/2023又：令：解得：用同樣的方法，當(dāng)K=100時，得出：此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。可見，計算結(jié)果與作圖法得出的結(jié)果基本吻合，所差部分為近似作圖所產(chǎn)生的誤差。在工程實際中，常常是根據(jù)相對穩(wěn)定性的要求而確定相應(yīng)的K值，下面再舉一個例子1/16/2023例題：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：要求閉環(huán)后幅值裕量Kg=20dB，求相應(yīng)的K值：解：首先求當(dāng)時，根據(jù)的定義，令上式的虛部為零：（負(fù)根舍去）1/16/2023由幅值裕量的定義式，可解出相應(yīng)的K值1/16/2023由伯德圖看系統(tǒng)穩(wěn)定性及余量（一）γ=50°GM=12dB1/16/2023由伯德圖看系統(tǒng)穩(wěn)定性及余量（二）γ=-32°GM=-15dB1/16/2023補充：習(xí)題集P107系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：（1）確定γ=60°的K值（2）確定單位斜坡輸入時，esr=0.1的K值1/16/2023解：（1）由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)得系統(tǒng)的相頻特性表達式為：得：1/16/2023系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線的漸進線如圖所示，可知：可見當(dāng)K=0.92時，滿足相角裕度60°的要求（2）此系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，KV=K，由：當(dāng)K=10時，單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差終值為0.1。1/16/2023

本例表明，根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差對開環(huán)增益提出的要求和根據(jù)相角裕度對系統(tǒng)提出的要求是相矛盾的。這是反饋控制系統(tǒng)設(shè)計中普遍存在的問題，如何較好的解決這一矛盾，將在下一章中進行討論。由以上結(jié)果可見，如穩(wěn)態(tài)精度的要求較高，則希望有較大的K值，而為使系統(tǒng)有較大的相角裕度，K值又不能太大，在本例中K=0.92時滿足相角裕度要求，但對單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差卻高達1.09，根據(jù)esr=0.1，要求K=10，此時系統(tǒng)不穩(wěn)定，實際上當(dāng)系統(tǒng)不穩(wěn)定時討論穩(wěn)態(tài)誤差無任何意義。1/16/2023補充：習(xí)題集P108最小相位系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性漸近線如圖所示，已知ωc位于兩個轉(zhuǎn)折頻率的幾何中心，試估算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。解：由圖可知，此最小相位系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：1/16/2023ωc1-