非對稱一題六解,化歸轉(zhuǎn)化

非對稱結(jié)構(gòu)解析幾何的解答題，往往就是聯(lián)立方程，消元化簡，得到一元二次方程，判別式，利用韋達(dá)定理，得到xl+x2與xlx2，再將題目中的幾何條件，化為代數(shù)條件，利用xl+x2與xlx2直接表示，達(dá)到設(shè)而不求的目的。但如果是非對稱結(jié)構(gòu)，例如x1與x2前面的系數(shù)不同，似乎無法利用韋達(dá)定理直接代入，那又該如何處理？請看20ll年的四川高考題的六種解法，消化吸收后，完成變式習(xí)題！一■經(jīng)典例題.,2【例題】㈤11四川理節(jié)邇桶圓+十的左右頂點(diǎn)分別為兒百』過其焦點(diǎn)F［O=1）的直線卩與橢圓交于。兩點(diǎn)』并與天軸交于旦、F,直線屈C與直線血交于點(diǎn)。一當(dāng)點(diǎn)尸異于乩用兩點(diǎn)時(shí),求證：OPOQ^異于乩用兩點(diǎn)時(shí),求證：OPOQ^定僮【解析］直線d軸垂直時(shí)與題意不符.設(shè)自線f的方程為》=后+1（莊芒0冃怎芒±1＞所以尸點(diǎn)坐標(biāo)為-口0.I尢丿:女（?（.丫］,”1［）,。（工2』2）,由（1）知兀I_叼=p+J，工|工2= +寸'/fiUC的廳.程y二丄_（x—1）,龐線BD倫方程為y二丄―（玄一1）?旺+1 .Y-|—1聯(lián)立刈條直線去y得也一匕竺】舉一一①■V-lTi（-V241）掙偸過稈恥方法巧得牝=2覘n心鶴―乜- 枕工14■工J+工1一也+2此題己知向量麗二故與0點(diǎn).的縱坐標(biāo)無關(guān)，只與橫坐標(biāo)有關(guān)，本題的黃鍵就是計(jì)匸c戊的橫坐標(biāo)“以下提口凹種方法：

1■標(biāo)準(zhǔn)解答【策略1]本題中。點(diǎn)的橫坐標(biāo)汽:+①+空T1是一個(gè)非對稱結(jié)構(gòu),『『似乎"帆珂H-Xj）+jq—Xj+2不能夠利用韋達(dá)定理中兩根之和與兩根之積的關(guān)系式代入』故將①式左右同平方，禾H用點(diǎn)在橢圓上，構(gòu)造出關(guān)于買的對稱結(jié)構(gòu)的關(guān)系式?！痉椒?1因?yàn)椤?凹與N異號TOC\o"1-5"\h\zx-1 ?1_￥（碼+1『_2—2卅山十盯_（1+碼）（1十可）>\（花一1『2-2諸（花一學(xué)（1一兩）（1一叼）-2k[ -1fk-1F+?+疋+2fk-1-2k{ -1_P+2+P+2乂沁衣軋+砒乜）+1=峠譽(yù)“羋字-音，上一1 1=11=1兀+1j—上一1[=1C=1 .忑+1上一1市與心卄勻R與瑋同F(xiàn)??口二市解得x=-kf故0點(diǎn)的坐標(biāo)対（一丘恥）,因此O?.OQ=(--:0)-=1,故OP-OO/h定值-【評注11標(biāo)準(zhǔn)解答，不明賈厲，天外飛仙，我等凡夫俗子很難Bte到!2■標(biāo)準(zhǔn)解答的改進(jìn)【策略？】將①兩邊同平方，目的是為了能夠利用到點(diǎn)落在橢圓上這一條件，實(shí)現(xiàn)橫縱坐標(biāo)的化歸與轉(zhuǎn)化，化為對稱結(jié)構(gòu)的關(guān)系式，那么利用橢圓上一點(diǎn)與兩頂點(diǎn)斜率之積為走值這一結(jié)論可得Q凹二二同樣也可以達(dá)到同樣的目的，并且不用判斷符號。Ji鞏丙一1）【方法2】-2=W_°【方法2】-2=W_°討一1 3-1嗆十1）3+1)T1曲X—D代入①可得—="UD代入①可得—="UD—一門*心—1CA+%氓亠1）'「1鬥（花十1） 2（^-1） 3—1） 2（jq-1X^-1）'等式的右側(cè)是一個(gè)對稱結(jié)構(gòu)，利用韋達(dá)定理計(jì)算可得蘭=二，解得X—1走斗1【評注】利用斜率之積為定值」楓大的簡化了運(yùn)算，但是利用1±1=空4這個(gè)等式求兀T乃（花十。解?巧仍有一定困難.3.化歸與轉(zhuǎn)化【策略叮牝=心Z+2丹寇個(gè)非對稱結(jié)構(gòu)雄道不能和用根與系數(shù)的關(guān)系,化歸轉(zhuǎn)化，減少變量，簡化運(yùn)算呢？【方法3】旳|乃v3.化歸與轉(zhuǎn)化【策略叮牝=心Z+2丹寇個(gè)非對稱結(jié)構(gòu)雄道不能和用根與系數(shù)的關(guān)系,化歸轉(zhuǎn)化，減少變量，簡化運(yùn)算呢？【方法3】旳|乃v_瑪+1七—1—^（帀一1｝十旳（碼十1）_（七xi+DC叼一1）十（辰」+D（珂十1〕°H—Ti ）勺￡兩+1）一旳（花一1）（息勺+1X西+1）一（忌i+lX碼一1）Hr—1西+1_2AA函+（珂+花）+fcq一碼4（迪+Xj）4-兩_兩-I-22k—+—+屆+d—kx;二啟+2 P+2亠1二P十2 r~ ~ 4【評注】強(qiáng)行利用韋達(dá)定理將兩根之和與兩根之積用乏表示』恰巧可以JB過運(yùn)算將珂-再消去,本質(zhì)就杲化歸與轉(zhuǎn)化的思想._2k【策田各4】發(fā)現(xiàn)西可與兩+帀滿足2Ax遷l=jq+jcj；將和捋七為積,再利用叼+抵=利用忘與A：〔或瑪〕表示丙〔或七h(yuǎn)實(shí)現(xiàn)第二次化歸與轉(zhuǎn)化0后十2再利用兩棵7和匸4V.= .得到阮=―“.焰甘代入②得到【評注】通過消去屯表達(dá)式中不同的結(jié)構(gòu)（將沖2化為可十花）與不同的變量〔利用韋達(dá)定理將兩化為乃:b使之成為一個(gè)與畫，花無關(guān)的是值，這正是化歸與轉(zhuǎn)化思想中的一一化多為少，化繫為簡，化異為同。

4?方法綜述筆者更加推薦利用方法3、4解決非對稱結(jié)構(gòu)的問題，方法1雖然似乎不明覺厲，但是憑空構(gòu)造出一個(gè)對稱結(jié)構(gòu)，有很大的難度，方法2改進(jìn)了方法1，但能利用斜率之積為定值（《圓錐曲線從入門到精通》系列課程中曾經(jīng)提過）這小結(jié)論，也絕非易事，它的條件其實(shí)極為苛刻，換一道試題，利用方法1、2就未必能構(gòu)造出對稱結(jié)構(gòu)。對比這么多種方法，并不是為了讓讀者在4種方法之間自由切換，又不得其法。而是以此強(qiáng)調(diào)處理非對稱結(jié)構(gòu)的最關(guān)鍵的不是同平方，不是利用斜率之積為定值，而是化歸與轉(zhuǎn)化這一重要的思想 -—萬劍歸宗，大道至簡，以不變應(yīng)萬變。5■曲線系方程另解【策略51兩條直線與榊圓的相交問題，可以利用曲線系方程解決問題?！痉絡(luò)去51設(shè)Q(zK=R)n則直線AC:nx-(zh+1)>■■+/?=0 BDz -L)-因過直線AC. 與橢圍的交點(diǎn)的曲線系為：2^+/-2+4'nx-（m+］）尹+?7］［磁一（測一1）尹一”］二02+A^^x2+A^^x1— 1+_[]]護(hù)+”咿_詔_2=0,該曲線系退化為直線血:J'=0與直線CD的方程可得2+2宀0,計(jì)算得心-二,旳亠故由線藏詁凹兀+1Yl故由線藏詁凹兀+1Yl直線CD.—X+J7i-4Yl得到日-=0；,故OP-OQ=-m=\.【方法◎】設(shè)直線CD:kx-y+1=Q,蟲C:感一嚴(yán)十幵=0,直線磁一嚴(yán)一那=0，得到尿宛=—2一沁km-n由過乩艮四點(diǎn)的二次曲線系G"（氐-一卩+1］+2（磁-戸+用）（他一7-胡）二0■ft簡彳尋 JH—1)+[1+TH—w)y—AWW=0;由曲線系&為橢圓C:2a"4-j2—2=0；對比系數(shù)得用—口匸i一加一幵=D—* i 1JM+』Tn\^OP-OQ=---—-=lkm—?r【評注】競寒黨專用知識，謹(jǐn)慎使用一二模擬練習(xí)（2020屆福建省質(zhì)檢理19）已知橢圓丈》亠*=1仏>5>0）的焦距為歸,直線斗與真軸的交點(diǎn)為G,過點(diǎn)必（1=0）且不與工軸重合的直線“交E于咼月:當(dāng)百垂直