復變函數課后習題答案(全)

習題一答案1．求下列復數的實部、虛部、模、幅角主值及共軛復數:(1)(2)(4)(3)解:(1)因此:,,(2),因此,,(3),因此,,(4)因此,,2．將下列復數化為三角表達式與指數表達式:(1)(4)(2)(3)(5)解:(1)(2)(3)(4)(5)3．求下列各式的值:(1)(2)(3)(4)(5)(6)解:(1)(2)(3)(4)(5)(6)4．設解:試用三角形式表示與,所以,5．解下列方程:(1)(2)解:(1)由此,(2),當時,對應的4個根分別為:6．證明下列各題:(1)設則證明:首先,顯然有其次,因;固此有從而。(2)對任意復數有證明:驗證即可,首先左端,而右端,由此,左端=右端,即原式成立。(3)若就是實系數代數方程的一個根,那么也就是它的一個根。證明:方程兩端取共軛,注意到系數皆為實數,并且根據復數的乘法運算規(guī)則,由此說明:若為實系數代數方程的一個根,則也就是。結論得證。,由此得到:(4)若則皆有證明:根據已知條件,有,因此:,證畢。(5)若證明:,則有,,因為,所以,,因而,即,結論得證。7.設試寫出使達到最大的的表達式,其中為正整數,為復數。解:首先,由復數的三角不等式有,在上面兩個不等式都取等號時達到最大,為此,需要取與同向且,即應為的單位化向量,由此,,8.試用來表述使這三個點共線的條件。解:要使三點共線,那么用向量表示時,的整數倍,再由復數的除法運算規(guī)則知與應平行,因而二者應同向或反向,即幅角應相差或應為或的整數倍,至此得到:三個點共線的條件就是為實數。9.寫出過兩點的直線的復參數方程。解:過兩點的直線的實參數方程為:,因而,復參數方程為:其中為實參數。10.下列參數方程表示什么曲線？(其中為實參數)(1)(2)(3)解:只需化為實參數方程即可。(1),因而表示直線(2),因而表示橢圓(3),因而表示雙曲線11.證明復平面上的圓周方程可表示為其中為復常數,為實常數,證明:圓周的實方程可表示為:,代入,并注意到,由此,整理,得記,則,由此得到,結論得證。12.證明:幅角主值函數在原點及負實軸上不連續(xù)。證明:首先,在原點無定義,因而不連續(xù)。的定義不難瞧出,當由實軸上方趨于時,對于,由,而當由實軸下方趨于時,,由此說明不存在,因而在點不連續(xù),即在負實軸上不連續(xù),結論得證。13.函數解:對于把平面上的曲線與分別映成平面中的什么曲線？,代入映射函數中,得,其方程可表示為,因而映成的像曲線的方程為即,消去參數,得表示一個圓周。對于,其方程可表示為代入映射函數中,得因而映成的像曲線的方程為圓周。,消去參數,得,表示一半徑為的14.指出下列各題中點的軌跡或所表示的點集,并做圖:解:(1),說明動點到的距離為一常數,因而表示圓心為,半徑為的圓周。的距離大于或等于的點構成的集合,即圓心為半徑為的圓周及圓周外部(2)就是由到的點集。(3)說明動點到兩個固定點1與3的距離之與為一常數,因而表示一個橢圓。代入化為實方程得(4)(5)說明動點到與的距離相等,因而就是與連線的垂直平分線,即軸。,幅角為一常數,因而表示以為頂點的與軸正向夾角為的射線。15.做出下列不等式所確定的區(qū)域的圖形,并指出就是有界還就是無界,單連通還就是多連通。(1)(2),以原點為心,內、外圓半徑分別為2、3的圓環(huán)區(qū)域,有界,多連通,頂點在原點,兩條邊的傾角分別為的角形區(qū)域,無界,單連通(3),顯然,并且原不等式等價于,說明到3的距離比到2的距離大,因2后的點構成的集合,就是一無界,多此原不等式表示2與3連線的垂直平分線即2、5左邊部分除掉連通區(qū)域。(4),顯然該區(qū)域的邊界為雙曲線,化為實方程為,再注意到到2與到2的距離之差大于1,因而不等式表示的應為上述雙曲線左邊一支的左側部分,就是一無界單連通區(qū)域。(5),代入,化為實不等式,得所以表示圓心為習題二答案半徑為的圓周外部,就是一無界多連通區(qū)域。1．指出下列函數的解析區(qū)域與奇點,并求出可導點的導數。(1)(2)(3)(4)解:根據函數的可導性法則(可導函數的與、差、積、商仍為可導函數,商時分母不為0),根據與、差、積、商的導數公式及復合函數導數公式,再注意到區(qū)域上可導一定解析,由此得到:(1)(2)處處解析,處處解析,(3)的奇點為,即,(4)的奇點為,