一元線性回歸中自相關(guān)的處理

一元線性回歸中自相關(guān)的處理王淑超1,馬永梅2【摘要】涉及時(shí)間序列的線性回歸模型往往會(huì)出現(xiàn)自相關(guān)問題，以往學(xué)者在建模時(shí)大多忽略了自相關(guān)問題而直接使用普通最小二乘法進(jìn)行回歸，這會(huì)造成模型的估計(jì)不夠準(zhǔn)確.文章對(duì)自回歸進(jìn)行闡釋，利用保險(xiǎn)業(yè)數(shù)據(jù)實(shí)證分析自回歸的檢驗(yàn)方法和解決辦法.廣義差分法解決自回歸問題使得線性回歸模型的普通最小二乘估計(jì)量具有良好的統(tǒng)計(jì)特性.【期刊名稱】赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）【年（卷），期】2017（033）011【關(guān)鍵詞】線性回歸；自相關(guān)；自相關(guān)檢驗(yàn)；廣義差分；財(cái)產(chǎn)保費(fèi)數(shù)理研究1問題提出回歸分析是研究一個(gè)所謂的因變量對(duì)另一個(gè)或多個(gè)所謂自變量的依賴關(guān)系，并通過自變量在重復(fù)抽樣中的已知或設(shè)定值，去估計(jì)或預(yù)測因變量的總體均值根據(jù)回歸模型中參數(shù)是否線性，回歸分析可以分為線性回歸分析和非線性回歸分析.[1]線性回歸模型的一般形式為：對(duì)線性回歸模型進(jìn)行估計(jì)常用的方法是普通最小二乘法，使用普通最小二乘法對(duì)線性回歸模型進(jìn)行估計(jì)時(shí)首先要進(jìn)行如下假設(shè)：隨機(jī)干擾項(xiàng)零均值、同方差、相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布，隨機(jī)干擾項(xiàng)與自變量不相關(guān)，自變量之間不存在線性相關(guān)滿足以上假設(shè)的線性回歸模型被稱為經(jīng)典線性回歸模型，經(jīng)典線性回歸模型使用普通最小二乘法進(jìn)行估計(jì)具有良好的統(tǒng)計(jì)特性.[1]實(shí)際上，并不是所有的回歸分析問題都能滿足經(jīng)典假設(shè)，在不滿足經(jīng)典假設(shè)時(shí)使用普通最小二乘法進(jìn)行估計(jì)的結(jié)果就值得懷疑，結(jié)果可能并不可靠，尤其在時(shí)間序列數(shù)據(jù)中，常常會(huì)違背〃隨機(jī)干擾項(xiàng)相互獨(dú)立”的假設(shè)，此時(shí)即存在自相關(guān)問題.如果回歸模型不滿足〃隨機(jī)干擾項(xiàng)相互獨(dú)立”的假設(shè)，則稱為自相關(guān).[1]自相關(guān)按形式可以分為一階自相關(guān)和高階自相關(guān).[1偌ui=pui-1+vi(-1<p<1)，則該模型存在一階自相關(guān)；若ui=f(ui-1,ui-2,...)+vi,則存在高階自相關(guān).其中，p為自相關(guān)系數(shù)，vi為經(jīng)典誤差項(xiàng).回歸模型存在自相關(guān)時(shí)使用普通最小二乘法對(duì)回歸模型進(jìn)行估計(jì)會(huì)導(dǎo)致估計(jì)的參數(shù)非有效、模型預(yù)測失效等問題.因此在對(duì)回歸模型進(jìn)行估計(jì)前，檢驗(yàn)其是否存在自相關(guān)問題就尤為重要.2實(shí)證檢驗(yàn)自相關(guān)及其eviews實(shí)現(xiàn)近年來，隨著人們收入水平的提高，人們對(duì)財(cái)產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)控制意識(shí)增強(qiáng)，我國的財(cái)產(chǎn)保費(fèi)收入迅速增長，因此可將衡量人們收入水平的國家GDP作為自變量X,將我國的財(cái)產(chǎn)保費(fèi)總收入作為因變量Y，建立一元線性回歸模型.[2]然而，財(cái)產(chǎn)保費(fèi)總收入的時(shí)間序列除了受GDP影響外，可能受人們保險(xiǎn)意識(shí)的影響自身具有一定的慣性，因此需要檢驗(yàn)其是否存在自相關(guān)問題.文章采用1997-2015年我國GDP和我國財(cái)產(chǎn)保費(fèi)總收入數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，數(shù)據(jù)來源于國家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站.建立一元線性回歸模型(1)：使用普通最小二乘法進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)結(jié)果如式(2):括號(hào)內(nèi)的數(shù)字為回歸系數(shù)對(duì)應(yīng)的t統(tǒng)計(jì)量的值（下同），由回歸結(jié)果可以看出，擬合系數(shù)為0.9804，說明模型擬合的較好；回歸系數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量的值較大，對(duì)應(yīng)的p值接近于0，說明變量顯著.2.1圖示檢驗(yàn)法作殘差和滯后一期殘差的關(guān)系圖，繪制圖形如圖1.由圖1可以看出大多數(shù)散點(diǎn)落在第1、3象限內(nèi)，說明殘差之間存在正相關(guān).D.W檢驗(yàn)檢驗(yàn)自相關(guān)最常用的檢驗(yàn)是德賓-沃森檢驗(yàn)，簡稱為D.W.檢驗(yàn).其原理是利用線性回歸的殘差構(gòu)造D.W統(tǒng)計(jì)量，見式（3）,并可根據(jù)顯著性水平和樣本容量查臨界值的上限du和下限dL，根據(jù)D.W統(tǒng)計(jì)量落在不同區(qū)間得出不同的結(jié)論，見圖2.由回歸結(jié)果（2）得D.W.=0.2936，數(shù)值較小，小于顯著性水平5%和樣本容量為19的臨界值dL=1.18，說明模型存在一階自相關(guān).但是D.W.檢驗(yàn)只適用于存在一階自相關(guān)的情形，對(duì)于高階自相關(guān)無法檢驗(yàn)，因此需要進(jìn)一步使用其他方法進(jìn)行檢驗(yàn).LM檢驗(yàn)LM檢驗(yàn)不僅可以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠翊嬖谧韵嚓P(guān)，還能檢驗(yàn)?zāi)Ｐ痛嬖谧韵嚓P(guān)的階數(shù)，它是通過建立殘差項(xiàng)關(guān)于自變量和滯后期殘差項(xiàng)的輔助回歸模型完成的.在eviews軟件的回歸結(jié)果窗口中點(diǎn)擊”View/ResidualTests/SerialCorrelationLMTest”，將滯后期分別設(shè)為1、2，分別得到如式（4）、式（5）的估計(jì)結(jié)果：由式（4X式（5）的估計(jì)結(jié)果分析可得：在5%的顯著性水平下，三個(gè)模型的擬合系數(shù)均較高，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量均顯著，說明三個(gè)模型在整體上均是顯著的；由模型中變量的t統(tǒng)計(jì)值可以看出，只有模型（4）中各變量均顯著；由模型的LM值可以得出，模型存在自相關(guān)，結(jié)合模型中各變量t統(tǒng)計(jì)量的大小可以得出模型只存在一階自相關(guān)，不存在高階自相關(guān)因此可利用式（2）中的D.W計(jì)算的2.4回歸檢驗(yàn)法回歸檢驗(yàn)法是對(duì)原模型式（1）進(jìn)行回歸，根據(jù)回歸結(jié)果計(jì)算殘差序列ei=yi-y"i,然后對(duì)殘差序列ei用普通最小二乘法進(jìn)行不同形式的回歸擬合，如式（6X式（7）:由式（6）和式（7）的估計(jì)結(jié)果可知，兩個(gè)模型的擬合系數(shù)均較大，說明兩個(gè)模型整體擬合較好；由模型中t統(tǒng)計(jì)值可知，在1%的顯著性水平下，模型（6）中變量顯著，模型（7）中ei-2不顯著，說明原模型（2）只存在一階自相關(guān)，不存在高階自相關(guān).由模型（6）可知回歸檢驗(yàn)法得到的p值原則上應(yīng)該與利用式（2）中D.W計(jì)算的p一致，文章中兩者有差別的原因是：一方面回歸檢驗(yàn)由于采用滯后期導(dǎo)致自由度有所降低，另一方面是關(guān)系式是在樣本容量充分大時(shí)成立，本文的樣本容量并沒有達(dá)到充分大.3自相關(guān)的解決方法當(dāng)模型存在自相關(guān)時(shí)，直接使用普通最小二乘法進(jìn)行估計(jì)可能得到不正確的估計(jì)結(jié)果，因此須消除自相關(guān)，本文采用廣義差分法消除自相關(guān).廣義差分法是將原模型轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的差分形式以消除自相關(guān)，然后再通過普通最小二乘法對(duì)差分后的模型進(jìn)行估計(jì)，從而間接得到原模型的估計(jì)值.對(duì)式（1）取滯后一期后，兩邊同乘以p作變換Yt-pYt-1，得到式（8）:由于vt滿足經(jīng)典假設(shè)，新模型不存在自相關(guān)問題.本文采用回歸檢驗(yàn)法得到的p"=0.8532對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，用處理后的數(shù)據(jù)對(duì)式（9）進(jìn)行回歸得到式（10）:由式（10）的估計(jì)結(jié)果可知，在5%的顯著性水平下，模型的擬合系數(shù)為0.925449，擬合優(yōu)度較高，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量為198.6168，說明模型整體上顯著；x的回歸系數(shù)的t統(tǒng)計(jì)值較大，變量x顯著；dL=1.18，dU=1.40,dL<D.W.=1.008553<dU，因此無法使用D.W值檢驗(yàn)是否存在自相關(guān)，經(jīng)過LM檢驗(yàn)，式（10）不再存在自相關(guān).根據(jù)差分模型的參數(shù)估計(jì)值計(jì)算原模型的參數(shù)估計(jì)值，如式（11）和式（12）:因此，消除自相關(guān)的回歸模型為YL經(jīng)濟(jì)含義是我國財(cái)產(chǎn)保費(fèi)收入的1.4171%是由我國GDP的增長弓I起的.4結(jié)論在使用普通最小二乘法建立線性回歸模型對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，首先要檢驗(yàn)是否存在自相關(guān)問題，殘差圖、D.W.檢驗(yàn)、LM檢驗(yàn)、回歸檢驗(yàn)等都可以檢驗(yàn)自相關(guān)問題.其中殘差圖的方法只適合初步判斷是否存在自相關(guān)，無法給出精確的結(jié)果；D.W.檢驗(yàn)只適合檢驗(yàn)存在一階自相關(guān)的情況不適合存在高階自相關(guān)時(shí)使用；LM檢驗(yàn)和回歸檢驗(yàn)是檢驗(yàn)自相關(guān)問題比較好的方法，不僅可以檢驗(yàn)自相關(guān)是否存在，還可以檢驗(yàn)存在自相關(guān)的階數(shù).對(duì)存在自相關(guān)的模型可以采用廣義差分法進(jìn)行處理，然后再采用普通最小二乘法回歸.參考文獻(xiàn)：〔1〕張曉彤.計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ)[M].4版.天津：南開大學(xué)出版社，2014:135-157.〔2〕張芳潔.影響我國保險(xiǎn)業(yè)發(fā)展的經(jīng)濟(jì)因素的實(shí)證分析[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2004,21(3):25-31.⑶劉明，