不確定性結構的可靠度分析

不確定性結構的可靠度分析摘要：結構可靠度已經在一些結構設計和評價的領域得到應用，而基于目前的理論，依舊不能對結構的主觀不確定性進行準確恰當的進行評估。本文引入不確定性理論來對結構的主觀不確定性進行評估，開發(fā)一種特定方程用于測量結構中的并聯系統，并給出兩個數值實例，即一個空間桁架結構和一個連續(xù)梁結構。關鍵詞：不確定性理論；不確定測度；結構可靠度1、 引言可靠度通常是用來分析結構模型的不確定因素對分析結果的影響。結構的設計應該使初始建設成本和預期破壞損失之和達到最小，這個思想很早就已經提出，但那時沒有可用的結構失效概率計算方法。1947年，弗賴登塔爾奠定了結構可靠度理論的基礎。1969年，康奈爾定義了一個結構可靠度指標，即結構功能的平均值和標準差的比值，并將可靠指標作為結構的統一標準進行安全評估。他建立了結構的“二階矩模型，安全度”。從那之后，結構可靠度理論步入實用階段。Hasofer和Lind在1974年提出了一種可靠度指標的新的定義。它被定義為在一個標準正態(tài)空間內，原點到極限狀態(tài)面的最短距離，并將原點到曲線的垂足設置為檢查點。它解決了這樣的問題，即不同形式的等效函數將會導致不同的可靠指標。對概率因素的考慮主要集中于自然災害和結構可靠度分析的風險分析上。此外，有許多文獻都對非概率結構可靠度進行了研究。對于非概率模型數據要求相對較低。為了解決準確定義概率模型的數據缺乏，對于可靠度計算而言，非概率可靠度方法是一個更好的選擇。有時工程師或設計師只是受主觀約束所限，這意味著，為了確定事物的真實狀態(tài)以及數據關系，可用的信息是不夠的。一些研究人員提出將其當作模糊變量。但在許多非概率情況下，模糊變量不太適合。到目前為止，依然沒有一個合適的方法來評估其效果。工程師們傾向于手動調整數據或者相信有經驗的專家?；诔B(tài),二元性，次可加性和乘積公理的不確定性理論，在2007年由Liu創(chuàng)立，并在2010年由Liu優(yōu)化。它是模型管理不確定因素數學的一個分支。這個理論是專門為了應對主觀不確定性而創(chuàng)立的。不確定性理論已經成為處理不完整信息下的各種問題的一種強大數學工具，例如不確定性控制，不確定性微分方程，以及不確定性編程,等。作為擴展，Liu對冗余系統的不確定性可靠壽命分析進行了研究，并且Zeng，Wen和Kang提出了一種產品可靠度指標。本文是研究不確定性理論框架內的一些結構可靠度問題，并對一些不確定性結構分析的可能應用進行討論?；谶@個的目的，本文組織如下。第二部分回顧了關于不確定性理論的一些基本概念和性質。在第三部分，對于不確定性理論下的結構分析中可能應用的例子進行了討論。在論文的結尾，給出了對于本文的一個簡短總結。2、 不確定性理論在本節(jié)中，提出了一些不確定性理論的基本概，如不確定性測量，不確定變量，不確定性分布，不確定預期值以及不確定性可靠度。2.1不確定性測量定義2.1。（Liu）設r為非空集合。「的子集合的一個集合L是一個b-無窮代數。b-無窮代數L中的每一個元素A稱為一個事件。如果關于L的函數M服從：

M{「}=1;對于每一個事件A有M{A}+M{Ac}=1；對于事件{A}的每一個可算序列，有M{UA}<2LM{A}' 日'i=1 '由此，M是一個不確定測度，(匚LM)是一個不確定空間。既然我們有了不確定變量和不確定測度的定義，我們必須考慮乘積測度和不確定算法。2009年，Liu提出了乘法公理。設「為非空集，由此M成為不確定測度。K=1，2,???n。由此，乘積不確定測度M是一種基于a-代數LxLx:.xL乘積的不確定測度，滿足：__ 1 2 nM巴A}空M*i=1為了描述不確定現象，Liu給出了不確定變量的定義。定義2.2。(Liu)一個不確定變量是從一個不確定空間(匚L，M)到實數集的一個可測量函數&。對于任何波萊爾實數集，集合&-1(B)={ye「|E(y)eB} (1)是一個事件。定義2.3。(Liu)不確定變量&「&2,.“,J是獨立的，只要滿足：M{B{§eB」}=AM{§eBJ (2)對于任何波萊爾實數集合族B,B,...,B。2007年，為了描述不確定變量，Li/提出了不確定性分布的概念。之后在2009年，Peng&Iwamura提出了不確定性分布的充分必要條件。定義2.4。一個不確定變量&的不確定性分布①通過下式定義：中(中(x)=M{&<對對任意實數x。(3)定理2.1。定義&,&，…,&為獨立的不確定變量，包含相互獨立的不確定性分布TOC\o"1-5"\h\z中］,①2,...,中。 12n如果函數f(X,x，…,x)對于x,x，…,x是嚴格意義上的增函數，對于x,x ，…,x是12n 12m m+1m+2 n嚴格意義上的減函數，則：§=f(§,...,七,,「..,§n)是一個含有不確定性逆分布的不確定變量：中-1(a)=f(中「(a),...,中-i(a),中-\(1—a),...,中-1(1—a))定義2.5。定義&為一個不確定的變量。則§的的期望值為：(4)E(&)=卜m{&>y}dy—卜m{&<y}dy(4)0 0可知兩個積分中至少有一個是有限積分。定理2.2。定義&為一個包含不確定性分布①的不確定變量。如果期望值存在，則:(5)E(&)=卜(1—8(x))dx-f0(5)0 -sx2.2確定可靠性分析在2010年，Liu通過不確定性理論，提出了將不確定性可靠度分析作為一種工具來處理系統可靠性。可靠性指數被定義為系統工作的不確定測度。定義2.6。假設一個系統包含不確定性變量&,&,...,&，且僅當R(&,&,...,&)>0時TOC\o"1-5"\h\z1 2n 1 2n成立。則可靠度指數即為：可靠度=M{R(§,&2，...,&J>0}定理2.3。假設&,&，…,&是分別包含不確定分布中，中，…，中的獨立不確定性變量，1 2n 1 2n且R(x,X，…,X)對于X,X，…,X是嚴格意義上的增函數，對于X ,X，…,X是嚴格意12n 12maa、c m+1m+2 n義上的減函數，如果當且僅當R(§,q,...,J)>0時能成立，則可靠度指數為：a是下面所列方程的根：R(^1-1(1-a),...,中-i(1-a),中-\(a),...,中-i(a))=0 (6)2.3不確定性結構的可靠度分析結構可靠度指數被定義為阻力大于負載的不確定測度。根據結構可靠度指數的意義可知，指數由電阻和負載決定。對于每一根桿，如果有一根失效，那么我們就說結構失效了?，F在，一些基本結構可靠度指數的定理給出如下。假設一個結構包含不確定變量J,&，…,&，當且僅當R(J,&，…,&)>0時能夠運TOC\o"1-5"\h\z12n 12n行，其中R是結構的功能函數，^，J2，...，Jn是結構的基本變量，包括不同負載的影響、材料參數、幾何參數等。定理2.4。結構如圖1所示。對象的重力是一個不確定變量，分布為中。每根桿的抗性分別為P,P，…,P，各自分布分別為中，中，…，中。結構的抗力為v。則可靠度指數為：12n 1 2 n\o"CurrentDocument"a=aAaA...Aa (7)其中，*,%,...,氣分別是下列方程的根：0-1(a)=w-1(1-a), 0-1(a)=w-1(1-a), ①-1(a)=w-1(1-a), (8)1 1 1 2 2 2 nn n證明。結構的抵抗力P為P1Ap2A...AP，每根桿的荷載為v。所以結構的功能函數可以表示為： | 2nR(P,P，…，P,v)=pApA...AP-v12n 1 2 n當且僅當R>0時成立。則可到度指數a是下面方程的根：0-1(1-a)AO-1(1-a)A...AO-i(1-a)=中-1(a)令a為下面方程的根：' ①-i(1-a)=Ki(a) i=1,2,3，…,ni i i則結構的可靠度指標一定是這些桿其中之一的可靠度指數。這意味著存在i，1<i<n，滿足a=a，可知中-i(1—a)=中-i(a)。根據可靠度的性質，①-1和中-1都是增函數。可靠度指數a是每桿可靠度指數中的最小值，即a=aAaA...Aa顯然，只用上面的一系列理論來進行分析是不夠的。我們必須接觸另一種類型的結構，即平行結構。平行結構不同于其他平行系統。它在已存在結構和其他領域的分析中，可能有更多的應用。定理2.5。結構如圖2所示。所有桿系均可以在塑性階段下工作。物體的重力是一個不確定變量v，其分布為甲。每根桿的抗性為P,P，…，P，分布分別為中，中，…,中1 2n 1 2 n結構的抗性為P。系統的可靠度指數a為下面方程的根：￡0-1(a)-W-1(1-a)=0 (9)ii=1證明。材料在塑料棒的階段，意味著其應變和應力不再是線性的。它將導致每根桿的應力分布，無法通過應力分析以及每根桿的可靠度來獲得。當一根桿達到荷載極限，應力不變而應變不斷增加。因此，這種結構的極限狀態(tài)，意味著所有的桿同時達到極限狀態(tài)。桿的抗力為p,P，…,P，所以系統的總抵抗力為p+P+...+龐可以推斷出這個系統的功能函12n 1 2 n數R(p,p，…，p,v)為：12nR=￡P.-VV0i=1當且僅當R>0時，系統能夠運行。根據(6)，系統的可靠度指數a可被表示為下面方程的根：￡0-1(a)-"(1-a)=0ii=13、數值實例結構設計是基于結構的極限狀態(tài)。所謂的結構極限狀態(tài)的定義是：如果整個結構或結構的一部分超過某一特定狀態(tài)，結構不符合特定功能設計規(guī)則的要求，那么這個特定狀態(tài)稱為極限狀態(tài)。在結構設計中，應考慮所有相應的極限狀態(tài)，以確保結構足夠的安全性、耐久性和適用性。對于一個特定結構系統，特定結構力學工具足以分析結構的應力狀態(tài)。但事實上，即使在特定結構風格的情況下，結構的應力或者抗力并非相像那般為定量。需要考慮和評估其不確定性。例3.1。結構如圖3所示。所有的連接均為鉸接。方形網格的邊長是5米，高2.5米。每根桿的剛度EA=105kN。系統的外力是不確定力v，方向垂直向下，分布為0。桿的抗力為p,p，…,p，分布分別為中，中，…,中。結構的抗力為p。為了方便討論，假設分1 2 9 1 2 9 .布中為線性不確定分布L(a,b)，『1,2,...,9；并且O是一個線性不確定分布L(a,b)i ii 0 0這種樣式的結構作為一個單獨的元素，廣泛應用于網格結構和網殼結構。設桿i的內力為T，利用結構力學知識可推導出：i‘T=T=T=T=-0.3537V,T=T=T=T=0.433V,T=V.I9可表示為T=t-v，i=1,2,...,9。每根桿的失效模式為&-T<0，且每根桿的可靠度為下面方程的根：i ii中-1(1-a)=t?①-i(a)i ii i根據定理2.4,可知：a=aAaA...Aa然后根據線性分布的計算規(guī)則，a=a=a=a=0v b-0.354% A1=0.900,(b一a)+0.354(b-a)TOC\o"1-5"\h\z1 1 0 0a=a=a=a=0v b6一0.433a0 A1=0.833,(b-a)+0.433(b-a)66 00a=0v b^0 a1=0.875.9 (b一a)+(b一a)\o"CurrentDocument"9 9 0 0因此，圖3.1中所示結構的可靠度指數為：a=a1Aa2A...Aa9=0.833例3.2。結構如圖4所示。節(jié)點1、3、5為鉸接，聯合7為固結。表中給出了每根桿的長度，L=2m。外力q是垂直向下的不確定力v，分布為電節(jié)點處玩具為M,M^，…,M：由于節(jié)點1可自由轉動，M1=0。極限抗力的其他分布分別為中2,中廣..,、為方便討論，假定分布中，(i=2,3,.，)為線性不確定分布L(ai,b)，i=2,3：”7；①是線性不確定分布L(a0,b0)0 '基于結構力學，推斷出連續(xù)梁在同一方向加載下，只能在每個跨度單獨破壞，而不是整體破壞。因此這個連續(xù)梁在每個跨度只有3種不同極限狀態(tài)。這個例子展示了串聯和并聯系統組合的工作方式。在每個跨度上，極限狀態(tài)可視作為一個并聯系統，整體視作一個串聯系統。在第一跨，根據虛功原理，可知：qlA=M3房+2M20^則:R=2M+4M-ql2>0.同樣，在第二跨和第三跨，(10)R2=4M3+8M4+2M5-ql2>0.8 16 8一一R3=9M5+—M6+9M7-ql2>0.(11)(12)然后，根據定理2.4和2.5，跨的可靠度為a=%Aa2Aa3，的根