不確定性結(jié)構(gòu)的可靠度分析

不確定性結(jié)構(gòu)的可靠度分析摘要：結(jié)構(gòu)可靠度已經(jīng)在一些結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和評(píng)價(jià)的領(lǐng)域得到應(yīng)用，而基于目前的理論，依舊不能對(duì)結(jié)構(gòu)的主觀不確定性進(jìn)行準(zhǔn)確恰當(dāng)?shù)倪M(jìn)行評(píng)估。本文引入不確定性理論來對(duì)結(jié)構(gòu)的主觀不確定性進(jìn)行評(píng)估，開發(fā)一種特定方程用于測(cè)量結(jié)構(gòu)中的并聯(lián)系統(tǒng)，并給出兩個(gè)數(shù)值實(shí)例，即一個(gè)空間桁架結(jié)構(gòu)和一個(gè)連續(xù)梁結(jié)構(gòu)。關(guān)鍵詞：不確定性理論；不確定測(cè)度；結(jié)構(gòu)可靠度1、 引言可靠度通常是用來分析結(jié)構(gòu)模型的不確定因素對(duì)分析結(jié)果的影響。結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)應(yīng)該使初始建設(shè)成本和預(yù)期破壞損失之和達(dá)到最小，這個(gè)思想很早就已經(jīng)提出，但那時(shí)沒有可用的結(jié)構(gòu)失效概率計(jì)算方法。1947年，弗賴登塔爾奠定了結(jié)構(gòu)可靠度理論的基礎(chǔ)。1969年，康奈爾定義了一個(gè)結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)，即結(jié)構(gòu)功能的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的比值，并將可靠指標(biāo)作為結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行安全評(píng)估。他建立了結(jié)構(gòu)的“二階矩模型，安全度”。從那之后，結(jié)構(gòu)可靠度理論步入實(shí)用階段。Hasofer和Lind在1974年提出了一種可靠度指標(biāo)的新的定義。它被定義為在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)，原點(diǎn)到極限狀態(tài)面的最短距離，并將原點(diǎn)到曲線的垂足設(shè)置為檢查點(diǎn)。它解決了這樣的問題，即不同形式的等效函數(shù)將會(huì)導(dǎo)致不同的可靠指標(biāo)。對(duì)概率因素的考慮主要集中于自然災(zāi)害和結(jié)構(gòu)可靠度分析的風(fēng)險(xiǎn)分析上。此外，有許多文獻(xiàn)都對(duì)非概率結(jié)構(gòu)可靠度進(jìn)行了研究。對(duì)于非概率模型數(shù)據(jù)要求相對(duì)較低。為了解決準(zhǔn)確定義概率模型的數(shù)據(jù)缺乏，對(duì)于可靠度計(jì)算而言，非概率可靠度方法是一個(gè)更好的選擇。有時(shí)工程師或設(shè)計(jì)師只是受主觀約束所限，這意味著，為了確定事物的真實(shí)狀態(tài)以及數(shù)據(jù)關(guān)系，可用的信息是不夠的。一些研究人員提出將其當(dāng)作模糊變量。但在許多非概率情況下，模糊變量不太適合。到目前為止，依然沒有一個(gè)合適的方法來評(píng)估其效果。工程師們傾向于手動(dòng)調(diào)整數(shù)據(jù)或者相信有經(jīng)驗(yàn)的專家?；诔B(tài),二元性，次可加性和乘積公理的不確定性理論，在2007年由Liu創(chuàng)立，并在2010年由Liu優(yōu)化。它是模型管理不確定因素?cái)?shù)學(xué)的一個(gè)分支。這個(gè)理論是專門為了應(yīng)對(duì)主觀不確定性而創(chuàng)立的。不確定性理論已經(jīng)成為處理不完整信息下的各種問題的一種強(qiáng)大數(shù)學(xué)工具，例如不確定性控制，不確定性微分方程，以及不確定性編程,等。作為擴(kuò)展，Liu對(duì)冗余系統(tǒng)的不確定性可靠壽命分析進(jìn)行了研究，并且Zeng，Wen和Kang提出了一種產(chǎn)品可靠度指標(biāo)。本文是研究不確定性理論框架內(nèi)的一些結(jié)構(gòu)可靠度問題，并對(duì)一些不確定性結(jié)構(gòu)分析的可能應(yīng)用進(jìn)行討論?；谶@個(gè)的目的，本文組織如下。第二部分回顧了關(guān)于不確定性理論的一些基本概念和性質(zhì)。在第三部分，對(duì)于不確定性理論下的結(jié)構(gòu)分析中可能應(yīng)用的例子進(jìn)行了討論。在論文的結(jié)尾，給出了對(duì)于本文的一個(gè)簡(jiǎn)短總結(jié)。2、 不確定性理論在本節(jié)中，提出了一些不確定性理論的基本概，如不確定性測(cè)量，不確定變量，不確定性分布，不確定預(yù)期值以及不確定性可靠度。2.1不確定性測(cè)量定義2.1。（Liu）設(shè)r為非空集合?！傅淖蛹系囊粋€(gè)集合L是一個(gè)b-無窮代數(shù)。b-無窮代數(shù)L中的每一個(gè)元素A稱為一個(gè)事件。如果關(guān)于L的函數(shù)M服從：

M{「}=1;對(duì)于每一個(gè)事件A有M{A}+M{Ac}=1；對(duì)于事件{A}的每一個(gè)可算序列，有M{UA}<2LM{A}' 日'i=1 '由此，M是一個(gè)不確定測(cè)度，(匚LM)是一個(gè)不確定空間。既然我們有了不確定變量和不確定測(cè)度的定義，我們必須考慮乘積測(cè)度和不確定算法。2009年，Liu提出了乘法公理。設(shè)「為非空集，由此M成為不確定測(cè)度。K=1，2,???n。由此，乘積不確定測(cè)度M是一種基于a-代數(shù)LxLx:.xL乘積的不確定測(cè)度，滿足：__ 1 2 nM巴A}空M*i=1為了描述不確定現(xiàn)象，Liu給出了不確定變量的定義。定義2.2。(Liu)一個(gè)不確定變量是從一個(gè)不確定空間(匚L，M)到實(shí)數(shù)集的一個(gè)可測(cè)量函數(shù)&。對(duì)于任何波萊爾實(shí)數(shù)集，集合&-1(B)={ye「|E(y)eB} (1)是一個(gè)事件。定義2.3。(Liu)不確定變量&「&2,.“,J是獨(dú)立的，只要滿足：M{B{§eB」}=AM{§eBJ (2)對(duì)于任何波萊爾實(shí)數(shù)集合族B,B,...,B。2007年，為了描述不確定變量，Li/提出了不確定性分布的概念。之后在2009年，Peng&Iwamura提出了不確定性分布的充分必要條件。定義2.4。一個(gè)不確定變量&的不確定性分布①通過下式定義：中(中(x)=M{&<對(duì)對(duì)任意實(shí)數(shù)x。(3)定理2.1。定義&,&，…,&為獨(dú)立的不確定變量，包含相互獨(dú)立的不確定性分布TOC\o"1-5"\h\z中］,①2,...,中。 12n如果函數(shù)f(X,x，…,x)對(duì)于x,x，…,x是嚴(yán)格意義上的增函數(shù)，對(duì)于x,x ，…,x是12n 12m m+1m+2 n嚴(yán)格意義上的減函數(shù)，則：§=f(§,...,七,,「..,§n)是一個(gè)含有不確定性逆分布的不確定變量：中-1(a)=f(中「(a),...,中-i(a),中-\(1—a),...,中-1(1—a))定義2.5。定義&為一個(gè)不確定的變量。則§的的期望值為：(4)E(&)=卜m{&>y}dy—卜m{&<y}dy(4)0 0可知兩個(gè)積分中至少有一個(gè)是有限積分。定理2.2。定義&為一個(gè)包含不確定性分布①的不確定變量。如果期望值存在，則:(5)E(&)=卜(1—8(x))dx-f0(5)0 -sx2.2確定可靠性分析在2010年，Liu通過不確定性理論，提出了將不確定性可靠度分析作為一種工具來處理系統(tǒng)可靠性?？煽啃灾笖?shù)被定義為系統(tǒng)工作的不確定測(cè)度。定義2.6。假設(shè)一個(gè)系統(tǒng)包含不確定性變量&,&,...,&，且僅當(dāng)R(&,&,...,&)>0時(shí)TOC\o"1-5"\h\z1 2n 1 2n成立。則可靠度指數(shù)即為：可靠度=M{R(§,&2，...,&J>0}定理2.3。假設(shè)&,&，…,&是分別包含不確定分布中，中，…，中的獨(dú)立不確定性變量，1 2n 1 2n且R(x,X，…,X)對(duì)于X,X，…,X是嚴(yán)格意義上的增函數(shù)，對(duì)于X ,X，…,X是嚴(yán)格意12n 12maa、c m+1m+2 n義上的減函數(shù)，如果當(dāng)且僅當(dāng)R(§,q,...,J)>0時(shí)能成立，則可靠度指數(shù)為：a是下面所列方程的根：R(^1-1(1-a),...,中-i(1-a),中-\(a),...,中-i(a))=0 (6)2.3不確定性結(jié)構(gòu)的可靠度分析結(jié)構(gòu)可靠度指數(shù)被定義為阻力大于負(fù)載的不確定測(cè)度。根據(jù)結(jié)構(gòu)可靠度指數(shù)的意義可知，指數(shù)由電阻和負(fù)載決定。對(duì)于每一根桿，如果有一根失效，那么我們就說結(jié)構(gòu)失效了?，F(xiàn)在，一些基本結(jié)構(gòu)可靠度指數(shù)的定理給出如下。假設(shè)一個(gè)結(jié)構(gòu)包含不確定變量J,&，…,&，當(dāng)且僅當(dāng)R(J,&，…,&)>0時(shí)能夠運(yùn)TOC\o"1-5"\h\z12n 12n行，其中R是結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)，^，J2，...，Jn是結(jié)構(gòu)的基本變量，包括不同負(fù)載的影響、材料參數(shù)、幾何參數(shù)等。定理2.4。結(jié)構(gòu)如圖1所示。對(duì)象的重力是一個(gè)不確定變量，分布為中。每根桿的抗性分別為P,P，…,P，各自分布分別為中，中，…，中。結(jié)構(gòu)的抗力為v。則可靠度指數(shù)為：12n 1 2 n\o"CurrentDocument"a=aAaA...Aa (7)其中，*,%,...,氣分別是下列方程的根：0-1(a)=w-1(1-a), 0-1(a)=w-1(1-a), ①-1(a)=w-1(1-a), (8)1 1 1 2 2 2 nn n證明。結(jié)構(gòu)的抵抗力P為P1Ap2A...AP，每根桿的荷載為v。所以結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)可以表示為： | 2nR(P,P，…，P,v)=pApA...AP-v12n 1 2 n當(dāng)且僅當(dāng)R>0時(shí)成立。則可到度指數(shù)a是下面方程的根：0-1(1-a)AO-1(1-a)A...AO-i(1-a)=中-1(a)令a為下面方程的根：' ①-i(1-a)=Ki(a) i=1,2,3，…,ni i i則結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo)一定是這些桿其中之一的可靠度指數(shù)。這意味著存在i，1<i<n，滿足a=a，可知中-i(1—a)=中-i(a)。根據(jù)可靠度的性質(zhì)，①-1和中-1都是增函數(shù)?？煽慷戎笖?shù)a是每桿可靠度指數(shù)中的最小值，即a=aAaA...Aa顯然，只用上面的一系列理論來進(jìn)行分析是不夠的。我們必須接觸另一種類型的結(jié)構(gòu)，即平行結(jié)構(gòu)。平行結(jié)構(gòu)不同于其他平行系統(tǒng)。它在已存在結(jié)構(gòu)和其他領(lǐng)域的分析中，可能有更多的應(yīng)用。定理2.5。結(jié)構(gòu)如圖2所示。所有桿系均可以在塑性階段下工作。物體的重力是一個(gè)不確定變量v，其分布為甲。每根桿的抗性為P,P，…，P，分布分別為中，中，…,中1 2n 1 2 n結(jié)構(gòu)的抗性為P。系統(tǒng)的可靠度指數(shù)a為下面方程的根：￡0-1(a)-W-1(1-a)=0 (9)ii=1證明。材料在塑料棒的階段，意味著其應(yīng)變和應(yīng)力不再是線性的。它將導(dǎo)致每根桿的應(yīng)力分布，無法通過應(yīng)力分析以及每根桿的可靠度來獲得。當(dāng)一根桿達(dá)到荷載極限，應(yīng)力不變而應(yīng)變不斷增加。因此，這種結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)，意味著所有的桿同時(shí)達(dá)到極限狀態(tài)。桿的抗力為p,P，…,P，所以系統(tǒng)的總抵抗力為p+P+...+龐可以推斷出這個(gè)系統(tǒng)的功能函12n 1 2 n數(shù)R(p,p，…，p,v)為：12nR=￡P(guān).-VV0i=1當(dāng)且僅當(dāng)R>0時(shí)，系統(tǒng)能夠運(yùn)行。根據(jù)(6)，系統(tǒng)的可靠度指數(shù)a可被表示為下面方程的根：￡0-1(a)-"(1-a)=0ii=13、數(shù)值實(shí)例結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是基于結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)。所謂的結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)的定義是：如果整個(gè)結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)的一部分超過某一特定狀態(tài)，結(jié)構(gòu)不符合特定功能設(shè)計(jì)規(guī)則的要求，那么這個(gè)特定狀態(tài)稱為極限狀態(tài)。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，應(yīng)考慮所有相應(yīng)的極限狀態(tài)，以確保結(jié)構(gòu)足夠的安全性、耐久性和適用性。對(duì)于一個(gè)特定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，特定結(jié)構(gòu)力學(xué)工具足以分析結(jié)構(gòu)的應(yīng)力狀態(tài)。但事實(shí)上，即使在特定結(jié)構(gòu)風(fēng)格的情況下，結(jié)構(gòu)的應(yīng)力或者抗力并非相像那般為定量。需要考慮和評(píng)估其不確定性。例3.1。結(jié)構(gòu)如圖3所示。所有的連接均為鉸接。方形網(wǎng)格的邊長是5米，高2.5米。每根桿的剛度EA=105kN。系統(tǒng)的外力是不確定力v，方向垂直向下，分布為0。桿的抗力為p,p，…,p，分布分別為中，中，…,中。結(jié)構(gòu)的抗力為p。為了方便討論，假設(shè)分1 2 9 1 2 9 .布中為線性不確定分布L(a,b)，『1,2,...,9；并且O是一個(gè)線性不確定分布L(a,b)i ii 0 0這種樣式的結(jié)構(gòu)作為一個(gè)單獨(dú)的元素，廣泛應(yīng)用于網(wǎng)格結(jié)構(gòu)和網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)。設(shè)桿i的內(nèi)力為T，利用結(jié)構(gòu)力學(xué)知識(shí)可推導(dǎo)出：i‘T=T=T=T=-0.3537V,T=T=T=T=0.433V,T=V.I9可表示為T=t-v，i=1,2,...,9。每根桿的失效模式為&-T<0，且每根桿的可靠度為下面方程的根：i ii中-1(1-a)=t?①-i(a)i ii i根據(jù)定理2.4,可知：a=aAaA...Aa然后根據(jù)線性分布的計(jì)算規(guī)則，a=a=a=a=0v b-0.354% A1=0.900,(b一a)+0.354(b-a)TOC\o"1-5"\h\z1 1 0 0a=a=a=a=0v b6一0.433a0 A1=0.833,(b-a)+0.433(b-a)66 00a=0v b^0 a1=0.875.9 (b一a)+(b一a)\o"CurrentDocument"9 9 0 0因此，圖3.1中所示結(jié)構(gòu)的可靠度指數(shù)為：a=a1Aa2A...Aa9=0.833例3.2。結(jié)構(gòu)如圖4所示。節(jié)點(diǎn)1、3、5為鉸接，聯(lián)合7為固結(jié)。表中給出了每根桿的長度，L=2m。外力q是垂直向下的不確定力v，分布為電節(jié)點(diǎn)處玩具為M,M^，…,M：由于節(jié)點(diǎn)1可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，M1=0。極限抗力的其他分布分別為中2,中廣..,、為方便討論，假定分布中，(i=2,3,.，)為線性不確定分布L(ai,b)，i=2,3：”7；①是線性不確定分布L(a0,b0)0 '基于結(jié)構(gòu)力學(xué)，推斷出連續(xù)梁在同一方向加載下，只能在每個(gè)跨度單獨(dú)破壞，而不是整體破壞。因此這個(gè)連續(xù)梁在每個(gè)跨度只有3種不同極限狀態(tài)。這個(gè)例子展示了串聯(lián)和并聯(lián)系統(tǒng)組合的工作方式。在每個(gè)跨度上，極限狀態(tài)可視作為一個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)，整體視作一個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)。在第一跨，根據(jù)虛功原理，可知：qlA=M3房+2M20^則:R=2M+4M-ql2>0.同樣，在第二跨和第三跨，(10)R2=4M3+8M4+2M5-ql2>0.8 16 8一一R3=9M5+—M6+9M7-ql2>0.(11)(12)然后，根據(jù)定理2.4和2.5，跨的可靠度為a=%Aa2Aa3，的根