CG二維變換及二維觀察

會計學1CG二維變換及二維觀察2023/1/1726.1.2幾何變換圖形的幾何變換是指對圖形的幾何信息經(jīng)過平移、比例、旋轉等變換后產(chǎn)生新的圖形，是圖形在方向、尺寸和形狀方面的變換。第2頁/共80頁第1頁/共80頁2023/1/1736.1.3二維變換矩陣第3頁/共80頁第2頁/共80頁2023/1/1746.2基本幾何變換基本幾何變換都是相對于坐標原點和坐標軸進行的幾何變換6.2.1平移變換平移是指將p點沿直線路徑從一個坐標位置移到另一個坐標位置的重定位過程。第4頁/共80頁第3頁/共80頁2023/1/175平移是一種不產(chǎn)生變形而移動物體的剛體變換（rigid-bodytransformation）第5頁/共80頁第4頁/共80頁2023/1/176Tx，Ty稱為平移矢量推導：矩陣：第6頁/共80頁第5頁/共80頁2023/1/1776.2.2比例變換比例變換是指對p點相對于坐標原點沿x方向放縮Sx倍，沿y方向放縮Sy倍。其中Sx和Sy稱為比例系數(shù)。第7頁/共80頁第6頁/共80頁2023/1/178推導：矩陣：第8頁/共80頁第7頁/共80頁2023/1/179第9頁/共80頁第8頁/共80頁2023/1/1710整體比例變換：第10頁/共80頁第9頁/共80頁2023/1/17116.2.3旋轉變換二維旋轉是指將p點繞坐標原點轉動某個角度（逆時針為正，順時針為負）得到新的點p’的重定位過程。第11頁/共80頁第10頁/共80頁2023/1/1712推導：矩陣：逆時針旋轉θ角順時針旋轉θ角?第12頁/共80頁第11頁/共80頁2023/1/1713簡化計算

第13頁/共80頁第12頁/共80頁2023/1/17146.2.4對稱變換對稱變換后的圖形是原圖形關于某一軸線或原點的鏡像。第14頁/共80頁第13頁/共80頁2023/1/1715第15頁/共80頁第14頁/共80頁2023/1/1716(1)關于x軸對稱第16頁/共80頁第15頁/共80頁2023/1/1717(2)關于y軸對稱第17頁/共80頁第16頁/共80頁2023/1/1718(3)關于原點對稱第18頁/共80頁第17頁/共80頁2023/1/1719(4)關于y=x軸對稱第19頁/共80頁第18頁/共80頁2023/1/1720(5)關于y=-x軸對稱第20頁/共80頁第19頁/共80頁2023/1/17216.2.5錯切變換錯切變換，也稱為剪切、錯位變換，用于產(chǎn)生彈性物體的變形處理。第21頁/共80頁第20頁/共80頁2023/1/1722其變換矩陣為：

(1)沿x方向錯切

(2)沿y方向錯切

(3)兩個方向錯切第22頁/共80頁第21頁/共80頁2023/1/17236.2.6二維圖形幾何變換的計算幾何變換均可表示成P’=P*T的形式

1.點的變換

2.直線的變換 3.多邊形的變換 4.曲線的變換第23頁/共80頁第22頁/共80頁2023/1/17246.3復合變換復合變換是指：圖形作一次以上的幾何變換，變換結果是每次的變換矩陣相乘。任何一復雜的幾何變換都可以看作基本幾何變換的組合形式。復合變換具有形式：第24頁/共80頁第23頁/共80頁2023/1/17256.3.1二維復合平移 兩個連續(xù)平移是加性的。6.3.2二維復合比例 連續(xù)比例變換是相乘的。6.3.3二維復合旋轉 兩個連續(xù)旋轉是相加的。可寫為：第25頁/共80頁第24頁/共80頁2023/1/17266.3.4其它二維復合變換第26頁/共80頁第25頁/共80頁2023/1/17276.3.5相對任一參考點的二維幾何變換相對某個參考點(xF,yF)作二維幾何變換，其變換過程為： (1)平移 (2)針對原點進行二維幾何變換。 (3)反平移 例1.相對點(xF,yF)的旋轉變換 例2.相對點(xF,yF)的比例變換第27頁/共80頁第26頁/共80頁2023/1/17286.3.6相對任意方向的二維幾何變換相對任意方向作二維幾何變換，其變換的過程是： (1)旋轉變換 (2)針對坐標軸進行二維幾何變換； (3)反向旋轉 例3.相對直線y=x的反射變換第28頁/共80頁第27頁/共80頁2023/1/1729 例4.將正方形ABCO各點沿圖6-8所示的(0,0)→(1,1)方向進行拉伸，結果為如圖所示的，寫出其變換矩陣和變換過程。第29頁/共80頁第28頁/共80頁2023/1/17306.3.7坐標系之間的變換問題：第30頁/共80頁第29頁/共80頁2023/1/1731分析：第31頁/共80頁第30頁/共80頁2023/1/1732可以分兩步進行：第32頁/共80頁第31頁/共80頁2023/1/1733于是：

第33頁/共80頁第32頁/共80頁2023/1/17346.3.8光柵變換直接對幀緩存中象素點進行操作的變換稱為光柵變換。

光柵平移變換：

第34頁/共80頁第33頁/共80頁2023/1/173590°、180°和270°的光柵旋轉變換：

第35頁/共80頁第34頁/共80頁2023/1/1736任意角度的光柵旋轉變換：

第36頁/共80頁第35頁/共80頁2023/1/1737光柵比例變換：

第37頁/共80頁第36頁/共80頁2023/1/17386.3.9變換的性質仿射變換具有平行線不變性和有限點數(shù)目的不變性平移、比例、旋轉、錯切和反射等變換均是二維仿射變換的特例，反過來，任何常用的二維仿射變換總可以表示為這五種變換的復合。

二維仿射變換是具有如下形式的二維坐標變換：

第38頁/共80頁第37頁/共80頁2023/1/1739二維幾何變換具有如下一些性質：直線的中點不變性；平行直線不變性；相交不變性；僅包含旋轉、平移和反射的仿射變換維持角度和長度的不變性；比例變化可改變圖形的大小和形狀；錯切變化引起圖形角度關系的改變，甚至導致圖形發(fā)生畸變。第39頁/共80頁第38頁/共80頁2023/1/17406.4兩維觀察6.4.1基本概念在計算機圖形學中，將在用戶坐標系中需要進行觀察和處理的一個坐標區(qū)域稱為窗口（Window）將窗口映射到顯示設備上的坐標區(qū)域稱為視區(qū)（Viewport）第40頁/共80頁第39頁/共80頁2023/1/1741 要將窗口內(nèi)的圖形在視區(qū)中顯示出來，必須經(jīng)過將窗口到視區(qū)的變換（Window-ViewportTransformation）處理，這種變換就是觀察變換（ViewingTransformation）。第41頁/共80頁第40頁/共80頁2023/1/1742第42頁/共80頁第41頁/共80頁2023/1/1743觀察坐標系(ViewCoordinate)和規(guī)格化設備坐標系(NormalizedDeviceCoordinate)

觀察坐標系是依據(jù)窗口的方向和形狀在用戶坐標平面中定義的直角坐標系。規(guī)格化設備坐標系也是直角坐標系，它是將二維的設備坐標系規(guī)格化到（0.0，0.0）到（1.0，1.0）的坐標范圍內(nèi)形成的。第43頁/共80頁第42頁/共80頁2023/1/1744 引入了觀察坐標系和規(guī)格化設備坐標系后，觀察變換分為如下圖所示的幾個步驟，通常稱為二維觀察流程。

第44頁/共80頁第43頁/共80頁2023/1/1745變焦距效果第45頁/共80頁第44頁/共80頁2023/1/1746整體放縮效果漫游效果

第46頁/共80頁第45頁/共80頁6.4.2用戶坐標系到觀察坐標系的變換用戶坐標系到觀察坐標系的變換分由兩個變換步驟合成： 1.將觀察坐標系原點移動到用戶坐標系原點第47頁/共80頁第46頁/共80頁2023/1/1748

2.繞原點旋轉使兩坐標系重合

第48頁/共80頁第47頁/共80頁2023/1/17496.4.3窗口到視區(qū)的變換第49頁/共80頁第48頁/共80頁2023/1/1750

要將窗口內(nèi)的點（xw,yw）映射到相對應的視區(qū)內(nèi)的點（xv,yv）需進行以下步驟： (1)將窗口左下角點移至用戶系統(tǒng)系的坐標原點 (2)針對原點進行比例變換 (3)進行反平移第50頁/共80頁第49頁/共80頁2023/1/17516.5裁剪在二維觀察中，需要在觀察坐標系下對窗口進行裁剪，即只保留窗口內(nèi)的那部分圖形，去掉窗口外的圖形。假設窗口是標準矩形，即邊與坐標軸平行的矩形，由上（y=wyt）、下（y=wyb）、左（x=wxl）、右（x=wxr）四條邊描述。第51頁/共80頁第50頁/共80頁2023/1/17526.5.1點的裁剪第52頁/共80頁第51頁/共80頁2023/1/17536.5.2直線段的裁剪假定直線段用p1(x1,y1)p2(x2,y2)表示。直線段和剪裁窗口的可能關系：完全落在窗口內(nèi)完全落在窗口外與窗口邊界相交

第53頁/共80頁第52頁/共80頁2023/1/1754實交點是直線段與窗口矩形邊界的交點。虛交點則是直線段與窗口矩形邊界延長線或直線段的延長線與窗口矩形邊界的交點。

第54頁/共80頁第53頁/共80頁2023/1/17551.Cohen-Sutherland算法基本思想：對每條直線段p1(x1,y1)p2(x2,y2)分三種情況處理：(1)直線段完全可見，“簡取”之。(2)直線段完全不可見，“簡棄”之。(3)直線段既不滿足“簡取”的條件，也不滿足“簡棄”的條件，需要對直線段按交點進行分段，分段后重復上述處理。

第55頁/共80頁第54頁/共80頁2023/1/1756編碼：對于任一端點(x,y)，根據(jù)其坐標所在的區(qū)域，賦予一個4位的二進制碼D3D2D1D0。編碼規(guī)則如下：若x<wxl，則D0=1，否則D0=0；若x>wxr，則D1=1，否則D1=0；若y<wyb，則D2=1，否則D2=0；若y>wyt，則D3=1，否則D3=0。

第56頁/共80頁第55頁/共80頁2023/1/1757裁剪 裁剪一條線段時，先求出端點p1和p2的編碼code1和code2，然后： (1)若code1|code2=0，對直線段應簡取之。 (2)若code1&code2≠0，對直線段可簡棄之。 (3)若上述兩條件均不成立。則需求出直線段與窗口邊界的交點。在交點處把線段一分為二，其中必有一段完全在窗口外，可以棄之。再對另一段重復進行上述處理，直到該線段完全被舍棄或者找到位于窗口內(nèi)的一段線段為止。第57頁/共80頁第56頁/共80頁2023/1/1758求交：假定直線的端點坐標為(x1,y1)和(x2,y2)左、右邊界交點的計算：上、下邊界交點的計算：

第58頁/共80頁第57頁/共80頁2023/1/1759算法的步驟：(1)輸入直線段的兩端點坐標：p1(x1,y1)、p2(x2,y2)，以及窗口的四條邊界坐標：wyt、wyb、wxl和wxr。(2)對p1、p2進行編碼：點p1的編碼為code1，點p2的編碼為code2。(3)若code1|code2=0，對直線段應簡取之，轉(6)；否則，若code1&code2≠0，對直線段可簡棄之，轉(7)；當上述兩條均不滿足時，進行步驟(4)。(4)確保p1在窗口外部：若p1在窗口內(nèi)，則交換p1和p2的坐標值和編碼。(5)按左、右、上、下的順序求出直線段與窗口邊界的交點，并用該交點的坐標值替換p1的坐標值。也即在交點s處把線段一分為二，并去掉p1s這一段?？紤]到p1是窗口外的一點，因此可以去掉p1s。轉(2)。(6)用直線掃描轉換算法畫出當前的直線段p1p2。(7)算法結束。

第59頁/共80頁第58頁/共80頁2023/1/1760例如：

特點：

第60頁/共80頁第59頁/共80頁2023/1/17612.中點分割算法基本思想：當對直線段不能簡取也不能簡棄時，簡單地把線段等分為二段，對兩段重復上述測試處理，直至每條線段完全在窗口內(nèi)或完全在窗口外。

第61頁/共80頁第60頁/共80頁2023/1/1762算法步驟：(1)輸入直線段的兩端點坐標：p1(x1,y1)、p2(x2,y2)，以及窗口的四條邊界坐標：wyt、wyb、wxl和wxr。(2)對p1、p2進行編碼：點p1的編碼為code1，點p2的編碼為code2。(3)若code1|code2=0，對直線段應簡取之，保留當前直線段的端點坐標，轉(5)；否則，若code1&code2≠0，對直線段可簡棄之，轉(5)；當上述兩條均不滿足時，進行步驟(4)。(4)求出直線段的中點M，將p1M、p2M入棧。(5)當棧不空時，從棧中彈出一條直線段，取為p1p2，轉(2)進行處理。否則，繼續(xù)(6)。(6)當棧為空時，合并保留的直線段端點，得到窗口內(nèi)的直線段p1p2。用直線掃描轉換算法畫出當前的直線段p1p2，算法結束。第62頁/共80頁第61頁/共80頁2023/1/1763 中點分割算法的核心思想是通過二分逼近來確定直線段與窗口的交點。第63頁/共80頁第62頁/共80頁2023/1/1764重新構造算法步驟：(1)若code1|code2=0，對直線段應簡取之，結束；否則，若code1&code2≠0，對直線段可簡棄之，結束；當這兩條均不滿足時，進行步驟(2)。(2)找出該直線段離窗口邊界最遠的點和該直線段的中點。判中點是否在窗口內(nèi)：若中點不在窗口內(nèi)，則把中點和離窗口邊界最遠點構成的線段丟掉，以線段上的另一點和該中點再構成線段求其中點；如中點在窗口內(nèi)，則又以中點和最遠點構成線段，并求其中點，直到中點與窗口邊界的坐標值在規(guī)定的誤差范圍內(nèi)相等，則該中點就是該線段落在窗口內(nèi)的一個端點坐標。(3)如另一點在窗口內(nèi)，則經(jīng)(2)即確定了該線段在窗口內(nèi)的部分。如另一點不在窗口內(nèi)，則該點和所求出的在窗口上的那一點構成一條線段，重復步驟(2)，即可求出落在窗口內(nèi)的另一點。第64頁/共80頁第63頁/共80頁2023/1/1765例如：

特點：

第65頁/共80頁第64頁/共80頁2023/1/17663.Liang-Barsky算法

分析

推導

第66頁/共80頁第65頁/共80頁2023/1/1767特殊處理：第67頁/共80頁第66頁/共80頁2023/1/1768算法步驟：(1)輸入直線段的兩端點坐標：(x1,y1)和(x2,y2)，以及窗口的四條邊界坐標：wyt、wyb、wxl和wxr。(2)若Δx=0，則p1=p2=0。此時進一步判斷是否滿足q1<0或q2<0，若滿足，則該直線段不在窗口內(nèi)，算法轉(7)。否則，滿足q1>0且q2>0，則進一步計算u1和u2。算法轉(5)。(3)若Δy=0，則p3=p4=0。此時進一步判斷是否滿足q3<0或q4<0，若滿足，則該直線段不在窗口內(nèi)，算法轉(7)。否則，滿足q1>0且q2>0，則進一步計算u1和u2。算法轉(5)。(4)若上述兩條均不滿足，則有pk≠0（k=1,2,3,4）。此時計算u1和u2。(5)求得u1和u2后，進行判斷：若u1>u2，則直線段在窗口外，算法轉(7)。若u1<u2，利用直線的參數(shù)方程求得直線段在窗口內(nèi)的兩端點坐標。(6)利用直線的掃描轉換算法繪制在窗口內(nèi)的直線段。算法結束。第68頁/共80頁第67頁/共80頁2023/1/17694.其它裁剪算法簡介Cohen-Sutherland算法、中點分割算法和Liang-Barsky算法Cyrus-Beck算法Nicholl-Lee-Nicholl算法第69頁/共80頁第68頁/共80頁2023/1/17706.5.3多邊形的裁剪問題的提出：

第70頁/共80頁第69頁/共80頁2023/1/17711.Sutherland-Hodgeman多邊形裁剪

基本思想第71頁/共80頁第70頁/共80頁2023/1/1772第72頁/共80頁第71頁/共80頁2023/1/1773算法實施策略：為窗口各邊界裁剪的多邊形存儲輸入與輸出頂點表。在窗口的一條裁剪邊界處理完所有頂點后，其輸出頂點表將用窗口的下一條邊界繼續(xù)裁剪。窗口