D14無窮小無窮大67239

會計(jì)學(xué)1D14無窮小無窮大67239說明:除0以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小

!時(shí),函數(shù)(或)則稱函數(shù)為定義1.

若(或)則時(shí)的無窮小

.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第1頁/共40頁其中為時(shí)的無窮小量.定理1.

(無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁/共40頁二、無窮大定義2

.

若任給

M>0,一切滿足不等式的

x,總有則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮大,

使對若在定義中將①式改為①則記作(正數(shù)X),記作總存在機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共40頁注意:無窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共40頁三、無窮小與無窮大的關(guān)系若為無窮大,為無窮小;若為無窮小,且則為無窮大.則(自證)據(jù)此定理,關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為無窮小來討論.定理2.

在自變量的同一變化過程中,說明:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共40頁

第一章二、極限的四則運(yùn)算法則三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則一、無窮小運(yùn)算法則第五節(jié)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束極限運(yùn)算法則第6頁/共40頁一、無窮小運(yùn)算法則定理1.

有限個(gè)無窮小的和還是無窮小.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:

無限個(gè)無窮小之和不一定是無窮小!例如，類似可證:有限個(gè)無窮小之和仍為無窮小.第7頁/共40頁定理2.

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

推論1

.

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2

.

有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁/共40頁例1.求解:

利用定理2可知說明:

y=0是的漸近線.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁/共40頁二、極限的四則運(yùn)算法則則有證:因則有(其中為無窮小)于是由定理1可知也是無窮小,再利用極限與無窮小的關(guān)系定理,知定理結(jié)論成立.定理3.

若機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁/共40頁推論:

若且則(P45定理5)利用保號性定理證明.說明:

定理3可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情形.提示:

令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共40頁定理4

.若則有提示:

利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2證明.說明:

定理4可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形.推論1.(C

為常數(shù))推論2.(n

為正整數(shù))例2.

設(shè)

n次多項(xiàng)式試證證:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共40頁定理5.

若且B≠0,則有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共40頁定理6

.

若則有提示:

因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù),故此定理可由定理3,4,5直接得出結(jié)論.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共40頁

x=3時(shí)分母為0!例3.

設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項(xiàng)式,試證:證:說明:

若不能直接用商的運(yùn)算法則.例4.

若機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共40頁例5.

求解:

x=1時(shí)分母=0,分子≠0,但因機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁/共40頁例6

.

求解:時(shí),分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁/共40頁一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束口算P49D1（6）——（9）第18頁/共40頁三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理6.

設(shè)且x

滿足時(shí),又則有

說明:若定理中則類似可得第19頁/共40頁例7.求解:

令已知∴原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁/共40頁例8.求解:

方法1則令∴原式方法2機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁/共40頁二、兩個(gè)重要極限一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準(zhǔn)則第六節(jié)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限

第一章第22頁/共40頁一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準(zhǔn)則1.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理1.有定義,為確定起見,僅討論的情形.有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁/共40頁定理1.有定義且有說明:此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在.法1

找一個(gè)數(shù)列不存在.法2

找兩個(gè)趨于的不同數(shù)列及使機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第24頁/共40頁例1.

證明不存在.證:

取兩個(gè)趨于0的數(shù)列及有由定理1知不存在.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第25頁/共40頁2.函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則定理2.且(利用定理1及數(shù)列的夾逼準(zhǔn)則可證)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第26頁/共40頁圓扇形AOB的面積二、兩個(gè)重要極限證:當(dāng)即亦即時(shí)，顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積故有注注目錄上頁下頁返回結(jié)束第27頁/共40頁當(dāng)時(shí)注第28頁/共40頁例2.

求解:例3.

求解:

令則因此原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第29頁/共40頁例4.

求解:

原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第30頁/共40頁2.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第31頁/共40頁例6.

求解:

令則說明

：若利用機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則原式第32頁/共40頁的不同數(shù)列內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的應(yīng)用(1)利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在(2)數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則法1

找一個(gè)數(shù)列且使法2

找兩個(gè)趨于及使不存在.函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第33頁/共40頁2.兩個(gè)重要極限或注:

代表相同的表達(dá)式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第34頁/共40頁思考與練習(xí)填空題

(1～4)第七節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第35頁/共40頁內(nèi)容小結(jié)1.極限運(yùn)算法則(1)無窮小運(yùn)算法則(2)極限四則運(yùn)算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時(shí),用代入法(分母不為0)時(shí),對型,約去公因子時(shí),分子分母同除最高次冪“抓大頭”(2)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量Th1Th2Th3Th4Th5Th7機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第36頁/共40頁思考及練習(xí)1.是否存在?為什么?答:

不存在.否則由利用極限四則運(yùn)算法則可知存在,與已知條件