2021阿里巴巴數(shù)學競賽決賽試題

阿里巴巴全球競賽決賽試題代數(shù)與數(shù)論Algebra&NumberTheory代數(shù)與數(shù)論Algebra&NumberTheory設(shè)F為域,考慮F-上的如下環(huán)結(jié)構(gòu)，加法是通常的向量加法，乘法定義為（切1,.一［工的）*（2/1）■'-1"%）=（￡］甘I］?，,：：/匕期n）,設(shè)AuF'為包含（］「，/）的子環(huán).假設(shè)A為整環(huán)，而且它作為加法群是有限生成的Q試證對于a的任何非零元（羯…網(wǎng)），我們有nL瑜#00LetFbeafield.ConsidertheringstructureonFnwhereadciitionistheusualvectoradditionandmultiplicationisdefinedby{61,.r（41t…”［9想）—（^^12/1?'■"7^n^n）■LetAcbeasubringcontaining（L...,1）.SupposeAisanintegraldomainanditsunderlyingadditivegroupisfinitelygenerated.Provethatforever}rnonzeroclement（xij+..,arft）inA：onehas"乙編豐0.設(shè)群G作用在集合◎上，使得所有G-軌道都是無限集口設(shè)r,△為n的有限子集。試證存在gWG使得g「n△=①LetagroupGactonaset1suchthatallG-orbitsareinfinite.Letr,AbefinitesubsetsofQ.ProvethatthereexistsgeGwithg「n△=0.設(shè)爐為域尸上的有限維向量空間?char(F)#2,令小『fF為二次型,也就是說:存在對稱F-雙線性型E:產(chǎn)-F(必然唯一)使得式七)=B(v.v)對所有u成立。對所有域擴張Ff瓦定義二次型Q到E上的基變換為qe：EVE;(lE(a^ E.v^V.我們說g是迷向的,如果廿*0 <?(v)t0c(a)試證如果g迷向，而國：尸]是奇數(shù)那么而也是迷向的。(b)以上敘述在[E:F]為偶數(shù)時是否成立？LetVbeafinite-dimensionalvectorspaceoverafieldFwithchar(F)t2fandlet<7;VfA1beaquadraticform,whichmeans:thereisasymmetric/"-bilinearform8：口xVfF(necessarilyunique)suchthat雇翼)=v)forallv.FbranyfieldextensionFfE,wedefinethebase-changequadraticformofqtoEby的：E包fVtE;<?e(q齒匕)=q"(切:aeE7rel<Wesayqisanisotropicif七，0<=>q(打)*0.Showthatifqisanisotropicand[E：/」isanoddpositiveinteger,thenqEisalsoanisotropic.Docstheabovestatementstillholdif[E;F]iseven?找出所有滿足以下條件的有限群G：G的階是相異素數(shù)的積，換句話說，存在相異素數(shù)a…，加使得=沔…以；G的所有非平凡元都是素數(shù)階的，換句話說每個元素的階數(shù)都屬于{1產(chǎn)2…Pm}.(注記:答案和m.有關(guān);例如當m=2時存在許多這樣的G；您必須對它們分類JFindallfinitegroupsGsatisfyingthefollowingconditions:theorderofGistheproductofdistinctprimes,ie#G=/廣受色forsomedistinctprimes九…產(chǎn)皿；andallnon-trivialelementsofGliaveprimeorder,thatis,theorderofeveryelementbelongsto{l,p17..,,pm}.(Note；Theanswertlcpcndsonibrcxatnplqwhenm=2,therearemanysuch(7;youneedtoclassifythem.)5.找出所有(也a),其中電>2是整數(shù)而a#。是復數(shù)，使得ne{「巳*|reR),ct+a：-1€{m+nx/-2| .Findallpairs(A;,a),whereA;>2isanintegerand。,。isacomplexnumber,suchthatae{『e罟|rf底卜a+or]￡{m+ |m,n€%}.二、分析與方程Analysis&DifferentialEquations1.假設(shè)9(￡)是定義在爐上的光滑Schwarz函數(shù)(也稱速降函數(shù))，滿足條件Ig(x+y)da(y)=0；WrE唆.J|M二i這里說(")是球面寸引=1}上的標準面積單元,證明g=0.AssumethatisaSchwartzfunctiononR，satisfyingthat.Ig(x+$)?仃?)=0：ER±J|M=iHereda(y)isthesurfacemeasureonthesphere||y|=1},Provethat<7=0.2.假設(shè)及3上的球?qū)ΨQ函數(shù)以工）（也就是當閉=|引時有乜（乃=9@））滿足方程Au-u+\u\2u=01VxeR3.如果建EC?（如）CHl（股，證明存在常數(shù)。使得|1￡（幻|<Ce~2工.LetuEC2（R3）CiH*瞰）beasphericallysymmetricfunction（thatis也㈤=磯g）whenever|t二|y|）verifyingtheequation△"一也+ =0,ER"+ProvethatthereexistspositiveconstantCsuchthat|u（x）|<CeT或3.考慮IT中的有界區(qū)域G,以及定義在這個區(qū)域上的非負函數(shù)k使得對常數(shù)口>1,M>0：Eq>0有M<［強航］IHdx<M證明存在只依賴于的常數(shù)C使得IMI^（Q）<c（l|v磯上⑼+/「wg》VueF網(wǎng)，LetQbeaboundeddomaininand/￡beanan-negativefunctionsuchthatM<IKtix,I<EqJqJqforsomeconstantsq>1,A/>0,Eq>0.ProvethatthereexistsaconstantCdepraciingonlyon suchthatI創(chuàng)屏⑼< +’和悶曲；｝Vve爐⑼.4.在股姓上考慮薛定謗方程idtu+ =0, (0?t)=的(￡)i工WRn.假設(shè)初始值刈EZ2⑻)0證明lim x)\2dxdt=0.JgTJ。J\x\<VtConsiderthelinearSchrodingerequationidtu+Au=0,u(0,i)=必(n，￡WAssumethatuq￡￡2(Rn).Provethatlim—[[ \u(t.x)\2dxdt=0+TtmTJo/"或\，川5.考慮標準的2維環(huán)面丁2=股2/方，以及上面的半徑為0.1的圓圈機證明存在常數(shù)C>。使得對任意定義在環(huán)面上，并且滿足方程揖J一層J= A/0的函數(shù)/均滿足不等式II力心（S出）w 心其少其中出為圓圈的弧長測度.LetT2=R2/^2bethestandard2-dimensionaltoriisandSbeafixedcircleofradius0.1onT“withthearclengthmeasureds.ProvethatthereexistsaconstantC>0suchthatforanyfonT2satisfying比J—設(shè)J=Nwchavell/ll￡2(S,d3)WC|IH3巧，三、幾何與拓中卜Geometry&Topology設(shè)Sg是萬格為9的口「定向閉曲面iN?q是萬格為2g的不可定向閉曲面(即N4由球面粘接2g個，，交叉帽”得到).設(shè)/:N2gI均是連續(xù)映射,證明：誘導映射A：H2gs,㈤叫T心⑸西/2宏)恒為0.LetSgbeaclosedorientablesurfaceofgenusg】andletN2gbeaclosednon-orientablesurfaceofgenus2g(i.e.N2gisobtainedbyattaching2gcross-capstoasphere),Let/:N2gTSgbeacontinuousmap*Provethattheinducedmapf*:為52g?陽俎｝TZ/2Z)i呂zero.設(shè)S3是R4中的單位球面，賦予標準的李群結(jié)構(gòu)，工為deRham上同調(diào)的一個非零元.證明：不存在李群同構(gòu)一:S*TS/使得廣依)=一工LetS3bethe3-dimensionalunitspherein膿\equippedwiththestandardLiegroupstructure,andlotxbeanon-zeroelementofthedeRhanicohomologyR).ProvethattheredoesnotexistaLiegroupisomorphismf:S3Ts'suchthat/*(t)=—x.設(shè)CP為復射影平面,",心43為其中三條復射影直線，滿足IIn=0,取Li,L2jL3各自的緊致管狀鄰域，使得它們的并是一個（實）4維帶邊緊致流形W,邊界記為M=9W,并且要求W\（L^L2U上3）同胚于Mx[0.1）.請計算乂的％系數(shù)同調(diào)群.LetCP2bethecomplexprojectiveplane,andLirLa,bethreecomplexprojectivelinessuchthatRL2C\-0,Theunionofsomecompacttubularneighborhoodsof心也,￡3isacompact（real）4-dimensionalmanifoldWwithboundaryM=dW,suchthatW\（LiUL?UL3）ishomeomorphictoMx[0,1）.ComputethehomologyofMwithcoefficientsinZ+設(shè)（MM是n維黎曼流形（71>3）,截面曲率K20.設(shè)M力為測地線，tE[0,T）,其中t是弧長參數(shù).假設(shè)J1：…一％T是沿7曲Jacobi場，都垂直于苗且在7每一點都線性無關(guān)。假設(shè)對任何ij都滿足U（o）M（o））=M（o）”（o）b其中I表示為沿V方向的協(xié)變導數(shù)口證明：對每個%=1,…皿-1,和0<5<力<，都有國業(yè)>呼瓦Let（Af,g）bean-dim心nsionalRiemannianmanifold（n>3）withsectionalcurvatureK>0.Let7（t）beageodesic,t￡[0,T）fwheretisthearc-lengthparameter^AssumeJ…Jn-iareJacobivertorfieldsalong7,allorthogonalto7'⑴andlinearlyindependentatanypointof7.AssumefurtherthatforanywhereJ-meanscovariantderivativeofJ*withrespecttoy.Provethatforeveryi=1?...fn—1andany0<s<i<T?wehave5⑸%>M熱,S —' t5.設(shè)”是5維緊致光滑流形50(3)xT\其中T2為一個2維環(huán)面.(1)是否存在M上的光滑黎曼度量9使得Ricci曲率嚴格為正？(2)是否存在M上的光滑黎曼度量g使得Ric=07如果存在請給出具體的例子，如果不存在請給出證明.LetMbethe5-dimensionalsmoothcompactmanifoldSO(3)xT2,whereT2isa2-dimensionaltorus,IsthereanysmoothRiemannianmetricgonAfwithstrictlypositiveRiccicurvature?IsthereanysmoothRiemannianmetricgonMwithRic=0?Writedownconcreteexamplesiftheyexistandgiveyourproofiftheydonotexist+■應用與^1學Applied&ComputationalMathematics■應用與^11.一個簡單圖G稱為“漂亮的"如果它的任意兩個相鄰頂點的度數(shù)不同.對任意附之2,定義共用為門階“漂亮的"簡單圖的邊數(shù)的最大值.求滿足砥)一㈤的實數(shù)為匕.AsimplegraphGiscalledbeautifulifanytwoadjacentverticeshavedifferentdegrees.For311yn>2,definef(n)asthenia.xnnuriinumberofedgesinabeautifulgraphwithnvertices.Findtherealnumbersa,b(bJ0)satisfyingthat71TDC2.令Q和5為兩個正整數(shù)，在一個不透明的袋子里放了小個紅球和h個藍球一紅球和藍球除了顏色以外的其它特征相同，只能通過顏色來分辨一小明進行如下的游戲：每一輪她從袋子里隨機抽取一個球,如果這個球是藍球,那么游戲結(jié)束；如果是紅球,那么她將該球放向袋子并再加放一個紅球到袋子之中(這樣袋子中的紅球增多了一個)一令Em為游戲總輪數(shù)的期望.(1)當初與b為何值時,期望Eaib取有限值？Q)將⑻地表示為。與5的函數(shù).(3)假設(shè)小明知道袋中的總球數(shù)N但不知道。與b的值.她先驗地認為。在集合{】,…，N-1}中均勻分布.在第幾輪抽到紅球的情況下她可以有9。%的把握猜測取無窮值？Letaandbbetwogtrictlypositiveintegers.Givenanobscurebagcontainingaredbalhandbblueballswhichonlydifferincolor,Aliceplaysthefollowinggame.Ineachroundshepicksrandomly昌ba,11inthebag.Iftheballisblue,thenthegameterminates;otherwisesheputstheballbackandaddsanotherredballinthebag(hencethenumberofredIjhIIsin.thebagincrEa^esby1).WedeuotebyE%&theexpectationofth曰numberoftotalroundsofthegame.ForwhichvaluesofaandbtheexpectationEgisfinite''Dyturiiiinetht;valueofEH上asafunctionofaan<ib.AssumethatAliceknowsthetotalnuml>crNofballsbutdocsnotknnwthevaluesofaandb.Sheestimatesapriorithatthevalueofauniformlydistributesin{1f...hjV—1},Attheendofwhichround(thatshepicksaredball)shecouldguesswithacertaintyof90%tHt展為wouldbeinfinite?3.給定n個正實數(shù)對…■,時,假設(shè)它們滿足Q；+1■?+成=I和的H +%.=◎.證明存在一種挑選系數(shù)切…■的方法，使得每個系數(shù)露均為1或—1，并且比如當口=5旦口1=,，,=汪5=1/45時n=、后，可以取白=幻=3=1,國=砧=-1,這樣|包01+…+%叫=i/Vs=1/&Civeil7ipositiverealnumbers……，口.suchthattheyformaunitvector,i.e-瑞+1?L+屋=1-Letm=q[+…+%..Shnwthattheresxistcnefficipiitsf$E{lt1}fori=〕卜…，取suchthat|七1。14-1—b金期1W—aForexample,ifn=5and=一?=□、=l/y/5,thena=and句==E3=1,e4= =-1gives￡xttiH Fq優(yōu)=I]瓜4.在分子動力學中，入口常使用overdampedI.angevinequationSC=/（SC）+來采樣Boltzmann分布pM3）= 目'；R這里ccE股叫B=號下>QA凸是Boltzmann常數(shù),T是溫度,/㈤=-W㈤是由勢函數(shù)V（X）決定的作用力算是■一個3d維的白噪聲，而4=工-村㈤而是歸一化常數(shù)，考慮如下的兩條耦合的采樣軌道，fe=/m】）+丘??i'電=/（工力+，2日，㈤小,其中仇0）和仇㈤會交替地取值0和￡>0.例如,可選口m戶（即6一］>使得8對應的溫度高于原系統(tǒng)的溫度以提高采樣效率.按照頻率由瓦⑴和外缶會嘗成互換取值，如果互換是嘗試從（麗為）=（仇8）變成（仇,仇）=很用，那么這種互換的接受概率為/用（血）如（的）I小曲（6）而另外一種互換的接受概率類似可得一寫出（無需證明）當頻率"TOO時（1）的極限方程,我們稱之為系統(tǒng)（A）,寫出另一個叫和叫滿足的隨機動力方程，我們稱之為系統(tǒng)（B）,使得系統(tǒng)（B）中只含有常系數(shù)的噪聲項,且系統(tǒng)LA）和系統(tǒng)（B）對應一樣的不變分布，10

InTiioleculardyiiamicsj,theovfirdampedLangevinequationx=f(x)+，啰-%isusedtosampletheBoltzmanndistribution即⑺=醞%~"他wherexER3*1,&=i，■?>四4日iftheBcltamuniiconstanttTden口testhetemperature,f(x)=—VV(jj)istheforceassociatedwiththepotentialVz(x),r?isa3n-dimensionalwhitenoiseandZ0—e'''嶗da;TnavariantmodeLweconsidertwocoupledsamplingtrajectoriesf處=/8)+，2紀RMi. ⑴[的=f(6)+，3怎I(。明，where；S|(￡)and alternativelyswei[)betweentwov^lii談/>04nd>0.Fbrcxcunple,wemaytake￡<仃(sothat§1>8，andthusthesampliiigefficiencyisimprovedbecauseBcorruHpoiidHtoahighertouiperature.Thewsswapsareattempt■白dwithfrequtJiicy鞏andtheernesfrom(仇>階=(四g),(gi,%)=⑶0)arcacceptedwithprobabilitymin『min『31叫）口白（叼）］口”叫）為（?。?111andsimilarlyfortheonesfrom(ft：聞=｛鳳用to(ft,ft)=(用圖一Writeout(withoutproof)thelimitequationsof(])whenytg、whichwenameSystem(A).Findanotherdynamicsforxejand工外callffdSysiteTri(B),suchthatSystem(B)contain?onlyconstant-cjoefficieritnoiseterms,iindSystemI：A)andSystem(B)slianzth匕semiicin^riantrneasurt.5.假設(shè)6，…:工和是一期相異實數(shù)，劭….，部是另一組相異實數(shù)，并且對于每個W=1…，B都有生>修，一個單向