ARMA模型的概念和構(gòu)造

ARMA模型的概念和構(gòu)造

1一、ARIMA模型的基本內(nèi)涵一、ARMA模型的概念自回歸移動平均模型（autoregressivemovingaveragemodels,簡記為ARMA模型），由因變量對它的滯后值以及隨機(jī)誤差項(xiàng)的現(xiàn)值和滯后值回歸得到。包括移動平均過程（MA）、自回歸過程（AR）、自回歸移動平均過程（ARMA）。2ARIMA模型的概念一.移動平均過程1.移動平均（MA）過程的表示：其中u為常數(shù)項(xiàng)，為白噪音過程引入滯后算子L，原式可以寫成:

或者

3ARIMA模型的概念2.MA（q）過程的特征1.2.3.自協(xié)方差①當(dāng)k>q時(shí)＝0②當(dāng)k<q時(shí)對于任意的，MA(q)是平穩(wěn)的。

4ARIMA模型的概念二.自回歸（AR）過程1.自回歸（AR）過程表示為：

其中為為白噪音過程引入滯后算子，則原式可寫成

其中5ARIMA模型的概念2.AR(p)過程平穩(wěn)的條件如果特征方程：的根全部落在單位圓之外，則該AR(p)過程是平穩(wěn)的

6ARIMA模型的概念3.AR(p)過程的特征

=0，的無條件期望是相等的，若設(shè)為u，則得到:7ARIMA模型的概念……將上述p+1個方程聯(lián)立，得到所謂的Yule-Walker方程組，共p+1個方程，p+1個未知數(shù)，得出AR（p）過程的方差及各級協(xié)方差。8ARIMA模型的概念三.自回歸移動平均（ARMA）過程1.ARMA過程的形式其中為白噪音過程。若引入滯后算子，可以寫成其中9ARIMA模型的概念2.ARMA過程平穩(wěn)性的條件ARMA過程的平穩(wěn)性取決于它的自回歸部分。當(dāng)滿足條件：

特征方程的根全部落在單位圓以外時(shí)，ARMA(p,q)是一個平穩(wěn)過程。10ARIMA模型的概念3.ARMA(p,q)過程的特征1）2）ARMA(p,q)過程的方差和和協(xié)方差11ARIMA模型的概念四.AR、MA過程的相互轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化結(jié)論一：平穩(wěn)穩(wěn)的AR(p)過程可以轉(zhuǎn)化化為一個MA(∞)過程，可采用用遞歸迭代法法完成轉(zhuǎn)化結(jié)論二：特征征方程根都落落在單位圓外外的MA(q)過程具有可逆逆性平穩(wěn)性和可逆逆性的概念在在數(shù)學(xué)語言上上是完全等價(jià)價(jià)的，所不同同的是，前者者是對AR過程而言的，，而后者是對對MA過程而言的。。12二、Box-Jenkins方法論建立回歸模型型時(shí)，應(yīng)遵循循節(jié)儉性(parsimony)的原則博克斯和詹金金斯(BoxandJenkins)提出了在節(jié)儉儉性原則下建建立ARMA模型的系統(tǒng)方方法論,即Box-Jenkins方法論13Box-Jenkins方法論Box-Jenkins方法論的的步驟：步驟1：模型識別步驟2：模型估計(jì)步驟3：模型的診斷斷檢驗(yàn)步驟4：模型預(yù)測14三、ARMA模型的識別別、估計(jì)、診診斷、預(yù)測(一).ARMA模型的的識別1.識別ARMA模型的兩個個工具：自相關(guān)函數(shù)(autocorrelationfunction,簡記為ACF）；偏自相關(guān)函數(shù)數(shù)(partialautocorrelationfunction,簡簡記為PACF)以及它們各自自的相關(guān)圖（（即ACF、、PACF相相對于滯后長長度描圖）。15ARMA模型型的識別2.自相關(guān)關(guān)函數(shù)和偏自自相關(guān)函數(shù)的的概念①自相關(guān)函數(shù)數(shù)過程的的第j階自相關(guān)系系數(shù)即，，自相關(guān)函函數(shù)記為ACF(j)。。②偏自相關(guān)函函數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)數(shù)度量了消除中中間滯后項(xiàng)影影響后兩滯后后變量之間的的相關(guān)關(guān)系。。偏自相關(guān)函函數(shù)記為PACF(j)16ARMA模型型的識別③自相關(guān)函數(shù)數(shù)和偏自相關(guān)關(guān)函數(shù)的聯(lián)系系2階以上的偏偏自相關(guān)函數(shù)數(shù)計(jì)算公式較較為復(fù)雜，這這里不再給出出。17ARMA模型型的識別2.MA、、AR、ARMA過程自自相關(guān)函數(shù)及及偏自相關(guān)函函數(shù)的特點(diǎn)⑴MA(q)過過程的自相關(guān)關(guān)函數(shù)1≤j≤qj>q時(shí)，ACF(j)=0，此現(xiàn)現(xiàn)象為截尾，，是MA(q)過程的一一個特征如下圖：18ARMA模型型的識別MA（2）過過程19ARMA模型型的識別⑵AR(p)過過程的偏自相相關(guān)函數(shù)時(shí)，偏自相關(guān)關(guān)函數(shù)的取值值不為0時(shí)，，偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)的的取取值值為為0AR(p)過過程程的的偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)p階階截截尾尾如下下圖圖：：20ARMA模模型型的的識識別別21ARMA模模型型的的識識別別22ARMA模模型型的的識識別別⑶AR(p)過過程程的的自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)以以及及MA(q)過過程程的的偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)平穩(wěn)穩(wěn)的的AR(P)過過程程可可以以轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為一一個個MA(∞∞））過過程程，，則則AR(P)過過程程的的自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)是是拖拖尾尾的的一個個可可逆逆的的MA(q)過過程程可可轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為一一個個AR(∞∞））過過程程，，因因此此其其偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)是是拖拖尾尾的的。。23ARMA模模型型的的識識別別⑷ARMA(p,q)過過程程的的自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)和和偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)ARMA過過程程的的自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)和和偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)都都是是拖拖尾尾的的如下下圖圖：：24ARIMA模模型型的的識識別別25ARMA模模型型的的識識別別3.利利用用自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)、、偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)對對ARMA模模型型進(jìn)進(jìn)行行識識別別⑴通通過過ADF檢檢驗(yàn)驗(yàn)，，來來判判斷斷序序列列過過程程的的平平穩(wěn)穩(wěn)性性；；⑵利利用用自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)、、偏偏自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)以以及及它它們們的的圖圖形形來來確確定定p,q的的值值。。26（二二））ARMA模模型型的的估估計(jì)計(jì)ARMA模模型型的的估估計(jì)計(jì)方方法法：：矩估估計(jì)計(jì)極大大似似然然估估計(jì)計(jì)非線線性性估估計(jì)計(jì)最小小二二乘乘估估計(jì)計(jì)27（三三））ARMA模模型型的的診診斷斷一.診診斷斷的的含含義義二.診診斷斷的的方方法法三.檢檢驗(yàn)驗(yàn)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量Box和和Pierce提提出出的的Q統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量Ljung和和Box(1978)提提出出的的LB統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量。28ARIMA模模型型的的診診斷斷1.Q統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量，近近似似服服從從（（大大樣樣本本中中））分布布其中中n為為樣樣本本容容量量，，m為為滯滯后后長長度度2.LB統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量，服從從分分布布，，其其中n為為樣樣本本容容量量，，m為為滯滯后后長長度度。。3.LB統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的特特點(diǎn)點(diǎn)29ARMA模模型型的的診診斷斷四.信信息息準(zhǔn)準(zhǔn)則則(informationcriteria)Akaike信信息息準(zhǔn)準(zhǔn)則則Schwarz信信息息準(zhǔn)準(zhǔn)則則Hannan-Quinn信信息息準(zhǔn)準(zhǔn)則則其中中為為殘殘差差平平方方，，是是所所有有估估計(jì)計(jì)參參數(shù)數(shù)的的個個數(shù)數(shù)，，T為為樣樣本本容容量量。30ARMA模模型型的的預(yù)預(yù)測測一.基基于于AR模模型型的的預(yù)預(yù)測測以平平穩(wěn)穩(wěn)的的AR(2)過過程程為為例例：：其中中為為零零均均值值白白噪噪音音過過程程………31ARMA模模型型的的預(yù)預(yù)測測在t時(shí)時(shí)刻刻，，預(yù)預(yù)測測的的值值：：=在t時(shí)時(shí)刻刻，，預(yù)預(yù)測測的的值值：：同理理：：…結(jié)論論32ARMA模模型型的的預(yù)預(yù)測測二.基基于于MA過過程程的的預(yù)預(yù)測測過程程結(jié)論論：：MA(2)過過程程僅僅有有2期期的的記記憶憶力力33ARMA模模型型的的預(yù)預(yù)測測三.基基于于ARMA過過程程的的預(yù)預(yù)測測結(jié)合合對對AR過過程程和和MA過過程程進(jìn)進(jìn)行行預(yù)預(yù)測測ARMA模模型型一一般般用用于于短短期期預(yù)預(yù)測測34五、、實(shí)實(shí)例例：：ARMA模模型型在在金金融融數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)中中的的應(yīng)應(yīng)用用數(shù)據(jù)據(jù)：1991年年1月月到到2005年年1月月的的我我國國貨貨幣幣供供應(yīng)應(yīng)量量（（廣廣義義貨貨幣幣M2））的的月月度度時(shí)時(shí)間間序序列列數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)目的的：說明明在在Eviews5.0軟軟件件中中利利用用B-J方方法法論論建建立立合合適適的的ARIMA（（p,d,q）