2022年湖南省長沙市寧鄉(xiāng)縣第十一高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

2022年湖南省長沙市寧鄉(xiāng)縣第十一高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.為了得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象 A．向左平移個(gè)長度單位 B．向右平移個(gè)長度單位C．向左平移個(gè)長度單位 D．向右平移個(gè)長度單位參考答案：A略2.點(diǎn)P在雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線PF1與以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，a為半徑的圓相切于點(diǎn)A，線段PF1的垂直平分線恰好過點(diǎn)F2，則的值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由題意，線段PF1的垂直平分線恰過點(diǎn)F2，垂直為D，則yA=yp，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：由題意，線段PF1的垂直平分線恰過點(diǎn)F2，垂直為D，則yD=2yA=yp，yA=yp，∴==，故選：D．3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A4.已知為兩個(gè)命題,則"是假命題"是"為真命題"的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A5.已知函數(shù)的圖像分別交于M、N兩點(diǎn)，則的最大值是

A．1

B．

C．

D．參考答案：B6.已知△ABC的邊BC上有一點(diǎn)D滿足，則可表示為A．

B．C．

D．參考答案：D7.函數(shù)y=的值域是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D8.已知，且，則等于

A.

B.

C.

D.參考答案：C，由得，解得，因?yàn)椋越獾?，所以，選C.9.已知雙曲線y2=1，則雙曲線的離心率為(

)

A．

B．

C．

D．

2參考答案：C10.下列有關(guān)命題的說法正確的是

A．命題“若x=y，則sinx=siny"的逆否命題為真命題．

B．函數(shù)f(x)=tanx的定義域?yàn)椋瓹．命題“，使得”的否定是：“，均有

”．D．“a=2”是“直線與垂直”的必要不充分條件，參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且與具有相同漸近線，則的方程為________；漸近線方程為________.參考答案：，s12.不等式在[1，3]內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：a＜略13.參考答案：14.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則=

．參考答案：8115.從集合內(nèi)任選一個(gè)元素，則滿足的概率為

．參考答案：答案：

16.函數(shù)的零點(diǎn)屬于區(qū)間，則

參考答案：1【知識點(diǎn)】零點(diǎn)存在性定理B9解析：在R上單調(diào)遞增且為連續(xù)函數(shù)，因?yàn)?，所以，根?jù)零點(diǎn)存在性定理可得。零點(diǎn)屬于區(qū)間，所以，故答案為1.【思路點(diǎn)撥】因?yàn)楹瘮?shù)為單調(diào)遞增且為連續(xù)函數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，只需找到的，的值即可，確定的值.17.

已知函數(shù)（是常數(shù)且），對于命題：①函數(shù)的最小值是；②函數(shù)在上是連續(xù)的；③函數(shù)在上有反函數(shù)；④對任意且恒有.其中正確命題的序號為__________________.參考答案：答案:①②④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓E：的焦距為2，A是E的右頂點(diǎn)，P、Q是E上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且直線PA的斜率與直線QA的斜率之積為．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）過E的右焦點(diǎn)作直線與E交于M、N兩點(diǎn)，直線MA、NA與直線x=3分別交于C、D兩點(diǎn)，設(shè)△ACD與△AMN的面積分別記為S1、S2，求2S1﹣S2的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（I）通過P、Q是E上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且直線PA的斜率與直線QA的斜率之積為，及焦距為2，計(jì)算可得a2=4，b2=3，從而可得E的方程；（II）設(shè)直線MN的方程為x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），可得直線MA的方程，聯(lián)立直線MN與橢圓E的方程，利用韋達(dá)定理可得S1，S2的表達(dá)式，通過換元法計(jì)算可得結(jié)論?【解答】解：（I）根據(jù)題意，設(shè)P（x0，y0），Q（﹣x0，﹣y0），則，，依題意有，又c=1，所以a2=4，b2=3，故橢圓E的方程為：；（II）設(shè)直線MN的方程為x=my+1，代入E的方程得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由韋達(dá)定理知，又直線MA的方程為，將x=3代入，得，同理，所以，所以，，則2S1﹣S2=3﹣，令，則m2=t2﹣1，所以，記，則，所以f（t）在[1，+∞）單調(diào)遞增，從而f（t）的最小值為，故2S1﹣S2的最小值為?【點(diǎn)評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，換元法等知識，注意解題方法的積累，屬于難題．19.已知f（x）=cos2x﹣2sinxcosx（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，f（A）=﹣，a=，b=，求c．參考答案：【考點(diǎn)】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；HT：三角形中的幾何計(jì)算．【分析】（1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，（2）根據(jù)f（A）=﹣，求解A角的大小，利用余弦定理即可求解c的值．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=cos2x﹣2sinxcosx化簡可得：f（x）=cos2x﹣sin2x=2cos（2x+），∴f（x）=2cos（2x+），∴f（x）的最小正周期為T=π．（Ⅱ）∵f（A）=﹣，即2cos（2A）=﹣，∴cos（2A）=﹣．∵0＜A＜，∴A=．在△ABC中，由余弦定理得，c2+b2﹣2bccosA=a2，∵a=，b=，∴c2﹣c﹣1=0，解得：c=．故c的值為：．【點(diǎn)評】本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用以及余弦定理的運(yùn)用．三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．20.在四棱錐中，平面平面,,在銳角中,并且,（1）點(diǎn)是上的一點(diǎn)，證明：平面平面；

（2）若與平面成角，當(dāng)面面時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.參考答案：法一（1）∵BD=2AD=8，AB=4，由勾股定理得BD⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?面ABCD，

∴BD⊥平面PADBD?面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD

（2）如圖，∵BD⊥平面PAD，∴平面PBD⊥平面PAD，∴∠APD=60°，

做PF⊥AD于F，∴PF⊥面ABCD，PF=2，

設(shè)面PFC∩面MBD=MN，面MBD⊥平面ABCD∴面PF∥面MBD，∴PF∥MN，

取DB中點(diǎn)Q，得CDFQ為平行四邊形，由平面ABCD邊長得N為FC中點(diǎn)，

∴MN=PF=法二（1）同一

（2）在平面PAD過D做AD垂線為z軸，由（1），以D為原點(diǎn)，DA，DB為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)平面PBD法向量為=(x，y，z)，設(shè)P（2，0，a），銳角△PAD∴a＞2，

由?=0，?=0，

解得=(-a，0，2)，=(2，0，-a)，|cos＜，＞|==，解得a=2或a=＜2（舍）

設(shè)=λ，解得M(2-4λ，4λ，2-2λ)

∵面MBD⊥平面ABCD，AD⊥BD，∴面MBD法向量為=(0，0，4)，∴?=0，解得λ=，∴M到平面ABD的距離為豎坐標(biāo)．略21.已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝＋bx2＋cx＋bc,其導(dǎo)函數(shù)為f+(x).令g(x)＝∣f+(x)∣,記函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1、1]上的最大值為M.

(Ⅰ)如果函數(shù)f(x)在x＝1處有極值-，試確定b、c的值：

（Ⅱ）若∣b∣>1,證明對任意的c,都有M>2

(Ⅲ)若M≧K對任意的b、c恒成立，試求k的最大值。參考答案：（I）解析：，由在處有極值可得解得或若，則，此時(shí)沒有極值；若，則

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：10+0極小值極大值當(dāng)時(shí)，有極大值，故，即為所求。（Ⅱ）證法1：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間之外。在上的最值在兩端點(diǎn)處取得故應(yīng)是和中較大的一個(gè)即證法2（反證法）：因?yàn)?，所以函?shù)的對稱軸位于區(qū)間之外，在上的最值在兩端點(diǎn)處取得。故應(yīng)是和中較大的一個(gè)假設(shè)，則

將上述兩式相加得：，導(dǎo)致矛盾，（Ⅲ）解法1：（1）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）可知；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)）的對稱軸位于區(qū)間內(nèi)，

此時(shí)由有①若則，于是②若，則于是綜上，對任意的、都有而當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值故對任意的、恒成立的的最大值為。解法2：（1）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）可知；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間內(nèi)，此時(shí)

，即下同解法122.已知函數(shù)．（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若存在x∈[0，2]，使得f（x）﹣g（x）＜0成立，求m的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)x1、x2（x1≠x2）是函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：x1+x2＜0．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為存在x∈[0，2]，使得（ex﹣﹣2x）min＜m2﹣2m﹣3成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，從而求出a的范圍；（3）作差得到函數(shù)h（x）=ex﹣e﹣x﹣2x（x≥0），求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，從而判斷結(jié)論．【解答】（Ⅰ）解：f′（x）=ex﹣1，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故f（x）在（﹣∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增；（Ⅱ）若存在x∈[0，2]，使得f（x）﹣g（x）＜0成立，即存在x∈[0，2]，使得（ex﹣﹣2x）min＜m2﹣2m﹣3成立，令h（x）=ex﹣﹣2x，x∈[0，2]，則h′（x）=ex+﹣2≥2﹣2=0，故h（x）在[0，2]遞增，h（x）min=h（0）=0，故只需m2﹣2m﹣3＞0，解得：m＞3或m＜﹣1；（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）可知，x=0是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，即最小值為f（0）=2m+4，顯然只有2m+4＜