安徽省滁州市萬壽中學2022年度高二數學理月考試卷含解析

安徽省滁州市萬壽中學2022年度高二數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.對一切實數x，不等式x4+ax2+1≥0恒成立，則實a的取值范圍是(

)A．（﹣∞，﹣2） B．[﹣2，+∞） C．[0，2] D．[0，+∞）參考答案：B【考點】函數最值的應用．【專題】計算題．【分析】討論x是否為零，然后將a分離出來，使得﹣a恒小于不等式另一側的最小值即可，求出a的范圍即為所求．【解答】解：∵對一切實數x，不等式x4+ax2+1≥0∴x4+1≥﹣ax2在R上恒成立當x=0時不等式恒成立當x≠0時，﹣a≤在R上恒成立而≥2∴﹣a≤2即a≥﹣2故選B．【點評】本題主要考查了恒成立問題，以及參數分離法和利用基本不等式求函數的最值，屬于中檔題．2.已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積不可能是（）A．

B． C． D．參考答案：C3.閱讀如圖21－5所示的程序框圖，輸出的結果S的值為()圖21－5A．0

B．

C．

D．－參考答案：B4.已知是第二象限角,（）A． B． C． D．參考答案：A略5.直線在x軸，y軸上的截距分別為()A.2,3 B.－2,3 C.－2，－3 D.2，－3參考答案：D【分析】分別令等于0，即可求出結果.【詳解】因為，當時，，即在軸上的截距為；當時，，即在軸上的截距為；故選D【點睛】本題主要考查直線的截距，熟記截距式即可，屬于基礎題型.6.曲線y=在點（1，1）處的切線方程為（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y﹣5=0參考答案：B【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】求出導數，求得切線的斜率，由點斜式方程可得切線的方程．【解答】解：y=的對數為y′==﹣，可得在點（1，1）處的切線斜率為﹣1，則所求切線的方程為y﹣1=﹣（x﹣1），即為x+y﹣2=0．故選：B．7.已知a∈R，若方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圓，則此圓心坐標（）A．（﹣2，﹣4） B．C．（﹣2，﹣4）或 D．不確定參考答案：A【考點】圓的標準方程．【分析】由已知可得a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2，把a=﹣1代入原方程，配方求得圓心坐標和半徑，把a=2代入原方程，由D2+E2﹣4F＜0說明方程不表示圓，則答案可求．【解答】解：∵方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圓，∴a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2．當a=﹣1時，方程化為x2+y2+4x+8y﹣5=0，配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圓的圓心坐標為（﹣2，﹣4），半徑為5；當a=2時，方程化為x2+y2+x+2y+2.5=0，此時D2+E2﹣4F＜0，方程不表示圓，故選：A．8.已知函數f（x）的導函數為f′（x），且滿足關系式f（x）=x2+3xf′（1），則f′（1）的值等于（） A． B． C．1 D．﹣1參考答案：D【考點】導數的運算． 【專題】方程思想；綜合法；導數的概念及應用． 【分析】對f（x）求導，將x=1代入導函數求出． 【解答】解：∵f（x）=x2+3xf′（1），∴f′（x）=2x+3f′（1）． ∴當x=1時有f′（1）=2+3f′（1）．解得f′（1）=﹣1． 故選：D． 【點評】本題考查了導數的運算，屬于基礎題． 9.已知復數，則z在復平面內對應的點位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：D由題意可得，在復平面內對應的點為，在第四象限，選D10.如圖是選修1-2第二章“推理與證明”的知識結構圖（部分），如果要加入知識點“三段論”，那么應該放在圖中（

）A．“①”處B．“②”處C.“③”處D．“④”處參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.長方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線AB，A1D1所成的角等于

．參考答案：90°12.設過點的直線分別與軸的正半軸、軸的正半軸交于A、B兩點，點與點P關于軸對稱，O點為坐標原點，若且則P點的軌跡方程是_________.參考答案：略13.已知等差數列{an}中，a3、a15是方程x2﹣6x﹣1=0的兩根，則a7+a8+a9+a10+a11=

．參考答案：15【考點】8F：等差數列的性質．【分析】根據一元二次方程根與系數的關系可得a3+a15=6，再由等差數列的性質可得a7+a11=a8+a10=2a9=a3+a15，由此求得要求式子的值．【解答】解：由題意可得a3+a15=6，又a7+a11=a8+a10=2a9=a3+a15，∴a7+a8+a9+a10+a11=（2+）（a3+a15）=×6=15，故答案為15．【點評】本題主要考查一元二次方程等于系數的關系，等差數列的定義和性質的應用，屬于中檔題．14.=．參考答案：2π【考點】定積分．【專題】計算題．【分析】根據定積分的定義，找出根號函數f（x）=的幾何意義，計算即可．【解答】解：，積分式的值相當于以原點為圓心，以2為半徑的一個半圓面的面積，故其值是2π故答案為：2π．【點評】此題考查利用定積分的幾何意義，求解定積分的值，是高中新增的內容，要掌握定積分基本的定義和性質，解題的關鍵是找出原函數．15.的展開式奇數項的二項式系數之和為128，則展開式中二項式系數最大項為______．參考答案：【分析】根據二項式展開式奇數項的二項式系數之和公式列方程，求得的值，進而求得二項式展開式中二項式系數最大項.【詳解】由于二項式展開式奇數項的二項式系數之和為，即，所以，此時二項式展開式一共有項，故第項的二項式系數最大，.【點睛】本小題主要考查二項式展開式的二項式系數之和，考查二項式展開式中二項式系數最大的項的求法，屬于基礎題.16.已知點A(λ＋1，μ－1,3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3,9)三點共線，則實數λ＋μ＝________.參考答案：17.已知函數f（x）=，其中m＞0，若存在實數b，使得關于x的方程f（x）=b有三個不同的根，則m的取值范圍是．參考答案：（3，+∞）【考點】根的存在性及根的個數判斷．【分析】作出函數f（x）=的圖象，依題意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可．【解答】解：當m＞0時，函數f（x）=的圖象如下：∵x＞m時，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得關于x的方程f（x）=b有三個不同的根，必須4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范圍是（3，+∞），故答案為：（3，+∞）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數.（1）求曲線在原點處的切線方程.（2）當時，求函數的零點個數;參考答案：（1）（2）函數零點個數為兩個【分析】（1）根據導數的幾何意義，即可求解曲線在原點處的切線方程；（2）由（1），求得函數的單調性，分類討論，即可求解函數的零點個數．【詳解】（1）由題意，函數，則，則，從而曲線在原點處的切線方程為．（2）由（1）知，令得或，從而函數單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為，當時，恒成立，所以在上沒有零點；當時，函數在區(qū)間單調遞減，且，存在唯一零點；當時，函數在區(qū)間單調遞增，且，存在唯一零點．綜上，當時，函數零點個數為兩個.【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義求解曲線在某點處的切線方程，以及利用導數研究函數的單調性及其應用，著重考查了分類討論思想，推理與運算能力，屬于基礎題．19.在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=2AB=2．（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積V；（2）若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF．參考答案：【考點】直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】（1）利用直角三角形的邊角關系可得BC，CD．SABCD=，利用V=S四邊形ABCD×PA，即可得出．（2）在Rt△ABC，∠BAC=60°，可得AC=2AB，PA=CA，又F為PC的中點，可得AF⊥PC．利用線面垂直的判定與性質定理可得：CD⊥PC．利用三角形的中位線定理可得：EF∥CD．于是EF⊥PC．即可證明PC⊥平面AEF．【解答】（本題滿分12分）解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴BC=，AC=2．在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，∴CD=2，AD=4．∴SABCD==．則V=．…．（6分）（2）∵PA=CA，F(xiàn)為PC的中點，∴AF⊥PC．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．∵E為PD中點，F(xiàn)為PC中點，∴EF∥CD．則EF⊥PC．∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF．…（12分）【點評】本題考查了線面垂直的判定與性質定理、三角形的中位線定理、直角三角形的邊角關系、四棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20.已知圓C的方程為x2＋y2＝4.（1）直線l過點P(1,2)，且與圓C交于A、B兩點，若|AB|＝2，求直線l的方程；（2）圓C上一動點M(x0，y0)，＝(0，y0)，若向量＝＋，求動點Q的軌跡方程．參考答案：(1)①若直線l垂直于x軸，則此直線為x＝1，l與圓的兩個交點坐標分別為(1，)和(1，－)，這兩點間的距離為2，符合題意．②若直線l不垂直于x軸，設其方程為y－2＝k(x－1)即kx－y－k＋2＝0設圓心到此直線的距離為d∵2＝2∴d＝1∴1＝解得k＝故所求直線方程為3x－4y＋5＝0綜上所述所求直線方程是x＝1或3x－4y＋5＝0.(2)設Q點坐標為(x，y)∵M點的坐標是(x0，y0)，＝(x0，y0)，＝(0，y0)，＝＋∴(x，y)＝(x0,2y0)∴∵x02＋y02＝4∴x2＋()2＝4.即＋＝1，∴Q點的軌跡方程是＋＝1.21.設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4000cm2，畫面的上下各留8cm空白，左右各留5cm空白，怎樣設計畫面的高與寬，才能使宣傳畫所用紙張的面積最小，最小面積是多少？參考答案：設畫面的高為時，宣傳畫所用紙張面積為.此時，畫面的寬為……………………2分且有……………4分…………8分當且僅當即時等號成立。………………10分所以設計畫面的高為，寬為的宣傳畫所用紙張面積最小，最小面積是5760cm2.………………………12分22.已知，是實數，函數和是的導函數，若在區(qū)間I上恒成立，則稱和在區(qū)間I上單調性一致.（