2022年江蘇省南京市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)

2022年江蘇省南京市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.

3.微分方程yy'=1的通解為A.A.y=x2+C

B.y2=x+C

C.1/2y2=Cx

D.1/2y2=x+C

4.A.A.1/4B.1/2C.1D.2

5.

6.如圖所示，在乎板和受拉螺栓之間墊上一個墊圈，可以提高()。

A.螺栓的拉伸強度B.螺栓的剪切強度C.螺栓的擠壓強度D.平板的擠壓強度

7.

8.設函數z=y3x，則等于()．A.A.y3xlny

B.3y3xlny

C.3xy3x

D.3xy3x-1

9.已知作用在簡支梁上的力F與力偶矩M=Fl，不計桿件自重和接觸處摩擦，則以下關于固定鉸鏈支座A的約束反力表述正確的是()。

A.圖(a)與圖(b)相同B.圖(b)與圖(c)相同C.三者都相同D.三者都不相同

10.

11.

12.

13.A.

B.0

C.ln2

D.-ln2

14.（）。A.

B.

C.

D.

15.A.-3-xln3

B.-3-x/ln3

C.3-x/ln3

D.3-xln3

16.

17.

18.設函數y=f(x)的導函數，滿足f'(-1)=0，當x＜-1時，f'(x)＜0；x＞-1時，f'(x)＞0．則下列結論肯定正確的是()．A.A.x=-1是駐點，但不是極值點B.x=-1不是駐點C.x=-1為極小值點D.x=-1為極大值點19.A.A.為所給方程的解，但不是通解

B.為所給方程的解，但不－定是通解

C.為所給方程的通解

D.不為所給方程的解

20.直線l與x軸平行，且與曲線y=x-ex相切，則切點的坐標是（）A.A.(1，1)

B.(-1，1)

C.(0，-l)

D.(0，1)

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.

25.設y=f(x)在點x=0處可導，且x=0為f(x)的極值點，則f'(0)=______．26.

27.函數f(x)=2x2+4x+2的極小值點為x=_________。

28.

29.設y=3x，則y"=_________。

30.設f(x)=ax3-6ax2+b在區(qū)間[-1，2]的最大值為2，最小值為-29，又知a＞0,則a，b的取值為______.

31.如果函數f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，則在(a，b)內至少存在一點ξ，使得f(b)-f(a)=________。

32.

33.

34.若當x→0時，2x2與為等價無窮小，則a=______．

35.當x=1時，f(x)=x3+3px+q取到極值(其中q為任意常數），則p=______.

36.

37.

38.

39.40.三、計算題(20題)41.求函數一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．42.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則43.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

44.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．45.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數a>0．46.求微分方程的通解．

47.

48.求函數y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

49.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

50.證明：51.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．52.53.求曲線在點(1，3)處的切線方程．54.

55.

56.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

57.

58.

59.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．60.四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.設65.66.67.

68.

69.

70.

五、高等數學(0題)71.

六、解答題(0題)72.設

參考答案

1.D

2.C

3.D

4.C

5.C

6.D

7.C解析：

8.D本題考查的知識點為偏導數的計算．

z=y3x

是關于y的冪函數，因此

故應選D．

9.D

10.D

11.B

12.C解析：

13.A為初等函數，定義區(qū)間為，點x=1在該定義區(qū)間內，因此

故選A．

14.C由不定積分基本公式可知

15.A由復合函數鏈式法則可知，因此選A．

16.A

17.B

18.C本題考查的知識點為極值的第一充分條件．

由f'(-1)=0，可知x=-1為f(x)的駐點，當x＜-1時，f'(x)＜0；當x＞-1時，f'(x)＞1，由極值的第一充分條件可知x=-1為f(x)的極小值點，故應選C．

19.B本題考查的知識點為線性常系數微分方程解的結構．

20.C

21.3x2+4y3x2+4y解析：

22.

本題考查的知識點為直線的方程和直線與直線的關系．

由于兩條直線平行的充分必要條件為它們的方向向量平行，因此可取所求直線的方向向量為(2，1，－1)．由直線的點向式方程可知所求直線方程為

23.

24.25.0本題考查的知識點為極值的必要條件．

由于y=f(x)在點x=0可導，且x=0為f(x)的極值點，由極值的必要條件可知有f'(0)=0．

26.

本題考查的知識點為定積分的換元法．

解法1

解法2

令t＝1＋x2，則dt＝2xdx．

當x＝1時，t＝2；當x＝2時，t＝5．

這里的錯誤在于進行定積分變量替換，積分區(qū)間沒做變化．

27.-1

28.29.3e3x

30.

f'(x)=3ax2-12ax，f'(x)=0,則x=0或x=4，而x=4不在[-1，2]中，故舍去.f''(x)=6ax-12a，f''(0)=-12a，因為a＞0，所以，f''(0)＜0，所以x=0是極值點.又因f(-1)=-a-6a+b=b-7a，f(0)=b，f(2)=8a-24a+b=b-16a，因為a＞0,故當x=0時，f(x)最大，即b=2；當x=2時，f(x)最小.所以b-16a=-29，即16a=2+29=31，故a=.

31.f"(ξ)(b-a)由題目條件可知函數f(x)在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此必定存在一點ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。

32.

33.

本題考查的知識點為導數的四則運算．34.6；本題考查的知識點為無窮小階的比較．

當于當x→0時，2x2與為等價無窮小，因此

可知a=6．

35.-1f'(x）=3x2+3p，f'(1)=3十3p=0,所以p=-1.

36.x2x+3x+C本題考查了不定積分的知識點。

37.(-33)

38.

解析：

39.

40.

41.

列表：

說明

42.由等價無窮小量的定義可知

43.

44.函數的定義域為

注意

45.

46.

47.

48.

49.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

50.

51.

52.53.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

54.

55.

56.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

57.由一階線性微分方程通解公式有

58.

則

59.由二重積分物理意義知

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.69.本題考查的知識點為兩個：