北京市海淀區(qū)重點中學2022年高三第三次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中，，為的中點，，，則（）A． B． C． D．22．已知數(shù)列的前n項和為，，且對于任意，滿足，則（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則的最小值為（）A． B． C． D．4．已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個小三角形全等，則（）A．PA，PB，PC兩兩垂直 B．三棱錐P-ABC的體積為C． D．三棱錐P-ABC的側面積為5．已知函數(shù)，，若對任意，總存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．6．已知函數(shù)則函數(shù)的圖象的對稱軸方程為（）A． B．C． D．7．已知函數(shù)的圖像與一條平行于軸的直線有兩個交點，其橫坐標分別為，則（）A． B． C． D．8．一輛郵車從地往地運送郵件，沿途共有地，依次記為，，…（為地，為地）．從地出發(fā)時，裝上發(fā)往后面地的郵件各1件，到達后面各地后卸下前面各地發(fā)往該地的郵件，同時裝上該地發(fā)往后面各地的郵件各1件，記該郵車到達，，…各地裝卸完畢后剩余的郵件數(shù)記為．則的表達式為（）．A． B． C． D．9．已知為拋物線的準線，拋物線上的點到的距離為，點的坐標為，則的最小值是（）A． B．4 C．2 D．10．已知函數(shù)，當時，的取值范圍為，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．11．在邊長為2的菱形中，，將菱形沿對角線對折，使二面角的余弦值為，則所得三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．12．等腰直角三角形BCD與等邊三角形ABD中，，，現(xiàn)將沿BD折起，則當直線AD與平面BCD所成角為時，直線AC與平面ABD所成角的正弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為，斜率為的直線過且與拋物線交于兩點，為坐標原點，若在第一象限，那么_______________．14．對定義在上的函數(shù)，如果同時滿足以下兩個條件：（1）對任意的總有；（2）當，，時，總有成立.則稱函數(shù)稱為G函數(shù).若是定義在上G函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________.15．已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，則該雙曲線的離心率為_______.16．已知函數(shù)的定義域為R，導函數(shù)為，若，且，則滿足的x的取值范圍為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為ρ＝4sin（θ+）.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C交于M，N兩點，求△MON的面積.18．（12分）已知a,b∈R，設函數(shù)f(x)=(I)若b=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間：(II)當x∈[0,+∞)時，f(x)的最小值為0，求a+5b的最大值.注：19．（12分）已知在平面直角坐標系中，橢圓的焦點為為橢圓上任意一點，且.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線交橢圓于兩點，且滿足（分別為直線的斜率），求的面積為時直線的方程.20．（12分）已知橢圓的離心率為，且以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知動直線l過右焦點F，且與橢圓C交于A、B兩點，已知Q點坐標為，求的值．21．（12分）如圖所示，四棱柱中，底面為梯形，，，，，，.（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）使得，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

在中，由正弦定理得；進而得，在中，由余弦定理可得.【詳解】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故選：D【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應用，考查了學生的運算求解能力.2．D【解析】

利用數(shù)列的遞推關系式判斷求解數(shù)列的通項公式，然后求解數(shù)列的和，判斷選項的正誤即可．【詳解】當時，．所以數(shù)列從第2項起為等差數(shù)列，，所以，，．，，．故選：．【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項公式的求法，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．3．A【解析】

首先求得平移后的函數(shù)，再根據(jù)求的最小值.【詳解】根據(jù)題意，的圖象向左平移個單位后，所得圖象對應的函數(shù)，所以，所以．又，所以的最小值為．故選：A【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，誘導公式，意在考查平移變換，屬于基礎題型.4．C【解析】

根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖，然后再計算可得.【詳解】解：根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示，其中D為AB的中點，底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為，，，，，、不可能垂直，即不可能兩兩垂直，，.三棱錐P-ABC的側面積為.故正確的為C.故選：C.【點睛】本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計算問題，屬于中檔題.5．C【解析】

將函數(shù)解析式化簡，并求得，根據(jù)當時可得的值域；由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得的值域，結合存在性成立問題滿足的集合關系，即可求得的取值范圍.【詳解】依題意，則，當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，；而函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，則只需，故，解得，故實數(shù)的取值范圍為.故選：C.【點睛】本題考查了導數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應用，恒成立與存在性成立問題的綜合應用，屬于中檔題.6．C【解析】

，將看成一個整體，結合的對稱性即可得到答案.【詳解】由已知，，令，得.故選：C.【點睛】本題考查余弦型函數(shù)的對稱性的問題，在處理余弦型函數(shù)的性質時，一般采用整體法，結合三角函數(shù)的性質，是一道容易題.7．A【解析】

畫出函數(shù)的圖像，函數(shù)對稱軸方程為，由圖可得與關于對稱，即得解.【詳解】函數(shù)的圖像如圖，對稱軸方程為，，又，由圖可得與關于對稱，故選：A【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對稱性，考查了學生綜合分析，數(shù)形結合，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.8．D【解析】

根據(jù)題意，分析該郵車到第站時，一共裝上的郵件和卸下的郵件數(shù)目，進而計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，該郵車到第站時，一共裝上了件郵件，需要卸下件郵件，則，故選：D．【點睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的應用，屬于中檔題．9．B【解析】

設拋物線焦點為，由題意利用拋物線的定義可得，當共線時，取得最小值，由此求得答案.【詳解】解：拋物線焦點，準線，過作交于點，連接由拋物線定義，

，

當且僅當三點共線時，取“＝”號，∴的最小值為.

故選：B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題.10．C【解析】

求導分析函數(shù)在時的單調(diào)性、極值，可得時，滿足題意，再在時，求解的x的范圍，綜合可得結果.【詳解】當時，，令，則；，則，∴函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.∴函數(shù)在處取得極大值為，∴時，的取值范圍為，∴又當時，令，則，即，∴綜上所述，的取值范圍為.故選C.【點睛】本題考查了利用導數(shù)分析函數(shù)值域的方法，考查了分段函數(shù)的性質，屬于難題.11．D【解析】

取AC中點N，由題意得即為二面角的平面角，過點B作于O，易得點O為的中心，則三棱錐的外接球球心在直線BO上，設球心為，半徑為，列出方程即可得解.【詳解】如圖，由題意易知與均為正三角形，取AC中點N，連接BN，DN，則，，即為二面角的平面角，過點B作于O，則平面ACD，由，可得，，，即點O為的中心，三棱錐的外接球球心在直線BO上，設球心為，半徑為，，,解得，三棱錐的外接球的表面積為.故選：D.【點睛】本題考查了立體圖形外接球表面積的求解，考查了空間想象能力，屬于中檔題.12．A【解析】

設E為BD中點，連接AE、CE，過A作于點O，連接DO，得到即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，根據(jù)題中條件求得相應的量，分析得到即為直線AC與平面ABD所成角，進而求得其正弦值，得到結果.【詳解】設E為BD中點，連接AE、CE，由題可知，，所以平面，過A作于點O，連接DO，則平面，所以即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，所以，可得，在中可得，又，即點O與點C重合，此時有平面，過C作與點F，又，所以，所以平面，從而角即為直線AC與平面ABD所成角，，故選：A.【點睛】該題考查的是有關平面圖形翻折問題，涉及到的知識點有線面角的正弦值的求解，在解題的過程中，注意空間角的平面角的定義，屬于中檔題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．2【解析】

如圖所示，先證明，再利用拋物線的定義和相似得到.【詳解】由題得,.因為.所以,過點A、B分別作準線的垂線，垂足分別為M，N，過點B作于點E,設|BF|=m，|AF|=n，則|BN|=m，|AM|=n，所以|AE|=n-m，因為,所以|AB|=3(n-m)，所以3(n-m)=n+m，所以.所以.故答案為：2【點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關系，考查拋物線的定義，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.14．【解析】

由不等式恒成立問題采用分離變量最值法：對任意的恒成立，解得，又在，恒成立，即，所以，從而可得.【詳解】因為是定義在上G函數(shù)，所以對任意的總有，則對任意的恒成立，解得，當時，又因為，，時，總有成立，即恒成立，即恒成立，又此時的最小值為，即恒成立，又因為解得.故答案為：【點睛】本題是一道函數(shù)新定義題目，考查了不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查了學生分析理解能力，屬于中檔題.15．【解析】

根據(jù)雙曲線方程，可得漸近線方程，結合題意可表示，再由雙曲線a，b，c關系表示，最后結合雙曲線離心率公式計算得答案.【詳解】因為雙曲線為，所以該雙曲線的漸近線方程為.又因為其一條漸近線經(jīng)過點，即，則，由此可得.故答案為：.【點睛】本題考查由雙曲線的漸近線構建方程表示系數(shù)關系進而求離心率，屬于基礎題.16．【解析】

構造函數(shù)，再根據(jù)條件確定為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，最后利用單調(diào)性以及奇偶性化簡不等式，解得結果.【詳解】依題意，，令，則，故函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，故，則x的取值范圍為.故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及利用函數(shù)性質解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1)直線l的普通方程為x＋y－4＝0.曲線C的直角坐標方程是圓：(x－)2＋(y－1)2＝4.(2)4【解析】

（1）將直線l參數(shù)方程中的消去，即可得直線l的普通方程，對曲線C的極坐標方程兩邊同時乘以，利用可得曲線C的直角坐標方程；（2）求出點到直線的距離，再求出的弦長，從而得出△MON的面積．【詳解】解：(1)由題意有，得，x＋y＝4，直線l的普通方程為x＋y－4＝0.因為ρ＝4sin所以ρ＝2sinθ＋2cosθ，兩邊同時乘以得，ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，因為，所以x2＋y2＝2y＋2x，即(x－)2＋(y－1)2＝4，∴曲線C的直角坐標方程是圓：(x－)2＋(y－1)2＝4.(2)∵原點O到直線l的距離直線l過圓C的圓心(，1)，∴|MN|＝2r＝4，所以△MON的面積S＝|MN|×d＝4.【點睛】本題考查了直線與圓的極坐標方程與普通方程、參數(shù)方程與普通方程的互化知識，解題的關鍵是正確使用這一轉化公式，還考查了直線與圓的位置關系等知識.18．(I)詳見解析；(II)2【解析】

(I)求導得到f'(x)=ex-a，討論a≤0(II)f12=e-12a-5【詳解】(I)f(x)=ex-ax當a≤0時，f'(x)=e當a>0時，f'(x)=ex-a=0，x=lna當x∈lna,+∞時，綜上所述：a≤0時，fx在R上單調(diào)遞增；a>0時，fx在-∞,ln(II)f(x)=ex-ax-bf12=現(xiàn)在證明存在a,b，a+5b=2e取a=3e4，b=f'(x)=ex-a-故當x∈0,+∞上時，x2+1f'x在x∈0,+∞上單調(diào)遞增，故fx在0,12上單調(diào)遞減，在1綜上所述：a+5b的最大值為【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19．（1）（2）或【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義求得，得橢圓方程；（2）設，由得，應用韋達定理得，代入已知條件可得，再由橢圓中弦長公式求得弦長，原點到直線的距離，得三角形面積，從而可求得，得直線方程．【詳解】解：（1）據(jù)題意設橢圓的方程為則橢圓的標準方程為.（2）據(jù)得設，則又原點到直線的距離解得或所求直線的方程為或【點睛】本題考查求橢圓標準方程，考查直線與橢圓相交問題．解題時采取設而不求思想，即設交點坐標為，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應用韋達定理得，把這個結論代入題中條件求得參數(shù)，用它求弦長等等，從而解決問題．20．（1）；（2）．【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率為，得到，根據(jù)直線與圓的位置關系，得到原心到直線的距離等于半徑，得到，從而求得，進而求得橢圓的方程；（2）分直線的斜率存在是否為0與不存在三種情況討論，寫出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，向量的數(shù)量積，結合已知條件求得結果.【詳解】（1）由離心率為，可得，，且以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓的方程為，因與直線相切，則有，即，，，故而橢圓方程為．（2）①當直線l的斜率不存在時，，，由于；②當直線l的斜率為0時，，，則；③當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為，，，由及，得，有，∴，，，，∴，綜上所述：．【點睛】該題