上海市松江區(qū)教師進修學院附屬立達中學2021年高二數(shù)學文聯(lián)考試題含解析

上海市松江區(qū)教師進修學院附屬立達中學2021年高二數(shù)學文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若，且滿足，則的最小值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B2.已知滿足，則的最小值為

(

)A．1

B．

C．

D．參考答案：B3.若直線的傾斜角為，則(

)

A．等于

B．等于

C．等于

D．不存在參考答案：C略4.已知命題p：?x∈R，x+≥2；命題q：?x0∈[0，]，使sinx0+cosx0=，則下列命題中為真命題的是（）A．p∨（￢q） B．p∧（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∧q參考答案：D【考點】2K：命題的真假判斷與應用．【分析】判斷兩個命題的真假，然后利用復合命題的真假判斷選項即可．【解答】解：對于命題p：當x≤0時，x+≥2不成立，∴命題p是假命題，則￢p是真命題；對于命題q：sinx+cosx=sin（x+）∈[1，]，則q是真命題，所以（￢p）∧q．故選：D．5.已知拋物線的方程為，過點和點的直線與拋物線沒有公共點,則實數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D6.已知雙曲線一焦點坐標為（5，0），一漸近線方程為3x﹣4y=0，則雙曲線離心率為（）A． B．C． D．參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】雙曲線一焦點坐標為（5，0），一漸近線方程為3x﹣4y=0，可得c=5，=，結(jié)合c2=a2+b2，即可求出雙曲線離心率．【解答】解：∵雙曲線一焦點坐標為（5，0），一漸近線方程為3x﹣4y=0，∴c=5，=，c2=a2+b2解得：a=4，b=3，e=故選：D7.設(shè)函數(shù)，則（

）A.為的極大值點

B.為的極小值點C.為的極大值點

D.為的極小值點[學參考答案：D略8.已知某種產(chǎn)品的支出廣告額x與利潤額y（單位：萬元）之間有如下對應數(shù)據(jù)：x34567y2030304060則回歸直線方程必過（）A．（5，36） B．（5，35） C．（5，30） D．（4，30）參考答案：A【考點】線性回歸方程．【分析】求出樣本中心坐標即可．【解答】解：由題意可知回歸直線方程必過樣本中心坐標（，），即（5，36）．故選：A．9.記，當時，觀察下列等式：，，，可以推測A-B等于（

）A． B． C． D．參考答案：C略10.函數(shù)的部分圖像可能是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM|＝3，則P點到橢圓左焦點的距離為________．參考答案：412.過點的直線，與圓相較于A、B兩點，則________________。參考答案：13.設(shè)點P是雙曲線上一點，焦點F（2，0），點A（3，2），使4|PA|+2|PF|有最小值時，則點P的坐標是

．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)題意算出雙曲線的離心率e=2，右準線方程為x=．連結(jié)PF，過P作右準線的垂線，垂足為M，由雙曲線第二定義得|PM|=|PF|，從而得出|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，利用平面幾何知識可得當P、A、M三點共線時，|PA|+|PM|=|AM|達到最小值．由此利用雙曲線的方程加以計算，可得滿足條件的點P的坐標．【解答】解：∵雙曲線中，a=1，b=，∴c=2，可得雙曲線的離心率e=2，右準線方程為x=，設(shè)右準線為l，過P作PM⊥l于M點，連結(jié)PF，由雙曲線的第二定義，可得|PM|=|PF|．∴|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，運動點P，可得當P、A、M三點共線時，|PA|+|PM|=|AM|達到最小值．此時經(jīng)過P、A、M三點的直線與x軸平行，設(shè)P（m，2），代入雙曲線方程得m=，得點P（，2）．∴滿足使4|PA|+2|PF|=4（|PA|+|PF|）有最小值的點P坐標為．故答案為：．【點評】本題給出定點A與雙曲線上的動點P，求4|PA|+2|PF|有最小值時點P的坐標．著重考查了雙曲線的定義與標準方程、簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．14.用數(shù)學歸納法證明等式時，第一步驗證時，左邊應取的項是

；參考答案：略15.如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A、B，交其準線于點C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為________．參考答案：y2＝3x

略16.圓心在，半徑為1的圓的極坐標方程是（．參考答案：其它正確答案同樣給分）考點：簡單曲線的極坐標方程．專題：計算題．分析：由題意圓心在，半徑為1的圓，利用直角坐標方程，先求得其直角坐標方程，間接求出所求圓的方程．解答：解：由題意可知，圓心在的直角坐標為（，），半徑為1．得其直角坐標方程為（x﹣）2+（y﹣）2=1，即x2+y2=x+y所以所求圓的極坐標方程是：ρ2=?．故答案為：．點評：本題是基礎(chǔ)題，考查極坐標方程的求法，考查數(shù)形結(jié)合，計算能力．17.已知i是虛數(shù)單位，且，則__________．參考答案：由題意可得：.

14.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，將極坐標方程化為直角坐標方程是__________．【答案】【解析】【分析】利用極坐標化為直角坐標的轉(zhuǎn)化公式求解.【詳解】因為，所以由于，所以可得.【點睛】本題主要考查極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化，熟記轉(zhuǎn)化公式是求解關(guān)鍵，一般直角坐標化為極坐標利用公式可得，利用公式及點的位置可得；極坐標化為直角坐標時一般利用來實現(xiàn).三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且橢圓過點。（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓相交于M，N兩點，且線段MN的中點為，求直線l的方程.參考答案：（1）由題得（2）設(shè)，則由，兩式相減，得，于是，故即因為點在橢圓內(nèi)部，所以所求的直線滿足題意19.現(xiàn)有四個正四棱柱形容器，1號容器的底面邊長是a，高是b；2號容器的底面邊長是b，高是a；3號容器的底面邊長是a，高是a；4號容器的底面邊長是b，高是b.假設(shè)，問是否存在一種必勝的4選2的方案（與a，b的大小無關(guān)），使選中的兩個容器的容積之和大于余下的兩個容器的容積之和？無論是否存在必勝的方案，都要說明理由.參考答案：存在，選擇3號和4號容器.【分析】分別計算出四個容器的體積，可求得，從而得到必勝方案，即選擇3號和4號容器.【詳解】1號容器體積為：；2號容器體積為：；3號容器體積為：；4號容器體積為：存在必勝方案，即選擇3號和4號容器【點睛】本題考查與棱柱體積有關(guān)的計算問題，關(guān)鍵是能夠進行因式分解得到恒大于零的式子，從而得到所求方案.

20.2000年我國人口為13億，如果人口每年的自然增長率為7‰，那么多少年后我國人口將達到15億？設(shè)計一個算法的程序.參考答案：A=13R=0.007i=1DO

A=A*（1+R）

i=i+1

LOOP

UNTIL

A＞=15

i=i－1PRINT

“達到或超過15億人口需要的年數(shù)為：”；iEND21.（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=（I）證明AD平面PAB；（II）求異面直線PC與AD所成的角正切值；（III）求二面角P―BD―A的大小的正切值。參考答案：解：（Ⅰ）證明：在中，由題設(shè)可得于是.在矩形中，.又，所以平面.

（Ⅱ）證明：由題設(shè)，，所以（或其補角）是異面直線與所成的角.在中，由余弦定理得

由（Ⅰ）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故所以異面直線與所成的角的大小為.（Ⅲ）解：過點P做于H，過點H做于E，連結(jié)PE因為平面，平面，所以.又，因而平面，故HE為PE再平面ABCD內(nèi)的射影.由三垂線定理可知，，從而是二面角的平面角。由題設(shè)可得，于是再中，所以二面角的大小為．略22.已知函數(shù)（a為實數(shù)）．（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；（II）若在上的恒成立，求a的范圍；參考答案：（I）見解析；（Ⅱ）【分析】(Ⅰ)求得函數(shù)的導數(shù)令，解得或，根據(jù)根的大小三種情況分類討論，即可求解．（II）依題意有在上的恒成立，轉(zhuǎn)化為在上的恒成立，設(shè)，，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解．【詳解】(Ⅰ)由題意，函數(shù)，則令，解得或，①當時，有，有，故在上單調(diào)遞增；②當時，有，隨的變化情況如下表：極大極小

由上表可知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③同②當時，有，有和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（II）依題意有在上的恒成立，即在上的恒成立，故在上的恒