上海市省吾中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

上海市省吾中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)0＜a＜1，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則a，ae，ea﹣1的大小關(guān)系為（）A．ea﹣1＜a＜ae B．a(chǎn)e＜a＜ea﹣1 C．a(chǎn)e＜ea﹣1＜a D．a(chǎn)＜ea﹣1＜ae參考答案：B【考點(diǎn)】4M：對(duì)數(shù)值大小的比較．【分析】令f（x）=ex﹣1﹣x，（x∈（0，1））．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得ea﹣1與a的大小關(guān)系，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得a與ae的大小關(guān)系．【解答】解：∵0＜a＜1，ae＜a，令f（x）=ex﹣1﹣x，（x∈（0，1））．f′（x）=ex﹣1＞0，∴函數(shù)f（x）在x∈（0，1））單調(diào)遞增，∴f（x）＞f（0）=1﹣1﹣0=0．∴ea﹣1＞a．∴ea﹣1＞a＞ae．故選：B．2.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b2﹣a2=ac，則(

)A．B=2C B．B=2A C．A=2C D．C=2A參考答案：B考點(diǎn)：余弦定理．專題：計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；解三角形．分析：利用余弦定理，正弦定理化簡(jiǎn)已知可得2sinAcosB=sinC﹣sinA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用解得sin（B﹣A）=sinA，即B﹣A=A或B﹣A=180﹣A，從而可得B=2A．解答：解：∵cosB====∴2sinAcosB=sinC﹣sinA=sin（A+B）﹣sinA=sinAcosB﹣cosAsinB﹣sinA移項(xiàng)，整理，得sin（B﹣A）=sinA即B﹣A=A或B﹣A=180﹣A所以B=2A或B=180（舍）．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題3.設(shè)變量滿足約束條件則的最大值為（

）A． B．

C．

D．參考答案：C略8、執(zhí)行如題（8）圖所示的程序框圖，如果輸出，那么判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：：B5.第十二屆《財(cái)富》全球論壇將于2013年6月在成都舉行，為了使大會(huì)圓滿舉行，組委會(huì)在大學(xué)生中招聘了6名志愿者，其中甲大學(xué)有2名，乙大學(xué)有3名，丙大學(xué)有1名.若將他們安排在連續(xù)六天的服務(wù)工作中，每人一天，那么同一所大學(xué)的志愿者不安排在相鄰兩天服務(wù)的概率為(A)(B)(C)(D)參考答案：D略6.已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖所示，其中P，Q分別是這段圖像的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，M，N是圖像與x軸的交點(diǎn)，且，則A的值為（

）A．2

B．1

C.

D．參考答案：C7.設(shè)函數(shù)

其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如=-2，=1，=1，若直線y=與函數(shù)y=的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是A．

B．

C．

D．

參考答案：D略8.已知雙曲線C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，若拋物線C2：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漣近線的距離是2，則拋物線C2的方程是（） A． B． x2=y C． x2=8y D． x2=16y參考答案：C略9.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象大致是（

）參考答案：D10.已知集合M={﹣1，0，1，2}，N={y|y=2x+1，x∈M}，則M∩N=（）A．{﹣1，1} B．{1，2} C．{﹣1，1，3，5} D．{﹣1，0，1，2}參考答案：A【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】求出集合N，再根據(jù)交集的定義寫出M∩N即可．【解答】解：集合M={﹣1，0，1，2}，N={y|y=2x+1，x∈M}={﹣1，1，3，5}，所以M∩N={﹣1，1}．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知A、B、C三點(diǎn)共線，O為直線外任意一點(diǎn)，且，則的最小值為

參考答案：略12.設(shè)點(diǎn)P為函數(shù)f（x）=（x3﹣）圖象上任一點(diǎn)，且f（x）在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為α，則α的取值范圍為．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)值的范圍，求解傾斜角的范圍．【解答】解：∵f（x）=（x3﹣），∴f′（x）=（3x2+）≥，點(diǎn)P為函數(shù)f（x）=（x3﹣）圖象上任一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率的范圍：k≥．過(guò)點(diǎn)P的切線的傾斜角為α，tanα≥．過(guò)點(diǎn)P的切線的傾斜角取值范圍：．故答案為．13.某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A，B兩類產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件．已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元，設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元，現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件，B類產(chǎn)品140件，所需租賃費(fèi)最少為元．參考答案：2300略14.已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，.若，則的取值集合是__________.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的單調(diào)性.【答案解析】解：因?yàn)榕己瘮?shù)在單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，故滿足的x的范圍是，而成立，則有，即，故答案為.【思路點(diǎn)撥】結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得的x的范圍，再解即可.15.已知圓C：x2﹣2x+y2=0，則圓心坐標(biāo)為

；若直線l過(guò)點(diǎn)（﹣1，0）且與圓C相切，則直線l的方程為

．參考答案：（1，0），y=±（x+1）

【考點(diǎn)】圓的一般方程．【分析】圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓心坐標(biāo)；圓心到直線的距離d==1，可得直線方程．【解答】解：圓C：x2﹣2x+y2=0，可化為（x﹣1）2+y2=1，圓心坐標(biāo)為（1，0），設(shè)直線l的方程為y﹣0=k（x+1），即kx﹣y+k=0，圓心到直線的距離d==1，∴k=±，∴直線l的方程為y=±（x+1），故答案為（1，0），y=±（x+1）【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．16.設(shè)向量，，若，則

．參考答案：17.若實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組，則x+y的最大值為_(kāi)____________．參考答案：9略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從袋中任取兩球，求取得兩球顏色為一白一黑的概率。參考答案：1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球記為a1；b1，b2；c1，c2，c3

…………1分從袋中任取兩球有(a1,b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a1，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共15種；……………8分滿足兩球顏色為一白一黑有種，概率等于………………11分答：取得兩球顏色為一白一黑的概率是

…………12分19.（本小題滿分12分）已知橢圓的焦距為4，設(shè)右焦點(diǎn)為，離心率為．（1）若，求橢圓的方程；（2）設(shè)、為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，若原點(diǎn)在以線段為直徑的圓上．①證明點(diǎn)在定圓上；②設(shè)直線的斜率為，若，求的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）由，c=2，得，b=2,所求橢圓方程為.

…………………（4分）（Ⅱ）設(shè)，則，故，.①由題意，得.化簡(jiǎn)，得，所以點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上.……………（8分）②設(shè)，則.將，，代入上式整理，得

因?yàn)?，k2>0，所以，所以．化簡(jiǎn)，得解之，得，故離心率的取值范圍是.

…………（12分）

略20.(本小題滿分12分)如圖，四棱錐中，平面，∥,，，為上一點(diǎn)，平面．（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）若，求點(diǎn)D到平面EMC的距離.參考答案：（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.試題分析：（Ⅰ）運(yùn)用線面平行的判定定理證明；（Ⅱ）借助體積相等建立方程求解即可.試題解析:（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫妫?，所以平面，……………?分因?yàn)槠矫?，所以∥，面，平?

考點(diǎn)：直線與平面的位置關(guān)系及運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題考查的是空間的直線與平面平行的推證問(wèn)題和點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題.解答時(shí),證明問(wèn)題務(wù)必要依據(jù)判定定理,因此線面的平行問(wèn)題一定要在所給的平面中找出一條直線與這個(gè)平面外的直線平行,敘述時(shí)一定要交代面外的線和面內(nèi)的線,這是許多學(xué)生容易忽視的問(wèn)題,也高考閱卷時(shí)最容易扣分的地方,因此在表達(dá)時(shí)一定要引起注意.21.如圖，四棱錐中，，是矩形，是棱的

中點(diǎn)，，．（1）證明；（2）求直線與平面所成角的正弦值．參考答案：解：（1）連交于，連則是的中位線，所以，因?yàn)?，，?/p>

(2)

由兩平面垂直的性質(zhì)定理得，所以，因?yàn)椋?，即直線所成角的正弦值是．略22.已知函數(shù)，其中a，b∈R．（1）當(dāng)b=1時(shí)，g（x）=f（x）﹣x在處取得極值，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若a=0時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，①求b的取值范圍；②求證：．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）由求導(dǎo)，由題意可知：g′（）=0，即可求得a的值，根據(jù)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）①f（x）=lnx+bx（x＞0），求導(dǎo)，分類，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系，則f（x）極大值為，解得．且x→0時(shí)，f（x）＜0，x→+∞時(shí)，f（x）＜0．則當(dāng)時(shí)，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；②由題意可知：lnx1+bx1=0，lnx2+bx2=0，要證，即證lnx1+lnx2＞2，則．則，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，則h（t）＞h（1）=0，則，即可證明．，【解答】解：（1）由已知得，由g（x）=f（x）﹣x在處取得極值，則，∴a=﹣2．則f（x）=﹣x2+lnx+x（x＞0）．則，由f'（x）＞0得0＜x＜1，由f'（x）＜0得x＞1．∴f（x）的減區(qū)間為（1，+∞），增區(qū)間為（0，1）．（2）①由已知f（x）=lnx+bx（x＞0）．∴，當(dāng)b≥0時(shí)，顯然f'（x）＞0恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)遞增，f（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．當(dāng)b＜0時(shí)，令f'（x）=0得，令f'（x）＞0得；令f'（x）＜0得．∴f（x）極大值為，解得．且