任名校數學斯定理和定理

一

斯定理和定交于P、Q、R，則BP?CQ?AR=1PCQA長度，則：BP?CQ?AR=???????????=1。PCQA ??????1若直角?ABC中，CK是斜邊上的高，CE是∠ACK的平分線，EAK上，DAC的中點，FDECK的交點，證明：BF∥CE∠ACE，∠HBC∠HCB=∠ACK∠HCB=90°，即BH⊥CE，所以?EBC為F根據斯定理有：CD?AE?KF=1，于是KF=EK=CK=EP=BP=DAEK 即KFBK，根據分比定理有：KFBK，所以?FKBCKE，所以BFCE 例2從點K引四條直線，另兩條直線分別交直線與A、B、C、DA1，B1，C1，D1，試證：AC:AD=A1C1:A1D1BC B1C1【解析】若AD∥A1D1，結論顯然成立；若AD與A1D1相交于點L，則把斯定理分別用于?A1AL和?B1BL可得：AD?LD1?A1K=1LC?AK?A1C1=1BC?LC1?B1K=1LDA1D1 AC LCB1C1BD ACBDA1D1 BC B1C12P、Q、R分別是?ABCBC、CA、ABP、Q、R三點中，位于?ABC02，這時若BP?CQ?AR=1P、Q、RPCQABP?CQ

AR=1，又因為

CQ?

=1PCQA PCQAAR‘=ARP、Q、R 于?ABC02，因此R與R‘或即BR<??R‘，于是可得AR>AR‘，這與AR= ，類似地可證得當R與R‘同在AB的延 線上時，R與R‘也重合，綜上可得：P、Q、R三點共線3P位于?ABC的外接圓上；A1、B1、C1PBC、A1CA1C【解析】BA1=?BP?cos∠PBCCB1=?CP?cos∠PCA 1=

=

∠PAB=∠PCB，∠PCA∠PBA=180°，可得BA1?CB1?AC1=CA1AB1根據斯定理可知A1、B1、C1三點共線FD與CA，DE與AB的交點X、Y、Z在同一條直線上。XCEA又因為AE=AF，代入上式可得BX=FB，同理可得CY= AZEA，將上面的式子相乘可得：BXCYAZ1，又因為X XCYA5已知直線AA1，BB1，CC1相交于OAB和A1B1的交點為C2BC和B1C1的交點為A2，直線AC和A1C1的交點為B2，試證A2、B2、C2三點共線。的交點，對所得的三角形和它們邊上的點：OAB和（A1B1C21，1，A2OAAA1?OB1?BC2=1，OC1?BB1?CA2=1，OA1?CC1?AB2=1，將上面的三OA1BB1 CC1OB1 AA1OC1AC2CB2【解析】EFCD，EFAB，ABCDU、V、W，對?UVW，應用斯定理于五組三元點(L,D,E)，(A,M,F)，(B,C,N)，(A,C,E)，(B,D,F)，則有UE?VL?WD=1VA?UF?WM=1，UN?WC?VB=1，WA?UC?VE=1，WB?UD?VF=1，VEWL WAVF VNUC VAWC VBWDVL?WM?UN=1L、M、NWLUM要條件是：BPCQAR=1PCQA證明：先證必要性：設AP、BQ、CR相交于點M， BP=S?ABP=S?BMP=S?ABM，同理CQ=S?BCM，AR=S?ACM， RBP PCQA PCQA

?CQ?AR=1，

=AR，因為R和R’ PCQA 【解析】記?ABC的中線AA1，BB1，CC1，我們只1AC1BA1?CB1=1顯1C1BA1C

=C1B，

=A1C=C1BA1C 例8在銳角?ABC中，∠CABLL做邊BACBCM和NANBM的交點是P，證明：CP⊥AB N理即要證：AM?CN?BK=1，又因為MC=CNNMCNB明：AM?BK=1，因為?AML??AKC?AM=AL AK ?BNL??BKC?BK=BC，即要證?BC=1，根據 ACAC9AD是?ABCDBCPAD上任一點，BP、CPAC、AB交于E和F，則∠EDA=∠FDA。欲證∠EDAFDA，可以轉化為證明AMAN，因為ADBCMNBC，可得?AMECDE，?ANFBDF，所以AMAEAN AF，于是AM=AE?CD，AN=AF?BD，AD、BE、CF 根據定理可得：BD?CE?AF=1，所以AE?CD=AF?BD，所DCEA AM=AN，所以∠EDA10在?ABCBCCAAB上取點A1、B1、C1，證明AC1?BA1?CB1=sin∠ACC1?sin∠BAA1C1BA1C sin∠C1CB如圖對?ACC1和?BCC1應用正弦定理，可得AC1=sin∠ACC1，CC1=sin∠B，即AC1=sin∠ACC1?sin∠B，同理 sin∠C1CBBA1=sin∠BAA1