2023年全國2卷數(shù)學(xué)試卷及參考答案

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項復(fù)合題目要求的。1．〔〕A．B．C．D．2．集合，那么中元素的個數(shù)為〔〕A．9B．8C．5D．43．函數(shù)的圖象大致是〔〕4．向量滿足，，，那么〔〕A．4B．3C．2D．05．雙曲線的離心力為，那么其漸近線方程為〔〕A．B．C．D．6．在中，，，，那么=〔〕A．B．C．D．7．為計算，設(shè)計了右側(cè)的程序框圖，那么在空白框中應(yīng)填入〔〕A．B．C．D．8．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜測的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜測是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和〞，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是〔〕A．B．C．D．9．在長方體中，，，那么異面直線與所成角的余弦值為〔〕A．B．C．D．10．假設(shè)在是減函數(shù)，那么的最大值是〔〕A．B．C．D．11．是定義域為的奇函數(shù)，滿足．假設(shè)，那么〔〕A．B．C．D．12．，是橢圓的左、右焦點交點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，那么的離心率為〔〕A．B．C．D．二、填空題，此題共4小題，每題5分，共20分．13．曲線在點處的切線方程為__________．14．假設(shè)滿足約束條件，那么的最大值為_________．15．，，那么__________．16．圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為．假設(shè)的面積為，那么該圓錐的側(cè)面積為_________．三、解答題：共70分，解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題。每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17．〔12分〕記為等差數(shù)列的前項和，，．〔1〕求的通項公式；〔2〕求，并求的最小值．18．〔12分〕下列圖是某地區(qū)2000年至2023年環(huán)境根底設(shè)施投資額〔單位：億元〕的折線圖．為了預(yù)測改地區(qū)2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2023年數(shù)據(jù)〔時間變量的值依次為〕建立模型①：：根據(jù)2023年至2023年的數(shù)據(jù)〔時間變量的值依次為〕建立模型②：．〔1〕分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測值；〔2〕你認為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由．19．〔12分〕設(shè)拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于兩點。．〔1〕求的方程；〔2〕求過點且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程．20．〔12分〕如圖，在三棱錐中，，，為的中點．〔1〕證明：平面；〔2〕假設(shè)點在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．21．〔12分〕函數(shù)．〔1〕假設(shè)，證明：當(dāng)時，；〔2〕假設(shè)在只有一個零點，求．〔二〕選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，那么按所做的第一局部計分。22．【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】〔10分〕在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕，直線的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕．〔1〕求和的直角坐標(biāo)方程；〔2〕假設(shè)曲線截直線所得線段的中點坐標(biāo)為，求的斜率．23．【選修4-5：不等式選講】〔10分〕設(shè)函數(shù)．〔1〕當(dāng)時，求不等式的解集；〔2〕假設(shè)，求的取值范圍．2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)參考答案選擇題123456789101112DABBAABCCACD12.解：填空題14.915.16.16.設(shè)母線長為a,填空題17.解：〔1〕由可得：，所以，所以〔2〕18.解：〔1〕①，〔2〕對于模型①，當(dāng)年份為2023年時，對于模型②，當(dāng)年份為2023年時，比擬而言，②的準(zhǔn)確度高，誤差較小，所以選擇②19.解：(1)∵F〔1,0〕，設(shè)直線，聯(lián)立，∵，∴k=1,所以直線方程設(shè)AB的中點為N〔〕，設(shè)圓心為M〔a,b〕，所以圓的半徑r=a+1因為，所以MN的方程為，即所以，由垂徑定理：即：解得：所以圓的方程為：和20.證明：連接BO，因為AB=BC，那么BO⊥AC，所以BO=2又因為在△PAC中，PA=PC=4，所以PO⊥AC，且，因為，所以PO⊥BO，從而平面；〔2〕以為x軸，以為y軸，以為z軸，設(shè)，B〔2,0,0〕，C〔0,2,0〕A〔0，-2,0〕P〔0,0,〕，設(shè)M〔x,y,0〕,所以，所以設(shè)平面PAC的法向量為，設(shè)平面MPA的法向量為，所以因為二面角為，所以得設(shè)與平面所成角為，所以21解：〔1〕當(dāng)a=1,當(dāng)，所以所以