2023年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題含答案(新課標(biāo)卷)

2023年全國(guó)1卷數(shù)學(xué)理試題和答案第9頁共9頁2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。(1)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕以下函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是〔〕〔A〕(B)〔C〕(D)〔3〕執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是〔〕〔A〕120〔B〕720〔C〕1440〔D〕5040〔4〕有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，那么這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，那么=〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔6〕在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如左圖所示，那么相應(yīng)的側(cè)視圖可以為〔〕〔7〕設(shè)直線L過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，L與C交于A,B兩點(diǎn)，為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，那么C的離心率為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕2〔D〕3〔8〕的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，那么該展開式中常數(shù)項(xiàng)為〔〕〔A〕-40〔B〕-20〔C〕20〔D〕40〔9〕由曲線，直線及軸所圍成的圖形的面積為〔〕〔A〕〔B〕4〔C〕〔D〕6〔10〕a與b均為單位向量，其夾角為，有以下四個(gè)命題〔〕其中的真命題是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔11〕設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且，那么〔〕〔A〕在單調(diào)遞減〔B〕在單調(diào)遞減〔C〕在單調(diào)遞增〔D〕在單調(diào)遞增(12)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于〔〕〔A〕2(B)4(C)6(D)8第二卷本卷包括必考題和選考題兩局部。第13題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答。第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二、填空題：本大題共4小題，每題5分。〔13〕假設(shè)變量滿足約束條件那么的最小值為。〔14〕在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為。過的直線L交C于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為16，那么的方程為?！?5〕矩形的頂點(diǎn)都在半徑為4的球的球面上，且,那么棱錐的體積為?！?6〕在中，，那么的最大值為。三、解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟。〔17〕〔本小題總分值12分〕等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且〔Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕設(shè)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.(18)(本小題總分值12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)證明：PA⊥BD；(Ⅱ)假設(shè)PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。〔19〕〔本小題總分值12分〕某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大說明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方〔分別稱為A配方和B配方〕做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：〔Ⅰ〕分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；〔Ⅱ〕用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)y(單位：元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤(rùn)記為X〔單位：元〕，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.〔以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率〕〔20〕〔本小題總分值12分〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,-1)，B點(diǎn)在直線y=-3上，M點(diǎn)滿足，，M點(diǎn)的軌跡為曲線C。〔Ⅰ〕求C的方程；〔Ⅱ〕P為C上的動(dòng)點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處得切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值?！?1〕〔本小題總分值12分〕函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為。〔Ⅰ〕求、的值；〔Ⅱ〕如果當(dāng)，且時(shí)，，求的取值范圍。請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，那么按所做的第一題記分。做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)。〔22〕〔本小題總分值10分〕選修4-1：幾何證明選講如圖，，分別為的邊，上的點(diǎn)，且不與的頂點(diǎn)重合。的長(zhǎng)為m、AC的長(zhǎng)為，，的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根。〔Ⅰ〕證明：，，，四點(diǎn)共圓；〔Ⅱ〕假設(shè)，且，求，，，所在圓的半徑。(23)(本小題總分值10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy

中，曲線C1的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足,P點(diǎn)的軌跡為曲線C2(Ⅰ)求C2的方程(Ⅱ)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求.(24)(本小題總分值10分)選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù),其中。〔Ⅰ〕當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；〔Ⅱ〕假設(shè)不等式的解集為，求a的值。2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷參考答案一、選擇題〔本大題共12小題，每題5分，共60分〕〔1〕C〔2〕B〔3〕B〔4〕A〔5〕B〔6〕D〔7〕B〔8〕D〔9〕C〔10〕A〔11〕A〔12〕D二、填空題〔本大題共4小題，每題5分，共20分〕〔13〕-6〔14〕〔15〕〔16〕三、解答題〔17〕解：〔本小題總分值12分〕〔Ⅰ〕設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由得所以。由條件可知a>0,故。…………3分由得，所以。故數(shù)列{an}的通項(xiàng)式為an=。……………………5分〔Ⅱ〕…………8分故………………11分所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為………12分(18)解：〔本小題總分值12分〕〔Ⅰ〕因?yàn)?由余弦定理得從而BD2+AD2=AB2，故BDAD…………3分又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD…………5分解法二：取AB中點(diǎn)為E，連接DE,因?yàn)椋蔄D=AE，是等腰三角形，∵AE=EB=DE,∴,即,故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD…………5分〔Ⅱ〕如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-，那么,,,。…………7分設(shè)平面PAB的法向量為n=〔x,y,z〕，那么即因此可取n=……………9分設(shè)平面PBC的法向量為m，那么可取m=〔0，-1，〕……………11分故二面角A-PB-C的余弦值為…………12分〔19〕解〔本小題總分值12分〕〔Ⅰ〕由試驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的平率為，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3。…………3分由試驗(yàn)結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42…………6分〔Ⅱ〕用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間的頻率分別為0.04，,054,0.42，因此P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,………8分即X的分布列為X的數(shù)學(xué)期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68………………12分(20〕解：〔本小題總分值12分〕 (Ⅰ)設(shè)M(x,y),由得B(x,-3),A(0,-1).所以=〔-x,-1-y〕,=(0,-3-y),=(x,-2).…………3分再由題意可知〔+〕?=0,即〔-x,-4-2y〕?(x,-2)=0.所以曲線C的方程式為y=x-2.…………6分(Ⅱ)設(shè)P(x,y)為曲線C：y=x-2上一點(diǎn)，因?yàn)閥=x,所以的斜率為x因此直線的方程為，即。………9分那么O點(diǎn)到的距離.又，所以當(dāng)=0時(shí)取等號(hào)，所以O(shè)點(diǎn)到距離的最小值為2.…………………12分〔21〕解：(本小題總分值12分)〔Ⅰ〕…………3分由于直線的斜率為，且過點(diǎn)，故即解得，?！?分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，所以?？紤]函數(shù)，那么?！?分(I)設(shè)，由知，當(dāng)時(shí)，。而，故當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)x〔1，+〕時(shí)，h〔x〕<0，可得h〔x〕>0從而當(dāng)x>0,且x1時(shí)，f〔x〕-〔+〕>0，即f〔x〕>+.……9分〔ii〕設(shè)0<k<1.由于當(dāng)x〔1，〕時(shí)，〔k-1〕〔x2+1〕+2x>0,故(x〕>0,而h〔1〕=0，故當(dāng)x〔1，〕時(shí)，h〔x〕>0，可得h〔x〕<0,與題設(shè)矛盾?！?0分〔iii〕設(shè)k1.此時(shí)〔x〕>0,而h〔1〕=0，故當(dāng)x〔1，+〕時(shí)，h〔x〕>0，可得h〔x〕<0,與題設(shè)矛盾?！?1分綜合得，k的取值范圍為〔-，0]…………12分〔22〕〔本小題總分值10分〕解：〔I〕連接DE，根據(jù)題意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC,2分即.又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB所以C,B,D,E四點(diǎn)共圓?！?分〔Ⅱ〕m=4,n=6時(shí)，方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12.故AD=2，AB=12.…………8分取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F，分別過G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連接DH，因?yàn)镃，B，D，E四點(diǎn)共圓，所以C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的圓心為H，半徑為DH.由于∠A=900，故GH∥AB,HF∥AC.從而HF=AG=5，DF=(12-2)=5.故C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的半徑為5…………10分〔23〕〔本小題總分值10分〕解：〔I〕設(shè)P(x,y),那么由條件知M().由于M點(diǎn)在C1上，所以即…3分從而的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕………………5分