高中數(shù)學(xué) 1.3.2函數(shù)的奇偶性 新人教A必修1

函數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù)1.3.2函數(shù)的奇偶性.而我們所學(xué)習(xí)的函數(shù)圖像也有類似的對稱現(xiàn)象，請看下面的函數(shù)圖像。.觀察下面兩組圖像，它們是否也有對稱性呢？xyO1-1f(x)=x2（1）（2）yxOx0-x0學(xué)情調(diào)查，情景導(dǎo)入.y1-11-1xOf(x)=

x3則f(2)=

；f(-2)=

；f(1)=

；f(-1)=

；求值并觀察總結(jié)規(guī)律則f(2)=

；f(-2)=

；f(1)=

；f(-1)=

；y1-11-1xOf(x)=

2x1.已知f(x)=

2x，2.已知f(x)=

x3，=-f(x)f(-x)=

4-42-2-2x=-f(x)f(-x)=

-x38-81-1圖象都是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形問題展示，合作探究.

如果對于函數(shù)y=

f(x)的定義域A內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=

-f(x)，則這個(gè)函數(shù)叫做奇函數(shù).奇函數(shù)的圖象特征以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形.y1-11-1xOy=f(x)(-x，f(-x))(x，f(x))f(-x)=

-f(x)

奇函數(shù)的定義奇函數(shù)圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形概念形成.奇函數(shù)的定義域?qū)?yīng)的區(qū)間關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．改變奇函數(shù)的定義域，它還是奇函數(shù)嗎？y1-11-1xOy=x3(x≠0)y1-11-1xOy=x3(x≠1)y1-11-1xOy=x3(x≥0)y1-11-1xOy=x3(－1≤x≤1)是否否是自主探究.奇函數(shù)的定義域?qū)?yīng)的區(qū)間關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．判斷下列函數(shù)是奇函數(shù)嗎？（1）f(x)=x3，x[－1，3]；（2）f(x)=x，x(－1，1]．否否自主探究.

解:（1）函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)锳={x|x≠0}

，所以定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．因?yàn)閒（-x）==-=-

f（x），所以函數(shù)f（x）=

是奇函數(shù)．x1x1x1-x1例1判斷下列函數(shù)是不是奇函數(shù)：（1）f（x）=；（2）f（x）=-x3；（3）f（x）=x

+1

；（4）f（x）=x+x3+x5

+x7．x1例題.解:（2）函數(shù)f（x）=-x3的定義域?yàn)镽，所以定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．因?yàn)閒（-x）=-(-x)3=x3=-

f（x），所以函數(shù)f（x）=-x3是奇函數(shù)．例1判斷下列函數(shù)是不是奇函數(shù)：（1）f（x）=；（2）f（x）=-x3；（3）f（x）=x

+1

；（4）f（x）=x+x3+x5

+x7．x1例題.解:（3）函數(shù)f（x）=x+1的定義域?yàn)镽，所以定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．因?yàn)閒（-x）=-x+1-

f（x）=-（x+1）

=-

x-

1≠

f（-

x），所以函數(shù)f（x）=x+1不是奇函數(shù)．例1判斷下列函數(shù)是不是奇函數(shù)：（1）f（x）=；（2）f（x）=-x3；（3）f（x）=x

+1

；（4）f（x）=x+x3+x5

+x7．x1例題.解:（4）函數(shù)f（x）=x+x3+x5

+x7的定義域?yàn)镽，所以定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．f（-x）=-

x+(-

x)3+(-

x)5

+

(-

x)7

=-(x+x3+x5

+x7)=-f（x）．所以函數(shù)f（x）=x+x3+x5

+x7是奇函數(shù)．例1判斷下列函數(shù)是不是奇函數(shù)：（1）f（x）=；（2）f（x）=-x3；（3）f（x）=x

+1

；（4）f（x）=x+x3+x5

+x7．x1例題.不是是是不是達(dá)標(biāo)訓(xùn)練，鞏固提升.

偶函數(shù)的定義如果對于函數(shù)y=

f(x)的定義域A內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=

f(x)，則這個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù).偶函數(shù)的圖象特征

以y軸為對稱軸的軸對稱圖形．定義域?qū)?yīng)的區(qū)間關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．偶函數(shù)圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形y1-11-1xOy=f(x)(-x，f(-x))(x，f(x))自主探究.解：（1）函數(shù)f（x）=x2+x4的定義域?yàn)镽，所以定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．因?yàn)閒（-x）=(-x)2+(-

x)4=x2+x4=f（x），所以函數(shù)f（x）=x2+x4是偶函數(shù)．例2判斷下列函數(shù)是不是偶函數(shù)：（1）f（x）=x2+x4；（2）f（x）=x2+1；（3）f（x）=x2+x3；（4）f（x）=x2+1

，x[-1，3]．例題.解：（2）函數(shù)f（x）=x2+1的定義域?yàn)镽，所以定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．因?yàn)閒（-x）=(-x)2+1

=x2+1

=f（x）

，所以函數(shù)f（x）=x2+1

是偶函數(shù)．例2判斷下列函數(shù)是不是偶函數(shù)：（1）f（x）=x2+x4；（2）f（x）=x2+1；（3）f（x）=x2+x3；（4）f（x）=x2+1

，x[-1，3]．例題.解：（3）函數(shù)f（x）=x2+x3的定義域?yàn)镽，所以定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．因?yàn)閒（-x）=(-x)2+(-

x)3=x2–

x3≠f（x）函數(shù)f（x）＝x2+x3不是偶函數(shù)．例2判斷下列函數(shù)是不是偶函數(shù)：（1）f（x）=x2+x4；（2）f（x）=x2+1；（3）f（x）=x2+x3；（4）f（x）=x2+1

，x[-1，3]．例題.解：（4）函數(shù)f（x）=x2+1

，x[-1,3]

的定義域?yàn)锳=[-1,3]，因?yàn)槎x域不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．所以函數(shù)f（x）=x2+1

，x[-1,3]

不是偶函數(shù)．例2判斷下列函數(shù)是不是偶函數(shù)：（1）f（x）=x2+x4；（2）f（x）=x2+1；（3）f（x）=x2+x3；（4）f（x）=x2+1

，x[-1,3]．123-1xyO-2-3例題.練習(xí)2判斷下列函數(shù)是不是偶函數(shù)：（1）f（x）=(x+1)(x-1)；（2）f（x）=x2+1，x（-1，1]；（3）f（x）=．達(dá)標(biāo)訓(xùn)練，鞏固提升是不是是.練習(xí)3.判斷下列函數(shù)的奇偶性(2)f(x)=-x2+1∴f(x)為奇函數(shù)∵f(-x)=-(-x)2+1=-x2+1∴f(x)為偶函數(shù)(1)f(x)=x-1x解：定義域?yàn)椹xx|x≠0﹜解：定義域?yàn)镽=-f(x)=f(x)∵f(-x)=(-x)-1-x=-x+1x.(3).f(x)=5解:f(x)的定義域?yàn)镽∵f(-x)=f(x)=5∴f(x)為偶函數(shù)解:定義域?yàn)镽∵f(-x)=0=f(x)又f(-x)=0=-f(x)∴f(x)為既奇又偶函數(shù)yox5oyx結(jié)論:函數(shù)f(x)=0(定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱），為既奇又偶函數(shù)。(4).f(x)=0.(5)f(x)=x2+x解:定義域?yàn)镽∵f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x，∴f(-x)≠-f(x)而且f(-x)≠f(x),∴f(x)為非奇非偶函數(shù)(6)f(x)=√x解:定義域?yàn)閇0,+∞)∵定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱∴f(x)為非奇非偶函數(shù).奇函數(shù)偶函數(shù)既奇又偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)

根據(jù)奇偶性,函數(shù)可劃分為四類:.思考題1、當(dāng)____時(shí)一次函數(shù)f(x)=ax+b（a≠0）是奇函數(shù)2、當(dāng)____時(shí)二次函數(shù)f(x