2022-2023學(xué)年福建省福州八縣一中高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上且滿足，若取得最大值時，點恰好在以為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．2．已知雙曲線與雙曲線沒有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A． B． C． D．3．已知函數(shù)，其中，記函數(shù)滿足條件：為事件，則事件發(fā)生的概率為A． B．C． D．4．若函數(shù)，在區(qū)間上任取三個實數(shù)，，均存在以，，為邊長的三角形，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計兩科成績得到如圖所示的散點圖(兩坐標(biāo)軸單位長度相同)，用回歸直線近似地刻畫其相關(guān)關(guān)系，根據(jù)圖形，以下結(jié)論最有可能成立的是()A．線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，b的值為1.25B．線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，b的值為0.83C．線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，b的值為－0.87D．線性相關(guān)關(guān)系太弱，無研究價值6．已知是第二象限的角，，則()A． B． C． D．7．已知α，β表示兩個不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線，則“α∥β是“l(fā)∥β”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件8．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，拋物線與雙曲線有相同的焦點.設(shè)為拋物線與雙曲線的一個交點，且，則雙曲線的離心率為（）A．或 B．或 C．或 D．或9．在直角梯形中，，，，，點為上一點，且，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，()A． B．2 C． D．10．如圖，棱長為的正方體中，為線段的中點，分別為線段和棱上任意一點，則的最小值為（）A． B． C． D．11．已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．一個幾何體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個邊長為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成，則這個幾何體的表面積是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知一組數(shù)據(jù)1.6，1.8，2，2.2，2.4，則該組數(shù)據(jù)的方差是_______．14．函數(shù)的定義域為，其圖象如圖所示．函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，滿足，且當(dāng)時，．給出下列三個結(jié)論：①；②函數(shù)在內(nèi)有且僅有個零點；③不等式的解集為．其中，正確結(jié)論的序號是________．15．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的公差________，通項公式________.16．某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年級的人數(shù)依次成等差數(shù)列，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取60人，那么高二年級被抽取的人數(shù)為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，其面積記為，滿足.（1）求；（2）若，求的值.18．（12分）已知函數(shù)（1）若，試討論的單調(diào)性；（2）若，實數(shù)為方程的兩不等實根，求證：.19．（12分）設(shè)，，，.（1）若的最小值為4，求的值；（2）若，證明：或.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線是圓心在極軸上，且經(jīng)過極點的圓．已知曲線上的點M對應(yīng)的參數(shù)，射線與曲線交于點．（1）求曲線，的直角坐標(biāo)方程；（2）若點A，B為曲線上的兩個點且，求的值．21．（12分）某省新課改后某校為預(yù)測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班隨機(jī)抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計圖.（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，估計本屆高三學(xué)生本科上線率.（2）已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬，假設(shè)以（1）中的本科上線率作為甲市每個考生本科上線的概率.（i）若從甲市隨機(jī)抽取10名高三學(xué)生，求恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線的概率（結(jié)果精確到0.01）；（ii）已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬，假設(shè)該市每個考生本科上線率均為，若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍.可能用到的參考數(shù)據(jù)：取，.22．（10分）如圖，在正四棱柱中，，，過頂點，的平面與棱，分別交于，兩點（不在棱的端點處）.（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求證：與不垂直；（3）若平面與棱所在直線交于點，當(dāng)四邊形為菱形時，求長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

設(shè)，利用兩點間的距離公式求出的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出的最大值時的點坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設(shè)，因為是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點，點為拋物線的焦點，所以，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，，點在以為焦點的橢圓上，，由橢圓的定義得，所以橢圓的離心率，故選B.【點睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．2、C【解析】

先求得的漸近線方程，根據(jù)沒有公共點，判斷出漸近線斜率的取值范圍，由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于雙曲線與雙曲線沒有公共點，所以雙曲線的漸近線的斜率，所以雙曲線的離心率.故選：C【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

由得，分別以為橫縱坐標(biāo)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，由圖可知，.4、D【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的最大值和最小，根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域為，，所以在上遞減，在上遞增，在處取得極小值也即是最小值，，，，，所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個實數(shù)，，均存在以，，為邊長的三角形，則需恒成立，且，也即，也即當(dāng)、時，成立，即，且，解得.所以的取值范圍是.故選：D【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查恒成立問題的求解，屬于中檔題.5、B【解析】

根據(jù)散點圖呈現(xiàn)的特點可以看出，二者具有相關(guān)關(guān)系，且斜率小于1.【詳解】散點圖里變量的對應(yīng)點分布在一條直線附近，且比較密集，故可判斷語文成績和英語成績之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，且直線斜率小于1，故選B.【點睛】本題主要考查散點圖的理解，側(cè)重考查讀圖識圖能力和邏輯推理的核心素養(yǎng).6、D【解析】

利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【詳解】因為,由誘導(dǎo)公式可得,,即,因為,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故選:D【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;屬于中檔題.7、A【解析】試題分析：利用面面平行和線面平行的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．解：根據(jù)題意，由于α，β表示兩個不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線，由于“α∥β，則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，則必然α中任何一條直線平行于另一個平面，條件可以推出結(jié)論，反之不成立，∴“α∥β是“l(fā)∥β”的充分不必要條件．故選A．考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面與平面平行的判定．8、D【解析】

設(shè)，，根據(jù)和拋物線性質(zhì)得出，再根據(jù)雙曲線性質(zhì)得出，，最后根據(jù)余弦定理列方程得出、間的關(guān)系，從而可得出離心率．【詳解】過分別向軸和拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為、，不妨設(shè)，，則，為雙曲線上的點，則，即，得，，又，在中，由余弦定理可得，整理得，即，，解得或.故選：D.【點睛】本題考查了雙曲線離心率的求解，涉及雙曲線和拋物線的簡單性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．9、B【解析】

由題，可求出，所以，根據(jù)共線定理，設(shè)，利用向量三角形法則求出，結(jié)合題給，得出，進(jìn)而得出，最后利用二次函數(shù)求出的最大值，即可求出.【詳解】由題意，直角梯形中，，，，，可求得，所以·∵點在線段上，設(shè)，則，即，又因為所以，所以，當(dāng)時，等號成立.所以.故選：B.【點睛】本題考查平面向量線性運算中的加法運算、向量共線定理，以及運用二次函數(shù)求最值，考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.10、D【解析】

取中點，過作面，可得為等腰直角三角形，由，可得，當(dāng)時，最小，由，故，即可求解.【詳解】取中點，過作面，如圖：則，故，而對固定的點，當(dāng)時，最小．此時由面，可知為等腰直角三角形，，故.故選：D【點睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.11、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運算，求得，再求其對應(yīng)點即可判斷.【詳解】，故其對應(yīng)點的坐標(biāo)為.其位于第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算，以及復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)，屬綜合基礎(chǔ)題.12、C【解析】

畫出直觀圖，由球的表面積公式求解即可【詳解】這個幾何體的直觀圖如圖所示，它是由一個正方體中挖掉個球而形成的，所以它的表面積為.故選：C【點睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計算，考查空間想象能力和運算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.08【解析】

先求解這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后利用方差的公式可得結(jié)果.【詳解】首先求得，．故答案為：0.08.【點睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的方差，明確方差的計算公式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).14、①③【解析】

利用奇函數(shù)和，得出函數(shù)的周期為，由圖可直接判斷①；利用賦值法求得，結(jié)合，進(jìn)而可判斷函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)，可判斷②的正誤；采用換元法，結(jié)合圖象即可得解，可判斷③的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，又，所以，即，所以，函數(shù)的周期為.對于①，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，，故①正確；對于②，，令，可得，得，所以，函數(shù)在區(qū)間上的零點為和.因為函數(shù)的周期為，所以函數(shù)在內(nèi)有個零點，分別是、、、、，故②錯誤；對于③，令，則需求的解集，由圖象可知，，所以，故③正確.故答案為：①③.【點睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及奇偶性、周期性和零點等知識點，考查學(xué)生分析問題的能力和數(shù)形結(jié)合能力，屬于中等題．15、2【解析】

直接利用等差數(shù)列公式計算得到答案.【詳解】，，解得，，故.故答案為：2；.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的基本計算，意在考查學(xué)生的計算能力.16、【解析】

由三個年級人數(shù)成等差數(shù)列和總?cè)藬?shù)可求得高二年級共有人，根據(jù)抽樣比可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)高一、高二、高三人數(shù)分別為，則且，解得：，用分層抽樣的方法抽取人，那么高二年級被抽取的人數(shù)為人．故答案為：.【點睛】本題考查分層抽樣問題的求解，涉及到等差數(shù)列的相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)三角形面積公式及平面向量數(shù)量積定義代入公式，即可求得，進(jìn)而求得的值；（2）根據(jù)正弦定理將邊化為角，結(jié)合（1）中的值，即可將表達(dá)式化為的三角函數(shù)式；結(jié)合正弦和角公式與輔助角公式化簡，即可求得和，進(jìn)而由正弦定理確定，代入整式即可求解.【詳解】（1）因為，所以由三角形面積公式及平面向量數(shù)量積運算可得，所以.因為，所以.（2）因為，所以由正弦定理代入化簡可得，由（1），代入可得，展開化簡可得，根據(jù)輔助角公式化簡可得.因為，所以，所以，所以為等腰三角形，且，所以.【點睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運算，正弦和角公式及輔助角公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析【解析】

（1）根據(jù)題意得，分與討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，得，參變分離得，分析不等式，即轉(zhuǎn)化為，設(shè)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性，進(jìn)而得證.【詳解】（1）依題意，當(dāng)時，，①當(dāng)時，恒成立，此時在定義域上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，若，；若，；故此時的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）方法1：由得令，則，依題意有，即，要證，只需證（不妨設(shè)），即證，令，設(shè)，則，在單調(diào)遞減，即，從而有.方法2：由得令，則，當(dāng)時，時，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，要證，只需證，易知，故只需證，即證令，（），則==，（也可代入后再求導(dǎo)）在上單調(diào)遞減，，故對于時，總有.由此得【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.19、（1）2；（2）見解析【解析】

（1）將化簡為，再利用基本不等式即可求出最小值為4，便可得出的值；（2）根據(jù)，即，得出，利用基本不等式求出最值，便可得出的取值范圍.【詳解】解：（1）由題可知，，，，，∴.（2）∵，∴，∴，∴，即：或.【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式和放縮法求最值，考查化簡計算能力.20、（1）．．（2）【解析】

（1）先求解a,b，消去參數(shù)，即得曲線的直角坐標(biāo)方程；再求解，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，即得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）由于，可設(shè)，，代入曲線直角坐標(biāo)方程，可得的關(guān)系，轉(zhuǎn)化，可得解.【詳解】（1）將及對應(yīng)的參數(shù)，代入得，即，所以曲線的方程為，為參數(shù)，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為．設(shè)圓的半徑為R，由題意，圓的極坐標(biāo)方程為（或），將點代入，得，即，所以曲線的極坐標(biāo)方程為，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）由于，故可設(shè)，代入曲線直角坐標(biāo)方程，可得，，所以．【點睛】本題考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)，參數(shù)方程和一般方程的互化以及極坐標(biāo)的幾何意義的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.21、(1)60%；(2)（i）0.12（ii）【解析】

（1）利用上線人數(shù)除以總?cè)藬?shù)求解；（2）（i