高等數(shù)學(xué) 第二章 極限與連續(xù) 2.8 函數(shù)的連續(xù)性課件

高等數(shù)學(xué)—第二章極限與連續(xù)第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性五、在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、函數(shù)改變量二、連續(xù)函數(shù)的概念三、函數(shù)的間斷點(diǎn)四、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則六、利用函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限一、函數(shù)改變量定義2.11變量t由初值改變到終值則稱(chēng)為變量t的改變量。等價(jià)定義：設(shè)函數(shù)

y=f(x)在有定義，若自變量x從改變到則函數(shù)

y的改變量為函數(shù)的增量例1設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，求邊長(zhǎng)改變量為Δx時(shí)，面積的增量。解：設(shè)正方形的面積：當(dāng)邊長(zhǎng)變?yōu)閤+Δx時(shí)，面積為：則面積的改變量為：注意：函數(shù)的改變量可以為正，也可以為負(fù)。二、連續(xù)函數(shù)的概念定義2.12設(shè)函數(shù)y=f(x)在有定義。若當(dāng)x在處取得該變量時(shí)，有則稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)處連續(xù)。否則，間斷。例2證明：若函數(shù)

f(x)在點(diǎn)處連續(xù)，則令則當(dāng)時(shí)，即，這樣，就可以得到連續(xù)函數(shù)的等價(jià)定義。若在區(qū)間上連續(xù)，或稱(chēng)它是該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).定義2.14注意：若f

(x)在處左連續(xù)；則稱(chēng)

f

(x)在若處右連續(xù)。則稱(chēng)

f

(x)在很顯然，在內(nèi)連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線(xiàn).上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)例3

證明函數(shù)在內(nèi)連續(xù).證：即這說(shuō)明在內(nèi)連續(xù).同理可證：函數(shù)在內(nèi)連續(xù).三、函數(shù)的間斷點(diǎn)在在(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在；(3)函數(shù)存在，但處不連續(xù)，即間斷：設(shè)在點(diǎn)處不滿(mǎn)足連續(xù)的條件，即滿(mǎn)足這樣的點(diǎn)下列三個(gè)條件之一，稱(chēng)函數(shù)

f(x)在雖有定義，但有定義,且稱(chēng)為函數(shù)

f

(x)

的間斷點(diǎn)。在處無(wú)定義；定義2.15間斷點(diǎn)的分類(lèi)：第一類(lèi)間斷點(diǎn)：及均存在，若稱(chēng)若稱(chēng)第二類(lèi)間斷點(diǎn)：及中至少一個(gè)不存在，稱(chēng)若其中有一個(gè)為振蕩無(wú)極限，若其中有一個(gè)為為可去間斷點(diǎn)。為跳躍間斷點(diǎn)。為無(wú)窮間斷點(diǎn)。為振蕩間斷點(diǎn)。稱(chēng)為其無(wú)窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).例如，顯然，為其可去間斷點(diǎn)。(4)(5)為其跳躍間斷點(diǎn)。四、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理2.13注意：可推廣到有限次四則運(yùn)算的情況。推論：多項(xiàng)式函數(shù)在連續(xù)。分式函數(shù)在使得分母不為零的點(diǎn)連續(xù)(即在定義區(qū)間連續(xù))?；境醯群瘮?shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如，的連續(xù)區(qū)間為(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))的連續(xù)區(qū)間為結(jié)論連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)仍連續(xù)分段函數(shù)的間斷點(diǎn)只可能出現(xiàn)在分段點(diǎn)上。六、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限例5求解：因函數(shù)在

x=0處連續(xù)，則原式=(連續(xù)，可直接代入)例8

求解：原式說(shuō)明：若則有五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理2.14閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界。(連續(xù)必有界；有界不一定連續(xù))定理2.15(最大值與最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，在該區(qū)間上一定有最大值注意：若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上連續(xù),則結(jié)論不一定成立。或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)，和最小值。定理2.16(介值定理)注意：ξ點(diǎn)不唯一。例9利用介值定理證明方程在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)根。解：設(shè)則f

(x)

在區(qū)間上滿(mǎn)足零點(diǎn)定理，使得即，是方程的三個(gè)根。又因三次方程最多有三個(gè)根，因此恰為三個(gè)根。內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式第一類(lèi)間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在第二類(lèi)間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在2.間斷點(diǎn)的類(lèi)型基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)仍連續(xù)3.4