D可分離變量微分方程

會計(jì)學(xué)1D可分離變量微分方程2023/1/18例1.求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或說明:

在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時丟失的解y=0)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第1頁/共15頁2023/1/18例2.

解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁/共15頁2023/1/18例3.

求下述微分方程的通解:解:

令則故有即解得(C為任意常數(shù)

)所求通解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共15頁2023/1/18練習(xí):解法1分離變量即(C<0

)解法2故有積分(C

為任意常數(shù))所求通解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共15頁2023/1/18例4.子的含量

M

成正比,求在衰變過程中鈾含量M(t)

隨時間t

的變化規(guī)律.解:

根據(jù)題意,有(初始條件)對方程分離變量,即利用初始條件,得故所求鈾的變化規(guī)律為然后積分:已知

t=0時鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變原機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共15頁2023/1/18例5.成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡,得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(t=0)速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系.t

足夠大時機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁/共15頁2023/1/18例6.有高1m的半球形容器,水從它的底部小孔流出,開始時容器內(nèi)盛滿了水,從小孔流出過程中,容器里水面的高度h

隨時間

t

的變解:由水力學(xué)知,水從孔口流出的流量為即求水小孔橫截面積化規(guī)律.流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度設(shè)在內(nèi)水面高度由

h

降到機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁/共15頁2023/1/18對應(yīng)下降體積因此得微分方程定解問題:將方程分離變量:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁/共15頁2023/1/18兩端積分,得利用初始條件,得因此容器內(nèi)水面高度h與時間

t

有下列關(guān)系:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁/共15頁2023/1/18內(nèi)容小結(jié)1.微分方程的概念微分方程;定解條件;2.可分離變量方程的求解方法:說明:

通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一個解.例如,方程分離變量后積分;根據(jù)定解條件定常數(shù).解;階;通解;特解y=–x

及

y=C

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁/共15頁2023/1/18

找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法:1)根據(jù)幾何關(guān)系列方程(如:P263,5(2))

2)根據(jù)物理規(guī)律列方程(如:例4,例5)3)根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程(如:例6)(2)利用反映事物個性的特殊狀態(tài)確定定解條件.(3)求通解,并根據(jù)定解條件確定特解.3.解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共15頁2023/1/18思考與練習(xí)

求下列方程的通解:提示:(1)

分離變量(2)

方程變形為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共15頁2023/1/18作業(yè)P2691(1),(5),(7),(10);

2(3),(4);4;5;6第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共15頁