巴特沃斯濾波器

會計學(xué)1巴特沃斯濾波器本節(jié)內(nèi)容：1.模擬濾波器的設(shè)計總述；2.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計原理；3.關(guān)于巴特沃斯低通濾波器設(shè)計的例題；第1頁/共28頁

I.模擬濾波器的設(shè)計總述

模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用。第2頁/共28頁

典型濾波器巴特沃斯（Butterworth）濾波器:具有單調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫（Chebyshev）濾波器：幅頻特性在通帶或阻帶有波動，可提高選擇性；貝塞爾（Bessel）濾波器：通帶內(nèi)有較好的線性相位；橢圓（Ellipse）濾波器：選擇性最好，但相位特性的非線性嚴(yán)重。第3頁/共28頁選頻型模擬濾波器按頻率特性可分為低通，高通，帶通和帶阻濾波器。它們的理想幅頻特性如圖所示：

圖6.2.1各種理想濾波器的幅頻特性

第4頁/共28頁模擬濾波器設(shè)計指標(biāo)

圖6.1.1典型模擬低通濾波器幅頻特性及其指標(biāo)描述第5頁/共28頁濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計一個傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的技術(shù)指標(biāo)，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實數(shù)，因此(6.2.6)第6頁/共28頁

Butterworth低通濾波器具有通帶最平幅度逼近特性，是一全極點型濾波器，且極點均勻分布上Ωc的圓上,并且與虛軸對稱。其最主要特點：在通帶內(nèi)，幅頻最平坦，隨著頻率的升高而單調(diào)下降。其幅度平方函數(shù)為

II.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計原理(6.2.7)第7頁/共28頁在Ω=Ωc附近，隨Ω加大，幅度迅速下降，幅度特性與Ω和N的關(guān)系如下圖所示：

圖6.2.3巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系

幅度下降的速度與階數(shù)N有關(guān)，N愈大，通帶愈平坦，過渡帶愈窄，過渡帶與阻帶幅度下降的速度愈快，總的頻響特性與理想低通濾波器的誤差愈小。第8頁/共28頁

將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2寫成s的函數(shù)：

(6.2.8)

此式表明幅度平方函數(shù)有2N個極點，極點sk用下式表示：(6.2.9)k=0,1,2,3，······，2N-1。當(dāng)N=3時：第9頁/共28頁圖6.2.4三階巴特沃斯濾波器極點分布極點在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點

極點間的角度間隔為∏/Nrad第10頁/共28頁為形成因果穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個極點構(gòu)成Ha(-s)。Ha(s)的表示式為(6.2.10)第11頁/共28頁取s平面左半平面的極點s0,s1,s2組成Ha(s)：

eg：設(shè)N=3，極點有6個，它們分別為第12頁/共28頁

由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率Ωc歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為

Gɑ(s/Ωc)

令λ=Ω/Ωc，p=s/Ωc=jΩ/Ωc,λ稱為歸一化頻率；p稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為(6.2.11)(6.2.12)G第13頁/共28頁

式中，pk為歸一化極點，用下式表示：

(6.2.13)顯然，

Sk=Ωcpk(6.2.14)

這樣，只要根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出階數(shù)N，再求出N個極點Pk，按照(6.2.12)得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p),若給定Ωc,再去歸一化，即將p=s/Ωc代入Gs(p)中(或求出Sk),便得到期望設(shè)計的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。第14頁/共28頁將極點表達(dá)式（6.2.13）代入（6.2.12）式，得到Ga(p)的分母是p的N階多項式，如下：歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)的系數(shù)bk，K=0,1,2,······,N-1，以及極點Pk，可以由表6.2.1得到。另外，表中還給出了Ga(p)的因式分解形式中的各系數(shù)，這樣只要求出階數(shù)N，查表就可以得到Ga(p)及各極點，而且還可以選擇級聯(lián)型和直連型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)表示形式，避免了因式分解的運算工作。(6.2.15)第15頁/共28頁表6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)第16頁/共28頁第17頁/共28頁第18頁/共28頁

將Ω=Ωs代入(6.2.7)式中，再將|Ha(jΩs)|2代入(6.2.3)式中，得到：(6.2.16)(6.2.17)由(6.2.9)和(6.2.10)可知，只要求出巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率Ωc，就可求出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，故，巴特沃斯濾波器的設(shè)計實質(zhì)就是根據(jù)設(shè)計指標(biāo)求階數(shù)N和3dB截止頻率Ωc的過程。下面先介紹階數(shù)N的確定方法。階數(shù)N的大小主要影響通帶幅頻特性的平坦程度和過渡帶，阻帶的幅度下降速度,它由技術(shù)指標(biāo)Ωp，αp，Ωs和αs確定。將Ω=Ωp代入幅度平方函數(shù)(6.2.7)中,再將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩs)|2代入(6.2.2)中，得到：第19頁/共28頁由(6.2.16)和(6.2.17)式得到：令則N由下式表示：(6.2.18c)(6.2.18a)(6.2.18b)第20頁/共28頁

用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。關(guān)于3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可以按照(6.2.16)式或(6.2.17)式求出，由(6.2.16)式得到：由(6.2.17)式得到：(6.2.19)(6.2.20)通帶指標(biāo)剛好滿足要求，阻帶指標(biāo)有富余阻帶指標(biāo)剛好滿足要求，通帶指標(biāo)有富余第21頁/共28頁

總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟如下：(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ωp,αp,Ωs和αs,用(6.2.18)式求出濾波器的階數(shù)N。(2)按照(6.2.13)式,求出歸一化極點pk,將pk代入(6.2.12)式,得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。(3)將Ga(p)去歸一化。將p=s/Ωc代入Ga(p),得到實際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s):

Ha(s)=

Ga(p)|

p=s/Ωc第22頁/共28頁

例6.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。

解(1)確定階數(shù)N。

III.關(guān)于巴特沃斯低通濾波器設(shè)計的例題第23頁/共28頁

(2)按照(6.2.13)式，其極點pK為按照(6.2.12)式，歸一化傳輸函數(shù)為第24頁/共28頁

上式分母可以展開成為五階多項式，或者將共軛極點放在一起，形成因式分解形式。

G極點：-0.3090±j0.9511;-0.8090±j0.5878;-1.0000五階多項式這里不如直接查表6.2.1簡單，由N=5，直接查表得到：式中：b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2