常數(shù)項級數(shù)的收斂性判別法

會計學1常數(shù)項級數(shù)的收斂性判別法11.3.1正項級數(shù)及其收斂性判別法若定理11.4.

正項級數(shù)收斂部分和序列有界.則稱為正項級數(shù)

.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知單調遞增,收斂,也收斂.證:“”“”故有界.第1頁/共28頁都有定理11.5(比較判別法)設且存在對一切有(1)若強級數(shù)則弱級數(shù)(2)若弱級數(shù)則強級數(shù)證:設對一切則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示弱級數(shù)和強級數(shù)的部分和,則有是兩個正項級數(shù),(常數(shù)k>0),因在級數(shù)前加、減有限項不改變其斂散性,故不妨機動目錄上頁下頁返回結束第2頁/共28頁(1)若強級數(shù)則有因此對一切有由定理1可知,則有(2)若弱級數(shù)因此這說明強級數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,弱級數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束第3頁/共28頁例1.

討論p

級數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因為對一切而調和級數(shù)由比較審斂法可知p

級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,機動目錄上頁下頁返回結束第4頁/共28頁故強級數(shù)收斂,由比較審斂法知

p

級數(shù)收斂.2)若機動目錄上頁下頁返回結束后一為幾何級數(shù),公比為該級數(shù)收斂.調和級數(shù)與p級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).第5頁/共28頁調和級數(shù)與p級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在對一切第6頁/共28頁證明級數(shù)發(fā)散.證:

因為而級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散.例2.機動目錄上頁下頁返回結束第7頁/共28頁比較判別法的極限形式則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當

l=

0

(3)當

l=∞

設兩正項級數(shù)滿足(1)當0<l<∞

時,機動目錄上頁下頁返回結束第8頁/共28頁的斂散性.～例3.

判別級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例4.

判別級數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～機動目錄上頁下頁返回結束第9頁/共28頁定理11.6.比值判別法

(D’alembert判別法)設為正項級數(shù),且則(1)當(2)當時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結束說明:

當時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.第10頁/共28頁例5.

判別下列級數(shù)的斂散性.解:(1)根據(jù)定理4可知:級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結束(2)根據(jù)定理4可知:第11頁/共28頁例6.討論級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散;第12頁/共28頁定理5.

根值審斂法(Cauchy判別法)設為正項級則數(shù),且機動目錄上頁下頁返回結束時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.說明:第13頁/共28頁例7.

討論級數(shù)的斂散性.解:

故原級數(shù)收斂。機動目錄上頁下頁返回結束例8.

討論級數(shù)的斂散性.解:

故原級數(shù)收斂。第14頁/共28頁例8.

研究級數(shù)的斂散性．

所以級數(shù)是收斂的。解.由于第15頁/共28頁內容小結2.判別正項級數(shù)斂散性的方法與步驟必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限機動目錄上頁下頁返回結束第16頁/共28頁

作業(yè)

P2631(2),(3),(4),(6);

2(4),(6);

3(1),(2)第三節(jié)目錄上頁下頁返回結束第17頁/共28頁思考與練習設正項級數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結束第18頁/共28頁備用題1.

判別級數(shù)的斂散性:解:

(1)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.不是p–級數(shù)(2)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.第19頁/共28頁11.3.2、交錯級數(shù)及其審斂法

則各項符號正負相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)

.定理1

.(Leibnitz

判別法)

若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂,且其和其余項滿足機動目錄上頁下頁返回結束第20頁/共28頁收斂收斂例1

用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂機動目錄上頁下頁返回結束第21頁/共28頁11.3.3、絕對收斂與條件收斂

定義:

對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,則稱原級收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對收斂.例如：絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂

.機動目錄上頁下頁返回結束第22頁/共28頁定理11.9

絕對收斂的級數(shù)一定收斂.證:

設根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令機動目錄上頁下頁返回結束第23頁/共28頁例2.

證明下列級數(shù)絕對收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對收斂.機動目錄上頁下頁返回結束第24頁/共28頁(2)令因此收斂,絕對收斂.機動目錄上頁下頁返回結束第25頁/共28頁任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)Leibniz判別法:則交錯級數(shù)收斂概念:絕對收斂條件收斂機動目錄上頁下頁返回結束內容小結