“應(yīng)用隨機(jī)過程”講義一解析

應(yīng)用隨機(jī)過程清華高校數(shù)學(xué)科學(xué)系林元烈主講教材：《應(yīng)用隨機(jī)過程》（第三次印刷）林元烈，清華高校出版社2023/1/181應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講學(xué)習(xí)要求不僅是駕馭學(xué)問，更重要的是駕馭思想學(xué)會(huì)把抽象的概率和實(shí)際模型結(jié)合起來2023/1/182應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講學(xué)習(xí)重點(diǎn)用隨機(jī)變量表示事務(wù)及其分解——基本理論全概率公式——基本技巧數(shù)學(xué)期望和條件數(shù)學(xué)期望——基本概念2023/1/183應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講第一講

2023/1/184應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講隨機(jī)事務(wù)與概率

隨機(jī)試驗(yàn)

2023/1/185應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講要點(diǎn)：在相同條件下，試驗(yàn)可重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)的一切結(jié)果是預(yù)先可以明確的，但每次試驗(yàn)前無法預(yù)先斷言原委會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果。2023/1/186應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講樣本點(diǎn)

對于隨機(jī)試驗(yàn)E，以ω表示它的一個(gè)可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果，稱ω為E的一個(gè)樣本點(diǎn)。

樣本空間

樣本點(diǎn)的全體稱為樣本空間，用Ω表示。Ω＝{ω}2023/1/187應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講隨機(jī)事務(wù)粗略地說，樣本空間Ω的子集就是隨機(jī)事務(wù)，用大寫英文字母A、B、C等來表示。

事務(wù)的關(guān)系與運(yùn)算

2023/1/188應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/189應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1810應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講示性函數(shù)是最簡潔的隨機(jī)變量用隨機(jī)變量來表示事務(wù)2023/1/1811應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講用示性函數(shù)的關(guān)系及運(yùn)算來表示相關(guān)事務(wù)的關(guān)系及運(yùn)算2023/1/1812應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講公理化定義集類2023/1/1813應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1814應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講概率2023/1/1815應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1816應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1817應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講概率是滿足非負(fù)性；歸一性；可列可加性；的集函數(shù)。可測集粗略地說，可以定義長度（面積、體積）的點(diǎn)集即為可測集；反之稱為不行測集。2023/1/1818應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講概率的性質(zhì)1.

2.3.有限可加性

2023/1/1819應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講4.

5.6.

2023/1/1820應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講7.8.可列次可加性9.概率連續(xù)性2023/1/1821應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講這部分的具體探討可以參見《隨機(jī)數(shù)學(xué)引論》林元烈，清華高校出版社2023/1/1822應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講Buffon試驗(yàn)：最早用隨機(jī)試驗(yàn)的方法求某個(gè)未知的數(shù)。測度：滿足非負(fù)性、可列可加性的集函數(shù)。2023/1/1823應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1824應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講事實(shí)上，設(shè)集類以上集類和A生成相同的σ-代數(shù),都是上面提到的一維Borelσ-代數(shù)，即2023/1/1825應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講直觀地說，中包含一切開區(qū)間，閉區(qū)間，半開半閉區(qū)間，半閉半開區(qū)間，單個(gè)實(shí)數(shù)，以及由它們經(jīng)可列次并交運(yùn)算而得出的集類。2023/1/1826應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1827應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講

2023/1/1828應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1829應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1830應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講事務(wù)的獨(dú)立性2023/1/1831應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講

幾個(gè)事務(wù)的獨(dú)立性2023/1/1832應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1833應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1834應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1835應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講比較甲乙兩人的結(jié)果，從以上結(jié)果可以得到什么結(jié)論？2023/1/1836應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講機(jī)遇偏愛有心人！2023/1/1837應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講一次成功的概率只有2％，是典型的小概率事務(wù)；但重復(fù)次數(shù)足夠多，如n=400，至少一次成功就是或許率事務(wù)！

2023/1/1838應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講只要功夫深，鐵杵磨成針！2023/1/1839應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講隨機(jī)變量定義說明2023/1/1840應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講離散型隨機(jī)變量的示性函數(shù)表示法

這說明對于任一d.v.r.，總可以分解為互不交的事務(wù)的示性函數(shù)的迭加。2023/1/1841應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講隨機(jī)變量等價(jià)定義分布函數(shù)2023/1/1842應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)微元法求概率密度函數(shù)2023/1/1843應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維Borel-σ代數(shù)由平面上矩形的全體生成的σ－代數(shù)2023/1/1844應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講聯(lián)合密度函數(shù)亦可用微元法求2023/1/1845應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講常用隨機(jī)變量的分布（列出,期望方差）兩點(diǎn)分布正態(tài)分布二項(xiàng)分布指數(shù)分布Poisson分布勻整分布幾何分布二維正態(tài)分布2023/1/1846應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講兩點(diǎn)分布若r.v.X只取1和0兩個(gè)值，且則稱r.v.X聽從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布。簡記為：X~B(1,p).即EX=p,DX=p(1-p)2023/1/1847應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講EX=np,DX=np(1-p)EX=1/p,DX=(1-p)/p22023/1/1848應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講EX=λ,DX=λEX=(a+b)/2,DX=(b-a)2/122023/1/1849應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講EX=1/λ,DX=1/λ2EX=μ,DX=σ22023/1/1850應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講二維正態(tài)分布的優(yōu)良性質(zhì)

X,Y相互獨(dú)立X,Y不相關(guān)2023/1/1851應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講隨機(jī)變量的數(shù)字特征及條件數(shù)學(xué)期望2023/1/1852應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講數(shù)學(xué)期望（復(fù)習(xí)）“加權(quán)平均”為了引出一般隨機(jī)變量的定義，我們先介紹R-S積分的概念。2023/1/1853應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講黎曼－斯蒂爾吉斯積分2023/1/1854應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講任分任取求和取極限2023/1/1855應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1856應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講在定義了R-S積分之后，我們可以將全部隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望形式進(jìn)行統(tǒng)一。2023/1/1857應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1858應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（E|Xi|<∞）2023/1/1859應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講

交換求和依次2023/1/1860應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講同理，對連續(xù)型隨機(jī)變量有相像的結(jié)論成立2023/1/1861應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1862應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1863應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1864應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1865應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講Chebyshev不等式2023/1/1866應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講

條件數(shù)學(xué)期望2023/1/1867應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1868應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1869應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講用示性函數(shù)的線性組合表示離散型隨機(jī)變量（見前面“隨機(jī)變量”部分）2023/1/1870應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講例：將概率運(yùn)算納入求期望運(yùn)算的范疇2023/1/1871應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講理解E(X|Y)是ω的函數(shù)，也是Y(ω)的函數(shù)，即Y(ω)取值不同，E(X|Y)也取相應(yīng)的值；當(dāng)Y是離散型隨機(jī)變量時(shí)，E(X|Y)也是離散型隨機(jī)變量。2023/1/1872應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1873應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講推廣至一般隨機(jī)變量2023/1/1874應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講將x替換成X2023/1/1875應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講求條件數(shù)學(xué)期望的一般步驟先寫出固定條件(如Y=yj)的狀況下X的條件分布律或條件密度函數(shù)；依據(jù)條件數(shù)學(xué)期望的定義，通過求和或積分得到條件下的數(shù)學(xué)期望；將條件(Y=yj)替換成一般狀況下的隨機(jī)變量(Y)2023/1/1876應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)設(shè)E(Y),E(Xi|Y),E(h(Y)),E{g(X)h(Y)}存在，則(重要!)全期望公式2023/1/1877應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1878應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講將全概率公式納入全期望公式的范疇2023/1/1879應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講重要結(jié)論：E(X|Y)=E(E(X|Y,Z)|Y)=E[E(X|Y)|Y,Z]以示性函數(shù)為例，驗(yàn)證上面的結(jié)論2023/1/1880應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講同理可驗(yàn)證另一個(gè)等號(hào)2023/1/1881應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講例：2023/1/1882應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講由X2和Y3獨(dú)立用示性函數(shù)表示X22023/1/1883應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講2023/1/1884應(yīng)用隨機(jī)過程講義第一講推廣