彈性力學應(yīng)變分析

會計學1彈性力學應(yīng)變分析§3-1相對位移張量和應(yīng)變張量xyzO一.一點的相對位移張量P設(shè)點的位移分量為相鄰一點AA1P1位移分量為兩點間的位移（矢量）差將在處展開，并忽略高階項，則第1頁/共23頁

相對位移張量一般為非對稱張量。

相對位移張量反映了一點相對位移的總體情況，既包含了因剛體位移產(chǎn)生的相對位移，又包含了因變形位移產(chǎn)生的相對位移；稱為P點的相對位移張量第2頁/共23頁二.轉(zhuǎn)動張量xyzOPAA1P1設(shè)若為剛體位移，則展開第3頁/共23頁由dxidxj的任意性，其項前系數(shù)為零。即所以相對剛體位移張量為反對稱張量，并記為滿足此條件的相對位移張量稱為相對剛體位移張量或轉(zhuǎn)動張量第4頁/共23頁將相對位移張量分解為對稱和反對稱張量為其中第二項

第一項為不包含剛體位移的相對位移張量，即由變形產(chǎn)生的相對位移張量。稱為應(yīng)變張量，記為。三.應(yīng)變張量與對比，即等于轉(zhuǎn)動張量第5頁/共23頁應(yīng)變張量是對稱張量第6頁/共23頁§3-2幾何方程——Cauchy方程xyzOP

建立應(yīng)變與位移的關(guān)系，揭示應(yīng)變張量各分量的物理意義考察P點，

分別沿x、y、z正向引三正交線元r、s、t變形后P點移動到P′點P三線元的長度和相對夾角也發(fā)生變化將三線元變形前后的位置分別向三坐標面投影，建立其應(yīng)變和位移的關(guān)系投影引起的誤差為高階微量以向yz平面投影分析為例第7頁/共23頁yzOPP設(shè)P點的坐標為y、zs、t的長度為dy、dz點P到P的位移為v、ws點到s的位移為vs、ws由正應(yīng)變的定義由切應(yīng)變的定義t點到t的位移為vt

、wt第8頁/共23頁若向xy平面投影同理可得若向zx平面投影同理可得綜合之此方程組表明了應(yīng)變與位移的關(guān)系，稱為幾何方程或Cauchy方程對比應(yīng)變張量各分量，可見第9頁/共23頁

應(yīng)變張量分量與工程應(yīng)變的原始定義完全相同，但工程切應(yīng)變是角應(yīng)變分量的2倍，故一點應(yīng)變狀態(tài)可由應(yīng)變張量描述幾何方程可表示為第10頁/共23頁§3-3應(yīng)變張量的性質(zhì)由于應(yīng)變張量是對稱二階張量，因此與應(yīng)力張量具有類似的性質(zhì)一.任意方向的正應(yīng)變和任意兩垂直方向的切應(yīng)變1.設(shè)一點的應(yīng)變狀態(tài)為ij

，則該點任意方向N(l1,l2,l3)正應(yīng)變2.設(shè)一點的應(yīng)變狀態(tài)為ij

，兩垂直方向分別為r(l1,l2,l3)和

s(l1,l2,l3)，則該點rs方向上的切應(yīng)變二.應(yīng)變狀態(tài)的坐標變換

設(shè)一點的應(yīng)變狀態(tài)在Oxyz坐標系下的應(yīng)變張量為ij

，旋轉(zhuǎn)后的坐標系為Oxyz，兩坐標系間的方向余弦為lij

，則第11頁/共23頁三.主應(yīng)變、主方向

設(shè)一點的應(yīng)變狀態(tài)為ij，xyzOrst123

過此點可作任意組三向正交線元，總存在一組線元在變形前后始終保持正交，即兩兩方向上的切應(yīng)變?yōu)榱恪?/p>

將該組線元方向稱為應(yīng)變主方向，沿主方向的正應(yīng)變稱為主應(yīng)變。（該組線元所構(gòu)成的三軸又稱為應(yīng)變主軸，兩兩線元構(gòu)成的平面稱為應(yīng)變主平面。）

由以上定義，類似主應(yīng)力分析可得1.主平面（主方向）方程其中為主應(yīng)變，lj為主方向第12頁/共23頁2.主應(yīng)變方程（特征方程）3.應(yīng)變不變量三實根按

1

2

3排序第13頁/共23頁4.最大最小應(yīng)變最大正應(yīng)變max

1最小正應(yīng)變min

3最大最小切應(yīng)變5.八面體應(yīng)變八面體表面法線方向的正應(yīng)變八面體表面上兩正交方向的切應(yīng)變6.應(yīng)變強度第14頁/共23頁四.體積應(yīng)變和應(yīng)變張量分解1.體積應(yīng)變

由正交三線元可構(gòu)成一微元體，考察變形前后微元體體積的變化。xyzOP變形前微元體體積變形后微元體邊長其中，表示切應(yīng)變的高價微量變形后微元體體積第15頁/共23頁定義體積應(yīng)變可見應(yīng)變張量的第一不變量的物理意義為體積應(yīng)變考察位移場即其散度說明應(yīng)變張量的第一不變量或體積應(yīng)變的數(shù)學意義為位移場的散度當=0時，稱為物體是不可壓縮的，因此不可壓縮的條件為：應(yīng)變張量的第一不變量為零或位移場的散度為零第16頁/共23頁2.應(yīng)變張量的分解與應(yīng)力張量的分解類似，可將應(yīng)變張量分解為球張量和偏張量其中只有體積改變而無形狀改變只有形狀改變而無體積改變第17頁/共23頁不變量第18頁/共23頁§3-4變形協(xié)調(diào)方程一.問題的提出

1.根據(jù)連續(xù)性假定，受力物體在變形前后都是連續(xù)的。3.由于幾何方程是導出關(guān)系，數(shù)學上它們之間并不是相互獨立的，而存在著一定的相互制約關(guān)系。2.由幾何方程可知，給定位移函數(shù)ui可唯一地確定應(yīng)變分量ij。4.物理上，相互獨立的應(yīng)變分量不能保證物體的連續(xù)性，物體內(nèi)在變形時會出現(xiàn)分裂和重疊。二.變形協(xié)調(diào)關(guān)系—應(yīng)變分量間的關(guān)系考察幾何方程在xy平面內(nèi)第19頁/共23頁所以同理，考察yz和zx平面可得故得第一組變形協(xié)調(diào)方程考察第20頁/共23頁故得第二組變形協(xié)調(diào)方程如果作不同的數(shù)學運算組合可得若干組變形協(xié)調(diào)方程●若把幾何方程和變形協(xié)調(diào)方程視為泛定方程組，因僅聯(lián)系九個量（六個應(yīng)變、三個位移），需九個獨立方程。而幾何方程有六個，故在若干組變形協(xié)調(diào)方程中，只有三個方程獨立?！裥枰赋觯冃螀f(xié)調(diào)方程是應(yīng)變張量的稟性方程。即，滿足變形協(xié)調(diào)方程是任何真實應(yīng)變張量的必要條件。第21頁/共23頁§3-5位移邊界條件

給定邊界上的位移和約束情況（如沉降，固定等），被稱