投資學(xué)-課件b ch21期權(quán)定價

第21章

期權(quán)定價第21章期權(quán)定價21.1導(dǎo)言21.2期權(quán)價值的限制21.3二項式期權(quán)定價21.4布萊克-斯克爾斯期權(quán)定價模型21.5布萊克-斯克爾斯公式的應(yīng)用21.6期權(quán)價格的實證證據(jù)21.1導(dǎo)言

考慮某時刻處于虛值狀態(tài)的看漲期權(quán)，這時股票價格低于執(zhí)行價格，在這種情況下，并不意味著期權(quán)沒有價值。即便現(xiàn)在執(zhí)行該期權(quán)無利可圖，但期權(quán)的價格仍為正值，因為在到期前股票價格很有可能會大幅上揚(yáng)使得執(zhí)行期權(quán)可獲得收益。否則，最壞的結(jié)果不過是期權(quán)以零值失效。

期權(quán)的大部分時間價值其實是一種“波動性價值”，只要持有者不執(zhí)行期權(quán)，其收益就不可能小于零。雖然看漲期權(quán)現(xiàn)在處于虛值，但仍然具有正的價格，因為一旦股價上升，就存在潛在的獲利機(jī)會，而在股價下跌時卻不會遭受更多的損失。波動性價值依賴于當(dāng)執(zhí)行對自己不利時可以不執(zhí)行的權(quán)利。期權(quán)的執(zhí)行是權(quán)利，而不是義務(wù)，期權(quán)在股票價格下跌時提供了保險。21.1.1內(nèi)在價值與時間價值內(nèi)在價值–立即執(zhí)行該期權(quán)能獲的收入看漲期權(quán):股票價格—執(zhí)行價格看跌期權(quán):執(zhí)行價格—股票價格時間價值虛值期權(quán)與平價期權(quán)的內(nèi)在價值為零，期權(quán)實際價格與內(nèi)在價值的差通常稱為期權(quán)的時間價值。期權(quán)的時間價值：看漲期權(quán)期權(quán)價值OptionvalueX股票價格StockPrice看漲期權(quán)價值ValueofCall內(nèi)在價值IntrinsicValue時間價值Timevalue21.1.2期權(quán)價值的決定因素影響看漲期權(quán)價值的因素至少有六個：股票價格、執(zhí)行價格、股票價格的波動性、到期期限、利率及股票紅利率。期權(quán)價值的決定因素

如果該變量增加期權(quán)價值的變化

股票價格S

執(zhí)行價格X

波動性σ

到期時間T

利率rf

紅利支付

表21-1看漲期權(quán)價值的決定因素

如果該變量增加看漲期權(quán)價值的變化

股票價格S增加

執(zhí)行價格X降低

波動性σ增加

到期時間T增加

利率rf

增加

紅利支付降低

美式看跌期權(quán)價值的決定因素

如果該變量增加美式看跌期權(quán)價值的變化

股票價格S降低

執(zhí)行價格X增加

波動性σ增加

到期時間T增加

利率rf

降低

紅利支付增加

21.2期權(quán)價值的限制21.2.1看漲期權(quán)價值的限制看漲期權(quán)價值最為明顯的限制是其價值不可能為負(fù)。因為期權(quán)并不一定行使，它不會給持有人帶來任何義務(wù)或負(fù)債；進(jìn)一步講，只要行使期權(quán)有可能帶來收益，期權(quán)就會具有一個正的價值。其收益最少為零，而且有可能為正，所以投資者是樂意支付一筆錢去購買看漲期權(quán)的。假定股票將在到期日之前的時間T(現(xiàn)時為0時刻)支付數(shù)量為D的紅利，現(xiàn)在比較兩個資產(chǎn)組合，一個包括一份股票看漲期權(quán)，而另一個則是由股票與數(shù)額為(X+D)/(1+rf)T的借款構(gòu)成的杠桿化股權(quán)頭寸，在期權(quán)到期日那天，借款償付額為(X+D)美元。21.2.1看漲期權(quán)價值的限制舉例來說，一個執(zhí)行價格為70美元的半年期期權(quán)，在此期間公司將向股東持有的每一股股票支付紅利5美元，有效年利率為10%，那么購買股票的同時，須借一筆數(shù)額為75美元/(1.10)1/2=71.51美元的借款，六個月后當(dāng)借款到期時償還75美元。到期日杠桿化股權(quán)頭寸的收益如下:項目一般表達(dá)式數(shù)字股票價值ST+DST+5減：貨款償還額-(X+D)-75總計ST-XST-7021.2.1看漲期權(quán)價值的限制圖21-2看漲期權(quán)價值的可能范圍圖21-3看漲期權(quán)價值與股票現(xiàn)價之間的函數(shù)關(guān)系21.2.2提前執(zhí)行期權(quán)與股息想取消交易的看漲期權(quán)持有者有兩個選擇，執(zhí)行期權(quán)或?qū)⑵涫鄢觥Ｈ绻钟姓咴趖時間執(zhí)行期權(quán)，獲得贏利St-X(假定為實值期權(quán))。我們已經(jīng)知道，期權(quán)最低可以St-PV(X)-PV(D)的價格賣出，所以對于不付紅利的股票期權(quán)而言，C大于St-PV(X)，因為X的現(xiàn)值小于X，所以，有C≥St-PV(X)≥St-X這意味著以價格C出售期權(quán)的收益一定大于執(zhí)行期權(quán)的收益，所以出售期權(quán)使其仍繼續(xù)存在比執(zhí)行期權(quán)而結(jié)束它在經(jīng)濟(jì)上更有吸引力。21.2.3美式看跌期權(quán)的提前執(zhí)行對于美式看跌期權(quán)而言，肯定會有提前執(zhí)行而達(dá)到最優(yōu)的可能性。我們下面通過一個簡單的例子來加以說明。假定你購買了一份股票看跌期權(quán)，不久，公司破產(chǎn)，股票價格變?yōu)榱?，這時你肯定會立即執(zhí)行期權(quán)，因為股票價格已經(jīng)不可能再跌了。立即執(zhí)行會獲得執(zhí)行價格，可以重新投資獲利。推遲執(zhí)行則意味著損失資金的時間價值，在到期日之前執(zhí)行看跌期權(quán)的權(quán)利是有價值的。現(xiàn)在假定公司只是面臨破產(chǎn)，股票跌至幾美分，馬上執(zhí)行期權(quán)仍是最優(yōu)選擇，雖然股票價格仍會下降，但僅僅是幾美分而已，將來執(zhí)行不過比現(xiàn)在執(zhí)行多得到幾美分的收益。要在可能多獲得的很少的收益與推遲執(zhí)行帶來的資金時間價值的損失之間進(jìn)行權(quán)衡。顯然，當(dāng)股票價格低于某些值時提前執(zhí)行是最優(yōu)選擇。21.2.3美式看跌期權(quán)的提前執(zhí)行

從以上論述可知，美式看跌期權(quán)比歐式看跌期權(quán)的價值高，美式看跌期權(quán)允許在到期日之前的任一時點(diǎn)執(zhí)行，因為提前執(zhí)行在某些情形下極為有用，會在資本市場上獲得正的價格。于是，在其他條件相同時，美式看跌期權(quán)的價格高于歐式看跌期權(quán)。

圖21-4a)給出了美式看跌期權(quán)的價值與股票現(xiàn)價S0之間的函數(shù)關(guān)系。一旦股價跌破臨界值(圖中記作S*)，執(zhí)行就是最優(yōu)決策。在這一點(diǎn)，期權(quán)價值曲線與代表期權(quán)內(nèi)在價值的直線相切。當(dāng)股價達(dá)到S*時，看跌期權(quán)被執(zhí)行，其收益等于期權(quán)的內(nèi)在價值。

作為比較，歐式看跌期權(quán)的價值畫在圖21-4b中，內(nèi)在價值線并不是其漸近線。因為歐式期權(quán)不允許提前執(zhí)行，所以歐式看跌期權(quán)的最大值是PV(X)，發(fā)生在S0=0時。顯然，時間越長，PV(X)越小。圖21-4看跌期權(quán)價值與股票現(xiàn)價之間的函數(shù)關(guān)系美式看跌期權(quán)的價值歐式看跌期權(quán)的價值21.3二項式期權(quán)定價21.3.1兩狀態(tài)期權(quán)定價

假定現(xiàn)在股票價格為S0=100美元，年底的股票價格可能升至u=1.2即股價為120美元，或者降至d=0.9即股價90美元。該股票的看漲期權(quán)的執(zhí)行價格為110美元，有效期為一年。利率是10%。如果年底的股票價格下跌了，看漲期權(quán)持有者的收益將會是0；如果股票價格漲到了120美元，期權(quán)持有者將會獲得10美元的收益。

將看漲期權(quán)的收益與一個由一股股票與以10%的利率借81.82美元組成的資產(chǎn)組合的收益進(jìn)行比較，這一資產(chǎn)組合的收益也取決于年末的股票價格：21.3二項式期權(quán)定價100120oru=1.290ord=0.9股票價格C100看漲期權(quán)價值執(zhí)行價格X=110二項式期權(quán)定價模型：舉例另一個組合買1股100元的股票，借$81.82（10%的利率）凈支出是$18.18收入年末股票價值90120貸款本金及利率

-90-90凈收入 03018.18300收入結(jié)構(gòu)正好是看漲期權(quán)的3倍二項式期權(quán)定價模型：舉例18.18300C1003C=$18.18C=$6.06收入和期權(quán)價值的另一種觀點(diǎn)

1股股票和3個售出的看漲期權(quán)的組合恰好被套期保值

股票價值 90 120 3個售出的看漲期權(quán)的義務(wù)0

-30

凈收入90 90100-3C=81.81（90/1.1）orC=6.06套期保值率對于其他兩狀

態(tài)期權(quán)問題，套

期保值率一般

公式如右示：

這里，Cu或者Cd分別是看漲期權(quán)在股票價格上漲與下跌時的價值，而uS0與dS0分別是兩狀態(tài)下的股票價格。套期保值率為H二項式期權(quán)定價步驟用上面的例子，期權(quán)定價技術(shù)將包括以下步驟：1)給定可能的年末股票價格,uS0=120與dS0=90，執(zhí)行價格X為110美元，計算Cu=10與Cd=0。股票價格的變動范圍為30美元，而期權(quán)價格的波動范圍是10美元。2)套期保值率為10/30=1/3。3)由1/3股股票與一份期權(quán)空頭組成的資產(chǎn)組合，年末的確定價值為30美元。4)年利率為10%、30美元的現(xiàn)值為27.27元。5)讓套期保值頭寸的現(xiàn)值等于將來的確定收益的現(xiàn)值：1/3S0-C0=27.27美元33.3-C0=27.27美元6)解出看漲期權(quán)的價值，C0=6.06美元。

21.4布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價模型

布萊克、斯科爾斯與默頓發(fā)現(xiàn)了計算看漲期權(quán)價值的公式，斯科爾斯與默頓也因此獲得了1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。假設(shè)：1)在期權(quán)到期之前，股票不支付紅利。2)利率r與股票的方差σ2保持不變(或更一般化些，兩者均是時間的函數(shù)，完全可預(yù)期)。3)股票價格是連續(xù)的，也就是說股票價格不會發(fā)生突然的大的波動。該公式如下：21.4布萊克-斯科爾斯公式Co=SoN(d1)-Xe-rTN(d2)d1=[ln(So/X)+(r+s2/2)T]/(sT1/2)d2=d1-(sT1/2)式中:Co=當(dāng)前看漲期權(quán)的價值.So=當(dāng)前股票價格N(d)=標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布小于d的概率21.4布萊克-斯科爾斯公式布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價模型X=執(zhí)行價格.e=2.71828,自然對數(shù)函數(shù)的底數(shù).r=無風(fēng)險利率.T=期權(quán)到期前的時間（以年為單位）ln=自然對數(shù)=股票連續(xù)復(fù)利年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差例21-2布萊克-斯科爾斯看漲期權(quán)計算舉例股票價格So=100 執(zhí)行價格 X=95利率r=0.10 到期時間 T=0.25(3個月)標(biāo)準(zhǔn)差s=0.50 d1=[ln(100/95)+(0.10+(0.52/2)0.25)]/(.5

.251/2) =0.43d2=0.43-((0.5)(0.251/2) =0.18累積正態(tài)分布的概率N(.43)=.6664

表21-2 d N(d) .42 .6628 .43 .6664添寫Interpolation .44 .6700正態(tài)分布的概率N(.18)=.5714表21-2累積正態(tài)分布 dN(d) .16 .5636 .18 .5714 .20 .5793看漲期權(quán)價值Co=SoN(d1)-Xe-rTN(d2)Co=100X.6664-95e-.10X.25X.5714Co=13.70隱含波動性用布萊克-斯科爾斯公式和實際期權(quán)價格來解決波動性隱含波動性是否與股票具有一致性？看跌期權(quán)價值：布萊克-斯科爾斯公式P=Xe-rT[1-N(d2)]-S0[1-N(d1)]用上例的數(shù)據(jù)P=$95e(-.10X.25)(1-.5714)-$100(1-.6664)P=$6.3521.5布萊克-舒爾斯公式的應(yīng)用