第五節(jié)函數(shù)極值與最值

1一、函數(shù)的極值及其求法第五節(jié)函數(shù)的極值與最值2定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).注：極值是局部性的概念,極大值不一定比極小值大.

3定理1(極值的必要條件)由費(fèi)馬引理可知，所以對(duì)可導(dǎo)函數(shù)來講,極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)。

但反之不然，駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).x

yO4此外,不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn),

x

yO函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)也不一定是極值點(diǎn)，

x

yO5

這就是說,極值點(diǎn)要么是駐點(diǎn),要么是不可導(dǎo)點(diǎn),兩者必居其一.

我們把駐點(diǎn)和孤立的不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為極值可疑點(diǎn).

下面給出兩個(gè)充分條件,用來判別這些極值可疑點(diǎn)是否為極值點(diǎn).

6定理2(極值的第一充分條件)一階導(dǎo)數(shù)變號(hào)法7定理3(極值的第二充分判別法)稱為“二階導(dǎo)數(shù)非零法”(1)記憶:幾何直觀；

說明：(2)此法只適用于駐點(diǎn),不能用于判斷不可導(dǎo)點(diǎn)；

8例1解法一列表討論極大值極小值9例1解法二10例2解11例3解12例4解列表討論極大值極小值13例5解注意定義域！導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，14例6解兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得

對(duì)(1)式再求導(dǎo)，得

15根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有3個(gè)，而x=0則是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).三個(gè)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)不一致，必為極值點(diǎn)，且兩個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)；在x=0左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，可見x=0為極大值點(diǎn)，故f(x)共有兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)，應(yīng)選(C).例7解xyo(A)

一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).(B)

兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).(C)

兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).(D)三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).16(1)確定函數(shù)的定義域；

(4)用極值的第一或第二充分條件判定.注意第二充分條件只能判定駐點(diǎn)的情形.

求極值的步驟:(3)求定義域內(nèi)部的極值嫌疑點(diǎn)(即駐點(diǎn)或一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn))；

17二、函數(shù)的最值極值是局部性的,而最值是全局性的.

18具體求法：

19例8解計(jì)算比較得20在許多實(shí)際問題中，往往用到求函數(shù)最值的下述方法：

21將邊長為a的正方形鐵皮,四角各截去相同的小正方形,折成一個(gè)無蓋方盒,問如何截,使方盒的容積最大？為多少？

設(shè)小正方形的邊長為x，則方盒的容積為

例9解axa-2x

22將邊長為a的正方形鐵皮,四角各截去相同的小正方形,折成一個(gè)無蓋方盒,問如何截,使方盒的容積最大？為多少？

求導(dǎo)得設(shè)小正方形的邊長為x，則方盒的容積為

例9解23將邊長為a的正方形鐵皮,四角各截去相同的小正方形,折成一個(gè)無蓋方盒,問如何截,使方盒的容積最大？為多少？

求導(dǎo)得設(shè)小正方形的邊長為x，則方盒的容積為

解例924

要做一個(gè)容積為V的圓柱形罐頭筒，怎樣設(shè)計(jì)才能使所用材料最??？hr設(shè)底半徑為r,高為h，總的表面積為例10解即表面積最小.

即高與底面直徑相等.

即為最小值點(diǎn)

.

導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，是極小值點(diǎn)，25例11解利用最值證明不等式26例12解分析數(shù)列是離散函數(shù),不能求導(dǎo),應(yīng)把n改為x,轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù),再求導(dǎo).

利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,得

導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，27經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例1.平均成本(AC)最低問題

例13設(shè)成本函數(shù)為

則平均成本為得駐點(diǎn)

此時(shí)平均成本和邊際成本均為4.

一般,當(dāng)平均成本最低時(shí),平均成本與邊際成本相等.

282.最大利潤問題

例14利潤函數(shù)為

解得駐點(diǎn)

29一般,利潤函數(shù)為

其中Q為產(chǎn)量,

時(shí),利潤最大,其中MR和MC分別表示邊際收益和邊際成本(Marginalrevenue,Marginalcost),“生產(chǎn)商為獲得最大利潤,應(yīng)將產(chǎn)量調(diào)整到邊際收益等于邊際成本的水平”.這是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)重要結(jié)論.

30某廠生產(chǎn)某種商品,其年銷售量為100萬件,每批生產(chǎn)需增加準(zhǔn)備費(fèi)1000元,而每件商品的庫存費(fèi)為0.05元.如果年銷售率是均勻的(即商品庫存數(shù)為批量的一