第五節(jié)函數極值與最值

1一、函數的極值及其求法第五節(jié)函數的極值與最值2定義函數的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數取得極值的點稱為極值點.注：極值是局部性的概念,極大值不一定比極小值大.

3定理1(極值的必要條件)由費馬引理可知，所以對可導函數來講,極值點必為駐點。

但反之不然，駐點不一定是極值點.x

yO4此外,不可導點也可能是極值點,

x

yO函數的不可導點也不一定是極值點，

x

yO5

這就是說,極值點要么是駐點,要么是不可導點,兩者必居其一.

我們把駐點和孤立的不可導點統(tǒng)稱為極值可疑點.

下面給出兩個充分條件,用來判別這些極值可疑點是否為極值點.

6定理2(極值的第一充分條件)一階導數變號法7定理3(極值的第二充分判別法)稱為“二階導數非零法”(1)記憶:幾何直觀；

說明：(2)此法只適用于駐點,不能用于判斷不可導點；

8例1解法一列表討論極大值極小值9例1解法二10例2解11例3解12例4解列表討論極大值極小值13例5解注意定義域！導數左負右正，14例6解兩邊關于x求導,得

對(1)式再求導，得

15根據導函數的圖形可知，一階導數為零的點有3個，而x=0則是導數不存在的點.三個一階導數為零的點左右兩側導數符號不一致，必為極值點，且兩個極小值點，一個極大值點；在x=0左側一階導數為正，右側一階導數為負，可見x=0為極大值點，故f(x)共有兩個極小值點和兩個極大值點，應選(C).例7解xyo(A)

一個極小值點和兩個極大值點.(B)

兩個極小值點和一個極大值點.(C)

兩個極小值點和兩個極大值點.(D)三個極小值點和一個極大值點.16(1)確定函數的定義域；

(4)用極值的第一或第二充分條件判定.注意第二充分條件只能判定駐點的情形.

求極值的步驟:(3)求定義域內部的極值嫌疑點(即駐點或一階導數不存在的點)；

17二、函數的最值極值是局部性的,而最值是全局性的.

18具體求法：

19例8解計算比較得20在許多實際問題中，往往用到求函數最值的下述方法：

21將邊長為a的正方形鐵皮,四角各截去相同的小正方形,折成一個無蓋方盒,問如何截,使方盒的容積最大？為多少？

設小正方形的邊長為x，則方盒的容積為

例9解axa-2x

22將邊長為a的正方形鐵皮,四角各截去相同的小正方形,折成一個無蓋方盒,問如何截,使方盒的容積最大？為多少？

求導得設小正方形的邊長為x，則方盒的容積為

例9解23將邊長為a的正方形鐵皮,四角各截去相同的小正方形,折成一個無蓋方盒,問如何截,使方盒的容積最大？為多少？

求導得設小正方形的邊長為x，則方盒的容積為

解例924

要做一個容積為V的圓柱形罐頭筒，怎樣設計才能使所用材料最省？hr設底半徑為r,高為h，總的表面積為例10解即表面積最小.

即高與底面直徑相等.

即為最小值點

.

導數左負右正，是極小值點，25例11解利用最值證明不等式26例12解分析數列是離散函數,不能求導,應把n改為x,轉化為連續(xù)函數,再求導.

利用對數求導法,得

導數左正右負，27經濟應用舉例1.平均成本(AC)最低問題

例13設成本函數為

則平均成本為得駐點

此時平均成本和邊際成本均為4.

一般,當平均成本最低時,平均成本與邊際成本相等.

282.最大利潤問題

例14利潤函數為

解得駐點

29一般,利潤函數為

其中Q為產量,

時,利潤最大,其中MR和MC分別表示邊際收益和邊際成本(Marginalrevenue,Marginalcost),“生產商為獲得最大利潤,應將產量調整到邊際收益等于邊際成本的水平”.這是微觀經濟學的一個重要結論.

30某廠生產某種商品,其年銷售量為100萬件,每批生產需增加準備費1000元,而每件商品的庫存費為0.05元.如果年銷售率是均勻的(即商品庫存數為批量的一