光的電磁理論基礎

光的電磁理論基礎第一頁，共三十九頁，2022年，8月28日因此本課程的結構安排主要突出了以下幾點：

光的電磁理論基礎——波動方程，光波在無界空間(真空及無限大均勻各向同性介質)中的傳播，光波在界面上(介質及金屬)的反射和折射特性，光波在有界空間(波導)中的傳播，光波在各向異性介質空間(晶體)中的傳播，光波場的疊加與相干性，光子特性等。上述內容基本上包含了現(xiàn)代光學各個分支的基礎內容。希望本課程在強調光學的系統(tǒng)性、簡潔性、時代性及應用性的同時，能夠以全新的概念給同學建立起一個從經(jīng)典光學到現(xiàn)代光學的簡明的系統(tǒng)理論構架。為后續(xù)的相關課程，奠定必要的理論基礎。第二頁，共三十九頁，2022年，8月28日教材及學生必讀參考資料：1．教材：趙建林，高等光學，國防工業(yè)出版社季家镕，高等光學教程，科學出版社

M.波恩、E.沃耳夫，光學原理，科學出版社2．參考書籍、資料：謝建平，近代光學基礎，中國科學技術大學出版社蘇顯渝、李繼陶，信息光學，科學出版社朱自強等，現(xiàn)代光學教程，四川大學出版社鐘錫華，現(xiàn)代光學基礎，北京大學出版社第三頁，共三十九頁，2022年，8月28日第1章光的電磁理論基礎

按照經(jīng)典物理學觀點，光是一種波長極短的電磁波。光的傳播與電磁波的傳播服從同一規(guī)律。光與物質相互作用現(xiàn)象實際上就是電磁場與物質相互作用的結果。也就是說，一切經(jīng)典的光現(xiàn)象，如干涉、衍射、偏振、反射、折射、色散、成像等，均可以由電磁場理論給以解釋。所以，討論光的經(jīng)典傳播問題時，都以電磁場理論為其基礎，而電磁場理論又以麥克斯韋（Maxwell)方程組為基礎，故麥克斯韋方程組是研究光波傳播規(guī)律的基礎之基礎。本章將從麥克斯韋方程組出發(fā)，建立自由空間光波場所滿足的波動方程。第四頁，共三十九頁，2022年，8月28日1.1電磁場的基本方程1．1．1麥克斯韋方程組眾知，描述電磁場的主要特征量是電場強度矢量E、電位移矢量D、磁感應強度矢量B及磁場強度矢量H。其中E和B為基本特征量，D

和H

為輔助量（所有矢量均以粗體表示）。電場與磁場之間由麥克斯韋方程組相聯(lián)系，其積分形式包括如下4個方程：第五頁，共三十九頁，2022年，8月28日

方程組第1式來自法拉第(Faraday)電磁感應定律，其實質即變化的磁場產(chǎn)生變化的電場。微分式(1．1．2a)的意義是電場強度矢量的旋度等于磁感應強度隨時間的變化率(負值)。對上述積分應用斯托克斯公式和高斯公式：可得到微分形式的麥克斯韋方程組:第六頁，共三十九頁，2022年，8月28日方程組第2式來自安培(Ampere)環(huán)路定律，其實質即由電流場或變化的電場產(chǎn)生變化的磁場。其中積分式(1．1．1b)的意義是磁場強度沿閉合環(huán)路的積分等于該環(huán)路所包圍的電流強度之代數(shù)和。這些電流包括傳導電流和位移電流兩部分，前者代表穩(wěn)恒電流場，后者代表變化的電場。微分式(1．1．2b)的意義是磁場強度之旋度等于引起該磁場的傳導電流密度和位移電流密度之和。方程組第3式來自電場的高斯(Gauss)定理。其中積分式(1．1．1c)的意義是穿過閉合曲面的電位移通量等于該曲面所包圍空間體積內的自由電荷的代數(shù)和。微分式(1．1．2c)的意義是電位移矢量的散度等于空間同一處的自由電荷密度。方程組第4式來自磁場的高斯定理。其中積分式(1．1．1d)的意義是穿過任一閉合曲面的磁感應通量等于0。微分式(1．1．2d)的意義是磁場中任一點的磁感應強度之散度恒等于0。第七頁，共三十九頁，2022年，8月28日可以看出：由麥克斯韋方程組給出的4個場量中1）電場強度矢量E是一個渦旋場，相應的電位移矢量D則是一個有源場，這與靜電場不同。2）磁場強度矢量H

與磁感應強度矢量B均是一個有旋無源場?？梢宰C明，4個方程式中只有2個是獨立的。分別對(1．1．2a)式和(1．1．2b)式取散度，可得：顯然，由（1.1.3)式直接可得出(1.1.2d)式；由（1.1.4)式并利用電荷守恒定律即可得出(1.1.2c)式。第八頁，共三十九頁，2022年，8月28日綜上所述，僅由麥克斯韋方程組給出的這4個方程還不足以求解出描述電磁場的4個場量E

、D

、B和H

。為此，還需給出4個場量之間的關系。一般地，電場強度矢量E與電位移矢量D

、磁感應強度矢量B與磁場強度矢量H

之間的關系與電磁場所處的空間介質有關，因而稱這些關系為電磁場的物質方程或介質的電磁性質方程。1.1.2電磁場的物質方程

(1)真空中式中分別稱為真空介電常數(shù)和真空磁導率。第九頁，共三十九頁，2022年，8月28日

(2)均勻各向同性介質中進入某種介質的電磁場將與該介質發(fā)生相互作用，最終導致介質被極化。當這種極化僅取決于作用場強大小，而與場量的作用方向及位置無關時，則稱這種介質為均勻各向同性介質。極化特性與作用場頻率無關的介質稱為無色散介質，與作用場頻率有關的介質稱為色散介質。式中和分別稱為介質的介電常數(shù)和磁導率，分別稱為介質的相對介電常數(shù)和相對磁導率。

在線性極化條件下，對于均勻各向同性的無色散介質，電磁場的物質方程可表示為：第十頁，共三十九頁，2022年，8月28日

對于均勻各向同性的色散介質，介電常數(shù)和磁導率一般是電磁場頻率的函數(shù)。此時，上述物質方程只對單個頻率成立(場量僅對應單個頻率成分)，即：(1.1.8a)(1.1.8b)第十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日

對于一個具有各種頻率成分的非正弦變化的電磁場:物質方程不再成立。對于一般非磁性介質:

對于導電介質(導體)，還有如下方程：

(1．1．9)此即歐姆定律的微分式，其中稱為導體的電導率。第十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日

(3)非均勻各向同性介質中非均勻各向同性介質中，電磁場的極化與方向無關，但與作用位置及場強大小有關。因而其介電常數(shù)和磁導率都是位置矢量的函數(shù)，于是有：第十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日(4)均勻各向異性介質中均勻各向異性介質的特點是：電磁場的極化與作用位置無關，但與方向有關。因而電位移矢量與電場強度矢量之間的關系較為復雜，一般可表示為：式中為二階張量，稱為介電張量。一般情況下，介電張量由9個非0元素構成，即：若選取適當?shù)淖鴺朔较颍缫跃w的介電主軸為坐標軸(簡稱主坐標系)，則介電張量可簡化為一個只有3個非0元素的對角張量，即：(1.1.11)第十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日對于雙軸晶體，其在主坐標系的3個介電張量元素互不相等。為便于討論，一般按大小順序確定其角標，即或。前者稱為正晶體，后者稱為負晶體。對于單軸晶體，其在主坐標系的介電張量元素，因而介電張量還可進一步簡化為：第十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日

綜上所述，電磁場的物質方程反映了所處介質的宏觀電磁性質。

在真空以及各向同性介質中，電位移矢量D與電場強度矢量E之間、磁感應強度B與磁場強度H之間均呈現(xiàn)線性關系，且方向一致；

在各向異性介質中，D與E及B與H之間仍呈現(xiàn)線性關系，但方向卻一般不同。然而必須注意，上述給出的D與E及B與H之間的線性關系只在一般的弱電磁場中成立。在強電磁場作用下，許多介質會呈現(xiàn)更為復雜的非線性關系。亦即D

不僅與E的一次方有關，而且還與E的二次、三次甚至更高次方有關。在鐵磁物質中，B與H的關系也呈現(xiàn)非線性特征。此外，近年來發(fā)現(xiàn)的各種光折變介質中，盡管作用光場很弱，但卻同樣呈現(xiàn)非線性特征。所有這些內容均屬于非線性光學范疇。第十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日1．1．3電磁場的邊值關系當電磁場穿越兩種介質的分界面時，一般來講，會在分界面上引起束縛面電荷和電流分布，從而使分界面兩側電磁場量發(fā)生躍變而不連續(xù)。因此，研究電磁場在有界空間的特性時，有必要先確定出分界面兩側電磁場量與分界面上電荷、電流分布的關系。這一關系可由積分形式的麥克斯韋方程組給出，即：式中n為界面法線方向單位矢量，為界面上的傳導電流線密度，為自由電荷體密度。當不存在自由電荷、電流分布時，(1．1．15)式可簡化為：第十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日式中n、t分別表示場的法向和切向分量。上式表明，當界面上不存在自由電荷、電流分布時，電場強度矢量和磁場強度矢量在切線方向連續(xù)，電位移矢量和磁感應強度矢量在法線方向連續(xù)。第十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日1.2無源空間中的電磁波動方程

當空間無自由電荷、傳導電流分布時，即時，則麥克斯韋方程組可簡化為如下形式：

可見，在無源空間中，磁場與電場的分布具有類似的形式，且麥克斯韋方程組為齊次形式。第十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日

空間為真空取上述齊次麥克斯韋方程組中(1．2．1a)式的旋度并利用物質方程(1．1．7)式，可得：分別將(1．2．1b)式和(1．2．1c)式代入(1．2．2)式的右、左端，并利用物質方程(1．1．6)式得：由此得到電場所滿足的波動方程為：第二十頁，共三十九頁，2022年，8月28日取常數(shù)：則波動方程式(1．2．3a)和(1．1．3b)可化簡為：顯然，這對方程給出了一組在真空中隨時間和空間作周期性變化的電磁波動。式中的常數(shù)c正是該波動在真空中的傳播速度，它等于真空介電常數(shù)與真空磁導率兩者乘積開方的倒數(shù)。第二十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日表示電磁場在介質中的傳播速度，其中最后一個等號成立于非磁性物質中。1.2.2空間為無色散的均勻各向同性介質對于均勻各向同性的無色散介質，其介電常數(shù)和磁導率與電磁場的頻率無關，于是有：(1.2.6)其中：(1.2.7)第二十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日1.2.3空間為有色散的均勻各向同性介質

對于色散介質，其介電常數(shù)和磁導率都是電磁場頻率的函數(shù)。這樣，一個具有各種頻率成分的非正弦變化的電磁場(非定態(tài)場)，其場量E(t)和D(t)、B(t)和H(t)之間不再具有物質方程所確定的簡單線性關系，因而在此類介質中電場強度矢量E(t)和磁感應強度矢量B(t)不再滿足由(1.2.6)式所確定的波動方程。然而，按照線性疊加原理，一個隨時間任意變化的非定態(tài)波場可以看成是由各種具有恒定頻率成分的簡諧波場(定態(tài)波場或單色波場)的線性疊加。假設某一定態(tài)電磁波場的圓頻率為，其電場強度矢量和磁感應強度矢量分別表示為：(1.2.8)第二十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日則一個非定態(tài)場的電場強度矢量和磁感應強度矢量可分別表示為：(1.2.9)單色波的波動方程應具有與(1.2.6)式相同的形式，即：(1.2.10)第二十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日所不同的是(1.2.10)式中的速度只對應于圓頻率為的單色波場。將(1.2.8)式代入(1.2.10)式并消去時間因子，可得：此即一定頻率的電磁波所滿足的基本方程——定態(tài)波動方程，通常稱之為亥姆霍茲(Helmholtz)方程。亥姆霍茲方程的解E(r)、B(r)表征了給定頻率的電磁波場在空間的分布情況，每一種可能的形式稱為電磁波的一種模式或波型。式中k表示圓頻率為的單色波的(角)波數(shù)。其值為：(1.2.10)(1.2.11)第二十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日注意:

由于在導出方程式(1．2．11)的過程中曾利用了條件和，而亥姆霍茲方程本身的解并不能保證和成立，故亥姆霍茲方程的解必須再加上條件和，才代表電磁波場的解。其次，求解定態(tài)波動方程時，實際上只需要求解其中的一個場量(E或B)方程，而另一個場量則可以直接根據(jù)麥克斯韋方程組導出。如若已知E(或B)矢量的解，則將其代入麥克斯韋方程組，便可得B(或E)矢量的解為：第二十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日1.2.4空間為無色散的非均勻各向同性介質對于無色散的非均勻各向同性介質，代入麥克斯韋方程組第3式得：再取麥克斯韋方程組第1式的旋度并將上式代入，得：第二十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日同樣，由麥克斯韋方程組第4式得：對麥克斯韋方程組第2式取旋度并將上式代入，得：第二十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日即：因此，對于無色散的非均勻各向同性介質，波動方程為：第二十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日1.3有源空間中的電磁波動方程第三十頁，共三十九頁，2022年，8月28日1.3.1電磁場的矢勢與標勢

麥克斯韋方程組第4式表明，無論對穩(wěn)恒場還是迅變場，磁感應強度矢量B的散度始終等于0，因此，磁場是一個有旋無源場。由矢量分析理論可知，散度等于0的矢量可以看作是某個矢量A的旋度，故可將磁感應強度矢量B表示為：(1.3.1)這里定義矢量A為電磁場的矢勢。

在靜電場中，電場是一保守場，故電場強度可用一個標量函數(shù)即電勢來描述。在迅變場中，電場不僅由電荷激發(fā)，而且也可能由變化的磁場激發(fā)，因而不再是一個保守場，但也不是一個有旋無源場。這樣，電場就不能用一個單一的標量或矢量來描述。將上式代入麥克斯韋方程組第1式得：第三十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日顯然，為一無旋場，故可表示為某一標量場的梯度，即：與矢勢A對應，這里定義函數(shù)為電磁場的標勢。1.3.2洛倫茲規(guī)范與庫侖規(guī)范標勢的引入僅僅是為了簡化電磁場問題的求解，并不具有電勢能的意義，因為這里的電場E并非保守場。在變化著的電磁場中，電場和磁場是相互作用的整體，故需把矢勢和標勢也作為一個整體來描述電磁場。然而必須注意，用矢勢A和標勢可以替代電場E和磁場B描述電磁場，但這種代替并不是唯一的，即給定E和B并不對應唯一的A和。這是因為當(1.3.2)式成立時，若給其加上任意一個滿足的矢量函數(shù)時，同樣有：第三十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日故仍然不能解出一個確定的E。因此，需要對矢勢A加上一個約束條件，或曰規(guī)范。常用的規(guī)范條件有兩種，即洛倫茲規(guī)范和庫侖(Coulomb)規(guī)范，分別表示為：在這種規(guī)范下，矢勢A為無源場，因而(1.3.4)式中第2項()也為無源場，而第1項()為無旋場。前者對應于感應電場，即變化磁場產(chǎn)生的渦旋電場，而后者則對應于庫侖場。第三十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日顯然，由(1.3.6)式和(1.3.7)式給出的不同規(guī)范條件對應著不同的一組矢勢和標勢解(A，)，但卻對應著同一組電場E和磁場B。這說明用勢函數(shù)描述電磁場時，可以有不同的規(guī)范選擇。但無論對勢函數(shù)取何種規(guī)范，所描述的物理量和物理規(guī)律都應保持不變，這種不變性稱為規(guī)范不變性。

從數(shù)學上也可以這樣來理解這種規(guī)范變換的自由性：在引入矢勢A時只給出了其旋度而沒有給出其散度，而僅有旋度是不足以確定一個矢量場的。為了確定矢勢A，必須再給出其散度。而電磁場E和B本身對A的散度并沒有任何限制。因此作為確定矢勢A的輔助條件，我們可以取其散度為任意值，每一種選擇就對應一種規(guī)范，但不同規(guī)范又都對應著同一組E和B。至于實際中究竟選取哪一種規(guī)范，要視所求解問題的方便而定。第三十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日

矢勢A和標勢的引入并采取適當?shù)囊?guī)范條件可使基本方程的求解得到簡化。滿足洛倫茲規(guī)范條件的矢勢A和標勢稱為洛倫茲規(guī)范下的矢勢和標勢。將洛倫茲規(guī)范分別代入麥克斯韋方程組的第2和第3式，并利用物質方程，可分別得到A和滿足的波動方程